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2.5: Equações Exatas - Matemática


Nesta seção, é conveniente escrever equações diferenciais de primeira ordem no formulário

[ label {eq: 2.5.1} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0. ]

Esta equação pode ser interpretada como

[ label {eq: 2.5.2} M (x, y) + N (x, y) , {dy over dx} = 0, ]

onde (x ) é a variável independente e (y ) é a variável dependente, ou como

[ label {eq: 2.5.3} M (x, y) , {dx over dy} + N (x, y) = 0, ]

onde (y ) é a variável independente e (x ) é a variável dependente. Uma vez que as soluções da Equação ref {eq: 2.5.2} e da Equação ref {eq: 2.5.3} muitas vezes terão que ser deixadas na forma implícita, diremos que (F (x, y) = c ) é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.1} se cada função diferenciável (y = y (x) ) que satisfaz (F (x, y) = c ) é uma solução da Equação ref {eq: 2.5.2} e cada função diferenciável (x = x (y) ) que satisfaz (F (x, y) = c ) é uma solução da Equação ref {eq: 2.5.3}

aqui estão alguns exemplos:

Tabela ( PageIndex {1} ): Exemplos de equações diferenciais exatas em três formas
Equação ref {eq: 2.5.1}Equação ref {eq: 2.5.2}Equação ref {eq: 2.5.3}
(3x ^ 2y ^ 2 , dx + 2x ^ 3y , dy = 0 ) (3x ^ 2y ^ 2 + 2x ^ 3y , {dy over dx} = 0 ) (3x ^ 2y ^ 2 , {dx over dy} + 2x ^ 3y = 0 )
((x ^ 2 + y ^ 2) , dx + 2xy , dy = 0 ) ((x ^ 2 + y ^ 2) + 2xy , {dy sobre dx} = 0 ) ((x ^ 2 + y ^ 2) , {dx over dy} + 2xy = 0 )
(3y sin x , dx-2xy cos x , dy = 0 ) (3y sin x-2xy cos x , {dy over dx} = 0 ) (3y sin x , {dx over dy} -2xy cos x = 0 )

Observe que uma equação separável pode ser escrita como Equação ref {eq: 2.5.1} como

[M (x) , dx + N (y) , dy = 0. enhum número]

iremos desenvolver um método para resolver a Equação ref {eq: 2.5.1} sob suposições apropriadas sobre (M ) e (N ). Este método é uma extensão do método de separação de variáveis. Antes de afirmar, consideramos um exemplo.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Mostra isso

[ label {eq: 2.5.4} x ^ 4y ^ 3 + x ^ 2y ^ 5 + 2xy = c ]

é uma solução implícita de

[ label {eq: 2.5.5} (4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) , dx + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) , dy = 0. ]

Solução

Em relação a (y ) como uma função de (x ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.4} implicitamente em relação a (x ), os rendimentos

[(4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) , {dy over dx} = 0. enhum número]

Da mesma forma, considerando (x ) como uma função de (y ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.4} implicitamente em relação a (y ), resulta

[(4x ^ 3y ^ 3 + 2xy ^ 5 + 2y) {dx over dy} + (3x ^ 4y ^ 2 + 5x ^ 2y ^ 4 + 2x) = 0. enhum número]

Portanto, a Equação ref {eq: 2.5.4} é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.5} em qualquer uma de suas duas interpretações possíveis.

Você pode pensar que Example ( PageIndex {1} ) é inútil, já que inventar uma equação diferencial que tem uma determinada solução implícita não é particularmente interessante. No entanto, ele ilustra o próximo teorema importante, que provaremos usando a diferenciação implícita, como no Exemplo ( PageIndex {1} ).

Teorema ( PageIndex {1} )

Se (F = F (x, y) ) tem derivadas parciais contínuas (F_x ) e (F_y ), então

[ label {eq: 2.5.6} F (x, y) = c ]

(com (c ) como uma constante) é uma solução implícita da equação diferencial

[ label {eq: 2.5.7} F_x (x, y) , dx + F_y (x, y) , dy = 0. ]

Prova

Em relação a (y ) como uma função de (x ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.6} implicitamente em relação a (x ), os rendimentos

[F_x (x, y) + F_y (x, y) , {dy over dx} = 0. enhum número]

Por outro lado, considerando (x ) como uma função de (y ) e diferenciando a Equação ref {eq: 2.5.6} implicitamente em relação a (y ) resulta

[F_x (x, y) , {dx over dy} + F_y (x, y) = 0. enhum número]

Assim, a Equação ref {eq: 2.5.6} é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.7} em qualquer uma de suas duas interpretações possíveis.

Diremos que a equação

[ label {eq: 2.5.8} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ]

é exato em um retângulo aberto (R ) se houver uma função (F = F (x, y) ) como (F_x ) e (F_y ) são contínuas, e

[ label {eq: 2.5.9} F_x (x, y) = M (x, y) quad text {e} quad F_y (x, y) = N (x, y) ]

para todos ((x, y) ) em (R ). Este uso de "exato" está relacionado ao seu uso em cálculo, onde a expressão

[F_x (x, y) , dx + F_y (x, y) , dy nonumber ]

(obtido substituindo a Equação ref {eq: 2.5.9} no lado esquerdo da Equação ref {eq: 2.5.8}) é o diferencial exato de (F ).

Exemplo ( PageIndex {1} ) mostra que é fácil resolver a Equação ref {eq: 2.5.8} se for exata e conhecemos uma função (F ) que satisfaz a Equação ref {eq: 2.5.9}. As questões importantes são:

  • Questão 1. Dada uma equação Equation ref {eq: 2.5.8}, como podemos determinar se ela é exata?
  • Questão 2. Se a Equação ref {eq: 2.5.8} for exata, como encontramos uma função (F ) que satisfaça a Equação ref {eq: 2.5.9}?

Para descobrir a resposta à pergunta 1, suponha que haja uma função (F ) que satisfaça a Equação ref {eq: 2.5.9} em algum retângulo aberto (R ) e, além disso, (F ) tem derivadas parciais misturadas contínuas (F_ {xy} ) e (F_ {yx} ). Então, um teorema de cálculo implica que [ label {eq: 2.5.10} F_ {xy} = F_ {yx}. ] If (F_x = M ) e (F_y = N ), diferenciando o primeiro dessas equações em relação a (y ) e a segunda em relação a (x ) resulta

[ label {eq: 2.5.11} F_ {xy} = M_y quad text {e} quad F_ {yx} = N_x. ]

A partir da Equação ref {eq: 2.5.10} e da Equação ref {eq: 2.5.11}, concluímos que uma condição necessária para exatidão é (M_y = N_x ). Isso motiva o próximo teorema, que afirmamos sem prova.

Teorema ( PageIndex {2} ): A condição de exatidão

Suponha que (M ) e (N ) sejam contínuos e tenham derivadas parciais contínuas (M_y ) e (N_x ) em um retângulo aberto (R. ) Então

[M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 não numérico ]

é exato em (R ) se e somente se

[ label {eq: 2,5.12} M_y (x, y) = N_x (x, y) ]

para todos ((x, y) ) em (R. ).

Para ajudá-lo a lembrar a condição de exatidão, observe que os coeficientes de (dx ) e (dy ) são diferenciados na Equação ref {eq: 2.5.12} com relação às variáveis ​​“opostas”; isto é, o coeficiente de (dx ) é diferenciado em relação a (y ), enquanto o coeficiente de (dy ) é diferenciado em relação a (x ).

Exemplo ( PageIndex {2} )

Mostre que a equação

[3x ^ 2y , dx + 4x ^ 3 , dy = 0 não numérico ]

não é exato em qualquer retângulo aberto.

Solução

Aqui

[M (x, y) = 3x ^ 2y quad text {e} quad N (x, y) = 4x ^ 3 nonumber ]

tão

[M_y (x, y) = 3x ^ 2 quad text {e} N_x (x, y) = 12 x ^ 2. enhum número]

Portanto (M_y = N_x ) na linha (x = 0 ), mas não em qualquer retângulo aberto, então não há função (F ) tal que (F_x (x, y) = M (x, y) ) e (F_y (x, y) = N (x, y) ) para todos ((x, y) ) em qualquer retângulo aberto.

O próximo exemplo ilustra dois métodos possíveis para encontrar uma função (F ) que satisfaça a condição (F_x = M ) e (F_y = N ) se (M , dx + N , dy = 0 ) é exato.

Exemplo ( PageIndex {3} )

Resolver

[ label {eq: 2.5.13} (4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2) , dx + (3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2) , dy = 0. ]

Solução (Método 1)

Aqui [M (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2, quad N (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2, nonumber ] e [M_y (x, y) = N_x (x, y) = 12 x ^ 3y ^ 2 nonumber ] para todos ((x, y) ). Portanto, o teorema ( PageIndex {2} ) implica que há uma função (F ) tal que

[ label {eq: 2.5.14} F_x (x, y) = M (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + 3x ^ 2 ]

e

[ label {eq: 2,5.15} F_y (x, y) = N (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + 6y ^ 2 ]

para todos ((x, y) ). Para encontrar (F ), integramos a Equação ref {eq: 2.5.14} com relação a (x ) para obter

[ label {eq: 2.5.16} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + phi (y), ]

onde ( phi (y) ) é a “constante” de integração. (Aqui ( phi ) é "constante" no sentido de que é independente de (x ), a variável de integração.) Se ( phi ) é qualquer função diferenciável de (y ), então ( F ) satisfaz a Equação ref {eq: 2.5.14}. Para determinar ( phi ) de modo que (F ) também satisfaça a Equação ref {eq: 2.5.15}, assuma que ( phi ) é diferenciável e diferencie (F ) em relação a ( y ). Isso produz

[F_y (x, y) = 3x ^ 4y ^ 2 + phi '(y). enhum número]

Comparando isso com a Equação ref {eq: 2.5.15} mostra que

[ phi '(y) = 6y ^ 2. enhum número]

Integramos isso em relação a (y ) e consideramos a constante de integração zero porque estamos interessados ​​apenas em encontrar algum (F ) que satisfaz a Equação ref {eq: 2.5.14} e a Equação ref {eq: 2.5.15}. Isso produz

[ phi (y) = 2y ^ 3. enhum número]

Substituindo isso na Equação ref {eq: 2.5.16} produz

[ label {eq: 2.5.17} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + 2y ^ 3. ]

Agora o teorema ( PageIndex {1} ) implica que [x ^ 4y ^ 3 + x ^ 3 + 2y ^ 3 = c nonumber ] é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.13}. Resolver isso para (y ) produz a solução explícita

[y = left (c-x ^ 3 over2 + x ^ 4 right) ^ {1/3}. enhum número]

Solução (Método 2)

Em vez de primeiro integrar a Equação ref {eq: 2.5.14} com respeito a (x ), poderíamos começar integrando a Equação ref {eq: 2.5.15} com respeito a (y ) para obter

[ label {eq: 2.5.18} F (x, y) = x ^ 4y ^ 3 + 2y ^ 3 + psi (x), ]

onde ( psi ) é uma função arbitrária de (x ). Para determinar ( psi ), assumimos que ( psi ) é diferenciável e diferenciamos (F ) em relação a (x ), o que produz

[F_x (x, y) = 4x ^ 3y ^ 3 + psi '(x). enhum número]

Comparando isso com a Equação ref {eq: 2.5.14} mostra que

[ psi '(x) = 3x ^ 2. enhum número]

Integrar isso e, novamente, tomar a constante de integração como zero resulta

[ psi (x) = x ^ 3. enhum número]

Substituindo isso na Equação ref {eq: 2.5.18} resulta na Equação ref {eq: 2.5.17}.

A Figura ( PageIndex {1} ) mostra um campo de direção e algumas curvas integrais da Equação ref {eq: 2.5.13}.

Aqui está um resumo do procedimento usado no Método 1 deste exemplo. Você deve resumir o procedimento usado no Método 2.

HOWTO: Procedimento para resolver uma equação exata (Método 1)

  • Passo 1. Verifique se a equação [ label {eq: 2.5.19} M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0 ] satisfaz a condição de exatidão (M_y = N_x ). Caso contrário, não prossiga com este procedimento.
  • Passo 2. Integre [{ partial F (x, y) over partial x} = M (x, y) nonumber ] com respeito a (x ) para obter [ label {eq: 2.5.20} F (x, y) = G (x, y) + phi (y), ] onde (G ) é uma antiderivada de (M ) em relação a (x ), e ( phi ) é uma função desconhecida de (y ).
  • Etapa 3. Diferencie a equação ref {eq: 2.5.20} em relação a (y ) para obter [{ parcial F (x, y) over parcial y} = { parcial G (x, y) over parcial y} + phi '(y). enhum número]
  • Passo 4. Iguale o lado direito desta equação a (N ) e resolva para ( phi '); assim, [{ partial G (x, y) over partial y} + phi '(y) = N (x, y), quad text {so} quad phi' (y) = N (x, y) - { parcial G (x, y) sobre parcial y}. enhum número]
  • Etapa 5. Integre ( phi ') em relação a (y ), tomando a constante de integração como zero, e substitua o resultado na Equação ref {eq: 2.5.20} para obter (F (x, y ) ).
  • Etapa 6. Defina (F (x, y) = c ) para obter uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.19}. Se possível, resolva para (y ) explicitamente como uma função de (x ).

É um erro comum omitir a Etapa 6 no procedimento acima. No entanto, é importante incluir esta etapa, uma vez que F não é em si uma solução da Equação ref {eq: 2.5.19}. Muitas equações podem ser convenientemente resolvidas por qualquer um dos dois métodos usados ​​em Exemplo ( PageIndex {3} ). No entanto, às vezes a integração necessária em uma abordagem é mais difícil do que na outra. Nesses casos, escolhemos a abordagem que requer integração mais fácil.

Exemplo ( PageIndex {4} )

Resolva a equação

[ label {eq: 2.5.21} left (ye ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ {2} x right) dx + xe ^ {xy} tan x , dy = 0 ]

Solução

Deixamos para você verificar se (M_y = N_x ) em qualquer retângulo aberto onde ( tan x ) e ( sec x ) estão definidos. Aqui devemos encontrar uma função F tal que

[ label {eq: 2.5.22} F_x (x, y) = ye ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ 2 x ]

e

[ label {eq: 2.5.23} F_y (x, y) = xe ^ {xy} tan x. ]

É difícil integrar a Equação ref {eq: 2.5.22} em relação a (x ), mas é fácil integrar a Equação ref {eq: 2.5.23} em relação a (y ). Isso produz

[ label {eq: 2.5.24} F (x, y) = e ^ {xy} tan x + psi (x). ]

Diferenciar isso em relação a (x ) produz

[F_x (x, y) = y e ^ {xy} tan x + e ^ {xy} sec ^ 2 x + psi '(x). enhum número]

Comparando isso com a Equação ref {eq: 2.5.22} mostra que ( psi '(x) = 0 ). Portanto, ( psi ) é uma constante, que podemos tomar como zero na Equação ref {eq: 2.5.24}, e

[e ^ {xy} tan x = c, nonumber ]

é uma solução implícita da Equação ref {eq: 2.5.21}.

Tentar aplicar nosso procedimento a uma equação diferencial que não é exata levará ao fracasso na Etapa 4, uma vez que a função

[N - frac { partial G} { partial y} nonumber ]

não será independente de (x ) if (M_y neq N_x ) e, portanto, não pode ser a derivada de uma função de (y ) sozinha. O exemplo ( PageIndex {5} ) ilustra isso.

Exemplo ( PageIndex {5} )

Verifique se a equação

[ label {eq: 2.5.25} 3x ^ 2y ^ 2 , dx + 6x ^ 3y , dy = 0 ]

não é exato, e mostra que o procedimento para resolver equações exatas falha quando aplicado à Equação ref {eq: 2.5.25}.

Solução

Aqui [M_y (x, y) = 6x ^ 2y quad text {e} quad N_x (x, y) = 18x ^ 2y, nonumber ]

então a Equação ref {eq: 2.5.25} não é exata. No entanto, vamos tentar encontrar uma função (F ) tal que

[ label {eq: 2.5.26} F_x (x, y) = 3x ^ 2y ^ 2 ]

e

[ label {eq: 2.5.27} F_y (x, y) = 6x ^ 3y. ]

Integrando a Equação ref {eq: 2.5.26} com relação a (x ) rendimentos

[F (x, y) = x ^ 3y ^ 2 + phi (y), nonumber ]

e diferenciar isso em relação a (y ) rendimentos

[F_y (x, y) = 2x ^ 3y + phi '(y). enhum número]

Para que esta equação seja consistente com a Equação ref {eq: 2.5.27},

[6x ^ 3y = 2x ^ 3y + phi '(y), nonumber ]

ou

[ phi '(y) = 4x ^ 3y. enhum número]

Isso é uma contradição, já que ( phi ') deve ser independente de (x ). Portanto, o procedimento falha.


2.5 Equações quadráticas

O monitor do computador à esquerda na Figura 1 é um modelo de 23,6 polegadas e o da direita é um modelo de 27 polegadas. Proporcionalmente, os monitores parecem muito semelhantes. Se houver uma quantidade limitada de espaço e desejamos o maior monitor possível, como decidimos qual escolher? Nesta seção, aprenderemos como resolver problemas como esse usando quatro métodos diferentes.

Resolvendo Equações Quadráticas por Fatoração

Freqüentemente, o método mais fácil de resolver uma equação quadrática é a fatoração. Fatorar significa encontrar expressões que podem ser multiplicadas juntas para fornecer a expressão em um lado da equação.

Multiplicar os fatores expande a equação para uma sequência de termos separados por sinais de mais ou menos. Então, nesse sentido, a operação de multiplicação desfaz a operação de fatoração. Por exemplo, expanda a expressão fatorada (x - 2) (x + 3) (x - 2) (x + 3) multiplicando os dois fatores.

O processo de fatorar uma equação quadrática depende do coeficiente líder, seja 1 ou outro inteiro. Veremos ambas as situações, mas primeiro, queremos confirmar que a equação está escrita na forma padrão, a x 2 + b x + c = 0, a x 2 + b x + c = 0, onde uma, b, e c são números reais e a ≠ 0. a ≠ 0. A equação x 2 + x - 6 = 0 x 2 + x - 6 = 0 está na forma padrão.

Podemos usar a propriedade de produto zero para resolver equações quadráticas nas quais primeiro temos que fatorar o maior fator comum (GCF), e para equações que também têm fórmulas de fatoração especiais, como a diferença de quadrados, ambas as quais nós veremos mais tarde nesta seção.

A propriedade de produto zero e as equações quadráticas

Os estados de propriedade de produto zero

Onde uma e b são números reais ou expressões algébricas.

Uma equação quadrática é uma equação que contém um polinômio de segundo grau, por exemplo

Resolvendo quadráticas com um coeficiente de liderança de 1

Como

Dada uma equação quadrática com o coeficiente líder de 1, fatorá-la.


2.5: Equações Exatas - Matemática

Vamos desenhar o gráfico desta equação.

Um método que podemos usar é encontrar os valores xey de dois pontos que satisfaçam a equação, plotar cada ponto e, em seguida, desenhar uma linha através dos pontos. Podemos começar com quaisquer dois valores de x que quisermos e, em seguida, encontrar y para cada x substituindo os valores de x na equação. Vamos começar com x = 1.

Vamos plotar esses pontos e traçar uma linha através deles.

Gráficos usando inclinação e interceptação Y
Há outra maneira de representar graficamente uma equação usando seu conhecimento de inclinação e interceptação y. Olhe para a equação novamente.

Podemos encontrar a inclinação e a interceptação em y da linha apenas observando a equação: m = 1/2 e interceptação em y = 2.

Só de olhar para esses valores, já sabemos um ponto da linha! A interceptação y nos dá o ponto onde a linha intercepta o eixo y, então sabemos que as coordenadas desse ponto são (0, 2) , uma vez que o valor x de qualquer ponto situado no eixo y é zero.

Para encontrar o segundo ponto, podemos usar a inclinação da linha. A inclinação é & frac12, o que nos dá a mudança no valor y sobre a mudança no valor x. A mudança no valor x, o denominador, é 2, então vamos para a direita 2 unidades.

A mudança no valor y, o numerador, é positiva. Subimos uma unidade. Isso nos dá o segundo ponto de que precisamos. Agora podemos traçar a linha através dos pontos.

Esta é exatamente a mesma linha que encontramos usando o primeiro método. Você vê que é mais rápido e fácil usar a interceptação em y e a inclinação? Você pode usar qualquer um dos métodos para representar graficamente a linha, dependendo das informações de que dispõe sobre a linha e sua equação.


Introdução às Equações

Por equação, queremos dizer uma frase matemática que afirma que duas expressões algébricas são iguais. Por exemplo, a (b + c) = ab + ac, ab = ba e x 2 -1 = (x-1) (x + 1) são todas as equações que estamos usando. Lembramos que definimos uma variável como uma letra que pode ser substituída por números de um determinado conjunto, durante uma determinada discussão. Este conjunto de números especificado é às vezes chamado de conjunto de substituição. Neste capítulo, lidaremos com equações envolvendo variáveis ​​em que o conjunto de substituição, a menos que especificado de outra forma, é o conjunto de todos os números reais para os quais todas as expressões na equação são definidas.

Se uma equação for verdadeira depois que a variável foi substituída por um número específico, o número é chamado de solução da equação e diz-se que a satisfaz. Obviamente, toda solução é um membro do conjunto de substituição. O número real 3 é uma solução da equação 2x-1 = x + 2, já que 2 * 3-1 = 3 + 2. enquanto 1 é uma solução da equação (x-1) (x + 2) = 0. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado de conjunto de solução da equação.

Na primeira equação acima, <3> é o conjunto de solução, enquanto no segundo exemplo <-2,1> é o conjunto de solução. Podemos verificar por substituição que cada um desses números é uma solução de sua respectiva equação, e veremos mais tarde que essas são as únicas soluções.

Uma equação condicional é aquela que é satisfeita por alguns números de seu conjunto de substituição e não é satisfeita por outros. Uma identidade é uma equação que é satisfeita por todos os números de seu conjunto de substituição.

Exemplo 1 Considere a equação 2x-1 = x + 2

O conjunto de substituição aqui é o conjunto de todos os números reais. A equação é condicional, pois, por exemplo, 1 é membro do conjunto de substituição, mas não do conjunto solução.

Exemplo 2 Considere a equação (x-1) (x + 1) = x 2 -1

O conjunto de substituição é o conjunto de todos os números reais. De nossas leis dos números reais, se a for qualquer número real, então (a-1) (a + 1) = a 2 -1

Portanto, cada membro do conjunto de substituição também é um membro do conjunto de solução. Consequentemente, essa equação é uma identidade.

Exemplo 3 Considerar

O conjunto de substituição para esta equação é o conjunto de números reais, exceto 0, uma vez que 1 / x e (1- x) / x não são definidos para x = 0. Se a for qualquer número real no conjunto de substituição, então

de modo que a equação original é uma identidade.

Exemplo 4 Considerar

O conjunto de substituição é o conjunto de todos os números reais não negativos, uma vez que não é um número real se x for negativo. A equação é condicional, pois, por exemplo, 4 é um membro do conjunto de substituição, mas não do conjunto solução.


9.5 Resolvendo Equações Trigonométricas

Tales de Mileto (cerca de 625–547 aC) é conhecido como o fundador da geometria. A lenda é que ele calculou a altura da Grande Pirâmide de Gizé, no Egito, usando a teoria de triângulos semelhantes, que ele desenvolveu medindo a sombra de sua equipe. Baseada em proporções, essa teoria tem aplicações em várias áreas, incluindo geometria fractal, engenharia e arquitetura. Freqüentemente, o ângulo de elevação e o ângulo de depressão são encontrados usando triângulos semelhantes.

Nas seções anteriores deste capítulo, vimos as identidades trigonométricas. As identidades são verdadeiras para todos os valores no domínio da variável. Nesta seção, começamos nosso estudo de equações trigonométricas para estudar cenários do mundo real, como encontrar as dimensões das pirâmides.

Resolvendo Equações Trigonométricas Lineares em Seno e Cosseno

Equações trigonométricas são, como o nome indica, equações que envolvem funções trigonométricas. Semelhante em muitos aspectos para resolver equações polinomiais ou equações racionais, apenas valores específicos da variável serão soluções, se é que existem soluções. Freqüentemente, resolveremos uma equação trigonométrica em um intervalo especificado. No entanto, com a mesma frequência, seremos solicitados a encontrar todas as soluções possíveis e, como as funções trigonométricas são periódicas, as soluções são repetidas dentro de cada período. Em outras palavras, as equações trigonométricas podem ter um número infinito de soluções. Além disso, como as equações racionais, o domínio da função deve ser considerado antes de assumirmos que qualquer solução é válida. O período da função seno e da função cosseno é 2 π. 2 π. Em outras palavras, a cada 2 unidades π 2 π, o y-valores repetem. Se precisarmos encontrar todas as soluções possíveis, devemos adicionar 2 π k, 2 π k, onde k k é um inteiro, à solução inicial. Lembre-se da regra que fornece o formato para declarar todas as soluções possíveis para uma função onde o período é 2 π: 2 π:

Existem regras semelhantes para indicar todas as soluções possíveis para as outras funções trigonométricas. Resolver equações trigonométricas requer as mesmas técnicas que resolver equações algébricas. Lemos a equação da esquerda para a direita, horizontalmente, como uma frase. Procuramos padrões conhecidos, fatoramos, encontramos denominadores comuns e substituímos certas expressões por uma variável para tornar a solução um processo mais direto. No entanto, com as equações trigonométricas, também temos a vantagem de usar as identidades que desenvolvemos nas seções anteriores.

Exemplo 1

Resolvendo uma equação trigonométrica linear envolvendo a função cosseno

Encontre todas as soluções exatas possíveis para a equação cos θ = 1 2. cos θ = 1 2.


Equação

Em matemática, um equação é uma declaração que afirma a igualdade de duas expressões, que são conectadas pelo sinal de igual "cite_ref-: 0_2-0"> [2] [3] [4] A palavra equação e seus cognatos em outras línguas podem ter significados sutilmente diferentes, por exemplo, em francês e equação é definido como contendo uma ou mais variáveis, enquanto em inglês, qualquer igualdade é uma equação. [5]

Resolvendo uma equação contendo variáveis ​​consiste em determinar quais valores das variáveis ​​tornam a igualdade verdadeira. As variáveis ​​para as quais a equação deve ser resolvida também são chamadas desconhecidos, e os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade são chamados de soluções da equação. Existem dois tipos de equações: identidades e equações condicionais. Uma identidade é verdadeira para todos os valores das variáveis. Uma equação condicional só é verdadeira para valores específicos das variáveis. [6] [7]

Uma equação é escrita como duas expressões, conectadas por um sinal de igual ("cite_ref-: 1_3-1"> [3] As expressões nos dois lados do sinal de igual são chamadas de "lado esquerdo" e "lado direito "da equação. Muitas vezes, o lado direito de uma equação é assumido como zero. Assumindo que isso não reduz a generalidade, pois isso pode ser realizado subtraindo o lado direito de ambos os lados.

O tipo mais comum de equação é uma equação polinomial (comumente chamada também de equação algébrica) em que os dois lados são polinômios. Os lados de uma equação polinomial contêm um ou mais termos. Por exemplo, a equação

tem lado esquerdo A x 2 + B x + C - y < displaystyle Ax ^ <2> + Bx + Cy>, que tem quatro termos, e lado direito 0 < displaystyle 0>, consistindo em apenas um prazo. Os nomes das variáveis ​​sugerem que x e y são desconhecidos, e que UMA , B , e C são parâmetros, mas isso normalmente é fixado pelo contexto (em alguns contextos, y pode ser um parâmetro, ou UMA , B , e C podem ser variáveis ​​comuns).

Uma equação é análoga a uma escala na qual os pesos são colocados. Quando pesos iguais de algo (por exemplo, grãos) são colocados nas duas bandejas, os dois pesos fazem com que a balança fique em equilíbrio e são considerados iguais. Se uma quantidade de grãos for removida de uma bandeja da balança, uma quantidade igual de grãos deve ser removida da outra bandeja para manter a balança em equilíbrio. De modo mais geral, uma equação permanece em equilíbrio se a mesma operação for executada em ambos os lados.

Na geometria cartesiana, as equações são usadas para descrever figuras geométricas. Como as equações consideradas, como equações implícitas ou equações paramétricas, têm infinitas soluções, o objetivo agora é diferente: em vez de dar as soluções explicitamente ou contá-las, o que é impossível, usa-se equações para estudar as propriedades das figuras. Esta é a ideia inicial da geometria algébrica, uma área importante da matemática.

A álgebra estuda duas famílias principais de equações: as equações polinomiais e, entre elas, o caso especial das equações lineares. Quando há apenas uma variável, as equações polinomiais têm a forma P(x) = 0, onde P é um polinômio, e as equações lineares têm a forma machado + b = 0, onde uma e b são parâmetros. Para resolver equações de qualquer uma das famílias, usa-se técnicas algorítmicas ou geométricas que se originam da álgebra linear ou da análise matemática. Álgebra também estuda equações diofantinas onde os coeficientes e soluções são inteiros. As técnicas utilizadas são diferentes e vêm da teoria dos números. Essas equações são difíceis em geral, muitas vezes se busca apenas para encontrar a existência ou ausência de uma solução e, se houver, para contar o número de soluções.

Equações diferenciais são equações que envolvem uma ou mais funções e suas derivadas. Eles são resolvido encontrando uma expressão para a função que não envolva derivados. As equações diferenciais são usadas para modelar processos que envolvem as taxas de mudança da variável e são usadas em áreas como física, química, biologia e economia.

O "Robert Recorde, que considerou que nada poderia ser mais igual do que linhas retas paralelas com o mesmo comprimento. [1]


Uma nova solução exata da equação de Burgers com solução linearizada

Este artigo considera uma equação geral de Burgers com o coeficiente de termo não linear sendo uma constante arbitrária. Duas soluções idênticas da equação geral de Burgers são derivadas separadamente por um método de integração direta e o método de equação mais simples com a equação de Bernoulli sendo a equação mais simples. As soluções exatas propostas superam o problema de descontinuidade existente há muito tempo e podem ser reduzidas à linearidade com sucesso, enquanto o coeficiente do termo não linear se aproxima de zero. Além disso, uma transformação geral de Cole-Hopf é introduzida. Finalmente, a solução derivada proposta é comparada com a solução de perturbação e outras soluções exatas existentes. Um novo fenômeno, que chamamos de “deslizamento de torção”, é observado.

1. Introdução

A equação de Burgers foi introduzida pela primeira vez por Bateman [1] em 1915 e posteriormente analisada por Burgers [2] em 1948. A equação é usada como modelo em muitos campos, como acústica [3], processos estocásticos contínuos [4], água dispersiva [5], ondas de choque [5], condução de calor [6] e turbulência [7]. A equação de Burgers também pode ser considerada uma forma simplificada da equação de Navier-Stokes [8] devido à forma do termo de convecção não linear e a ocorrência de um termo de viscosidade.

A equação de Burgers é uma das poucas equações diferenciais parciais não lineares que podem ser resolvidas com exatidão. Quando o valor absoluto do coeficiente de termo não linear da equação de Burgers é 2 ou 1, as soluções exatas podem ser derivadas pelo método da função tanh estendida modificada [9], o método da função Exp [10], o método tanh-coth [11], e o método de transformada de Cole-Hopf [11-16]. Neste artigo, o coeficiente de termo não linear da equação de Burgers é considerado uma constante arbitrária. As soluções exatas desta equação geral de Burgers são derivadas pelos quatro métodos mencionados acima [9-16]. Além disso, eles também são derivados separadamente pelo método de equação mais simples com a equação de Riccati sendo a equação mais simples e um método geral de transformação de Cole-Hopf recém-desenvolvido [11, 12]. É mostrado que quando o coeficiente do termo não linear é o mesmo que a equação de Burgers regular, as soluções exatas derivadas são as mesmas da literatura existente. No entanto, todas essas soluções exatas não satisfazem a condição de continuidade e não serão redutíveis a soluções lineares quando o coeficiente do termo não linear na equação de Burgers se aproxima de zero.

Neste artigo, novas soluções exatas da equação geral de Burgers são derivadas separadamente por um método de integração direta e o método de equação mais simples com a equação de Bernoulli sendo a equação mais simples, respectivamente. As duas soluções exatas são mostradas como sendo as mesmas. Além disso, a solução recém-derivada pode ser reduzida com sucesso à linearidade, enquanto o coeficiente do termo não linear se aproxima de zero. Finalmente, a solução derivada proposta é comparada com a solução de perturbação e outras soluções exatas existentes. Vários resultados numéricos são apresentados e ilustrados.


Conteúdo

Um exemplo em duas dimensões Editar

Considere o sistema de 3 equações e 2 incógnitas ( X e Y ), que é sobredeterminado porque 3 & gt2, e que corresponde ao Diagrama # 1:

Há uma solução para cada par de equações lineares: para a primeira e segunda equações (0,2, −1,4), para a primeira e a terceira (−2/3, 1/3), e para a segunda e a terceira (1,5, 2,5 ) No entanto, não há solução que satisfaça todos os três simultaneamente. Os diagramas 2 e 3 mostram outras configurações que são inconsistentes porque nenhum ponto está em todas as linhas. Os sistemas desta variedade são considerados inconsistentes.

Os únicos casos em que o sistema sobredeterminado de fato tem uma solução são demonstrados nos Diagramas 4, 5 e 6. Essas exceções podem ocorrer apenas quando o sistema sobredeterminado contém equações linearmente dependentes o suficiente para que o número de equações independentes não exceda o número de desconhecidos. Dependência linear significa que algumas equações podem ser obtidas combinando linearmente outras equações. Por exemplo, Y = X + 1 e 2Y = 2X + 2 são equações linearmente dependentes porque a segunda pode ser obtida tomando duas vezes a primeira.

Editar forma de matriz

Qualquer sistema de equações lineares pode ser escrito como uma equação matricial. O sistema de equações anterior (no Diagrama 1) pode ser escrito da seguinte forma:

Observe que as linhas da matriz de coeficiente (correspondendo a equações) superam as colunas (correspondendo a incógnitas), o que significa que o sistema está sobredeterminado. A classificação dessa matriz é 2, que corresponde ao número de variáveis ​​dependentes no sistema. [3] Um sistema linear é consistente se e somente se a matriz de coeficiente tem a mesma classificação de sua matriz aumentada (a matriz de coeficiente com uma coluna extra adicionada, sendo essa coluna o vetor coluna de constantes). A matriz aumentada possui classificação 3, portanto, o sistema é inconsistente. A nulidade é 0, o que significa que o espaço nulo contém apenas o vetor zero e, portanto, não tem base.

Na álgebra linear, os conceitos de espaço de linha, espaço de coluna e espaço nulo são importantes para determinar as propriedades das matrizes. A discussão informal de restrições e graus de liberdade acima se relaciona diretamente a esses conceitos mais formais.

O caso homogêneo (em que todos os termos constantes são zero) é sempre consistente (porque existe uma solução trivial, totalmente zero). There are two cases, depending on the number of linearly dependent equations: either there is just the trivial solution, or there is the trivial solution plus an infinite set of other solutions.

Consider the system of linear equations: Leu = 0 for 1 ≤ euM, and variables X1, X2, . XN, where each Leu is a weighted sum of the Xeus. Então X1 = X2 = ⋯ = XN = 0 is always a solution. Quando M < N the system is underdetermined and there are always an infinitude of further solutions. In fact the dimension of the space of solutions is always at least NM.

Para MN, there may be no solution other than all values being 0. There will be an infinitude of other solutions only when the system of equations has enough dependencies (linearly dependent equations) that the number of independent equations is at most N − 1. But with MN the number of independent equations could be as high as N, in which case the trivial solution is the only one.

In systems of linear equations, Leu=ceu for 1 ≤ euM, in variables X1, X2, . XN the equations are sometimes linearly dependent in fact the number of linearly independent equations cannot exceed N+1. We have the following possible cases for an overdetermined system with N unknowns and M equations (M& gtN).

  • M = N+1 and all M equations are linearly independent. This case yields no solution. Exemplo: x = 1, x = 2.
  • M & gt N but only K equations (K < M e KN+1) are linearly independent. There exist three possible sub-cases of this:
    • K = N+1. This case yields no solutions. Example: 2x = 2, x = 1, x = 2.
    • K = N. This case yields either a single solution or no solution, the latter occurring when the coefficient vector of one equation can be replicated by a weighted sum of the coefficient vectors of the other equations but that weighted sum applied to the constant terms of the other equations does not replicate the one equation's constant term. Example with one solution: 2x = 2, x = 1. Example with no solution: 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3.
    • K < N. This case yields either infinitely many solutions or no solution, the latter occurring as in the previous sub-case. Example with infinitely many solutions: 3x + 3y = 3, 2x + 2y = 2, x + y = 1. Example with no solution: 3x + 3y + 3z = 3, 2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4.

    These results may be easier to understand by putting the augmented matrix of the coefficients of the system in row echelon form by using Gaussian elimination. This row echelon form is the augmented matrix of a system of equations that is equivalent to the given system (it has exactly the same solutions). The number of independent equations in the original system is the number of non-zero rows in the echelon form. The system is inconsistent (no solution) if and only if the last non-zero row in echelon form has only one non-zero entry that is in the last column (giving an equation 0 = c where c is a non-zero constant). Otherwise, there is exactly one solution when the number of non-zero rows in echelon form is equal to the number of unknowns, and there are infinitely many solutions when the number of non-zero rows is lower than the number of variables.

    Putting it another way, according to the Rouché–Capelli theorem, any system of equations (overdetermined or otherwise) is inconsistent if the rank of the augmented matrix is greater than the rank of the coefficient matrix. If, on the other hand, the ranks of these two matrices are equal, the system must have at least one solution. The solution is unique if and only if the rank equals the number of variables. Otherwise the general solution has k free parameters where k is the difference between the number of variables and the rank hence in such a case there are an infinitude of solutions.

    All exact solutions can be obtained, or it can be shown that none exist, using matrix algebra. See System of linear equations#Matrix solution.

    The method of ordinary least squares can be used to find an approximate solution to overdetermined systems. For the system A x = b , =mathbf ,> the least squares formula is obtained from the problem

    the solution of which can be written with the normal equations, [4]

    where T >> indicates a matrix transpose, provided ( A T A ) − 1 >A ight)^<-1>> exists (that is, provided A has full column rank). With this formula an approximate solution is found when no exact solution exists, and it gives an exact solution when one does exist. However, to achieve good numerical accuracy, using the QR factorization of A to solve the least squares problem is preferred. [5]

    The concept can also be applied to more general systems of equations, such as systems of polynomial equations or partial differential equations. In the case of the systems of polynomial equations, it may happen that an overdetermined system has a solution, but that no one equation is a consequence of the others and that, when removing any equation, the new system has more solutions. For example, ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 , ( x − 1 ) ( x − 3 ) = 0 has the single solution x = 1 , but each equation by itself has two solutions.


    Math Insight

    Solve the ordinary differential equation (ODE) $diff = 5x -3$ for $x(t)$.

    Solução: Using the shortcut method outlined in the introduction to ODEs, we multiply through by $dt$ and divide through by $5x-3$: $frac <5x-3>= dt.$ We integrate both sides egin int frac <5x-3>&= int dt frac<1> <5>log |5x-3| &= t + C_1 5x-3 &= pm exp(5t+5C_1) x &= pm frac<1><5>exp(5t+5C_1) + 3/5 . fim Letting $C = frac<1><5>exp(5C_1)$, we can write the solution as $x(t) = Ce^<5t>+ frac<3><5>.$

    We check to see that $x(t)$ satisfies the ODE: egin diff = 5Ce^<5t> 5x-3 = 5Ce^<5t>+ 3-3 = 5Ce^<5t>. fim Both expressions are equal, verifying our solution.

    Example 2

    Solve the ODE combined with initial condition: egin diff &= 5x -3 x(2) &= 1. end

    Solução: This is the same ODE as example 1, with solution $x(t) = Ce^<5t>+ frac<3><5>.$ We just need to use the initial condition $x(2)=1$ to determine $C$.

    $C$ must satisfy egin 1 = Ce^<5cdot 2>+ frac<3><5>, end so it must be egin C = frac<2> <5>e^<-10>. fim

    Our solution is $x(t) = frac<2><5>e^<5(t-2)>+ frac<3><5>.$ You can verify that $x(2)=1$.

    Example 3

    Solve the ODE with initial condition: egin diff &= 7y^2x^3 y(2) &= 3. end

    Solução: We multiply both sides of the ODE by $dx$, divide both sides by $y^2$, and integrate: egin int y^<-2>dy &= int 7x^3 dx - y^ <-1>&= frac<7><4>x^4 +C y & = frac<-1><4>x^4 +C>. fim The general solution is egin y(x) & = frac<-1><4>x^4 +C>. fim

    Verify the solution: egin diff &= diff<>left(frac<-1><4>x^4 +C> ight) &=frac<7x^3><(frac<7><4>x^4 +C)^2>. fim Given our solution for $y$, we know that egin y(x)^2 & = left(frac<-1><4>x^4 +C> ight)^2 = frac<1><(frac<7><4>x^4 +C)^2>. fim Therefore, we see that indeed egin diff &= frac<7x^3><(frac<7><4>x^4 +C)^2> = 7x^3y^2. fim The solution satisfies the ODE.

    To determine the constant $C$, we plug the solution into the equation for the initial conditions $y(2) = 3$: egin 3 & = frac<-1><4>2^4 +C>. fim The constant $C$ is egin C = -28frac<1><3>= -frac<85><3>, end and the final solution is egin y(x) & = frac<-1><4>x^4 -frac<85><3>>. fim


    Assista o vídeo: Matematikk 1T: Uoppstilte likninger (Dezembro 2021).