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5: Power Series - Matemática


Uma série de potências (em uma variável) é uma série infinita. Qualquer polinômio pode ser facilmente expresso como uma série de potências em torno de qualquer centro c, embora a maioria dos coeficientes seja zero, pois uma série de potências tem infinitos termos por definição. Pode-se ver as séries de potências como "polinômios de grau infinito", embora as séries de potências não sejam polinômios. O conteúdo deste capítulo do mapa de texto é complementado pelo mapa de texto de cálculo de Guichard.

  • 5.1: Prelude to Power Series
    As séries de potências podem ser usadas para definir funções e nos permitem escrever funções que não podem ser expressas de outra forma a não ser como "polinômios infinitos". Uma série infinita também pode ser truncada, resultando em um polinômio finito que podemos usar para aproximar valores funcionais. Representar funções usando séries de potências nos permite resolver problemas matemáticos que não podem ser resolvidos com outras técnicas.
  • 5.2: Séries de potência e funções
    Uma série de potências é um tipo de série com termos que envolvem uma variável. Mais especificamente, se a variável é x, então todos os termos da série envolvem potências de x. Como resultado, uma série de potências pode ser considerada um polinômio infinito. As séries de potências são usadas para representar funções comuns e também para definir novas funções. Nesta seção, definimos as séries de potências e mostramos como determinar quando uma série de potências converge e quando diverge. Também mostramos como representar certas funções usando o poder
  • 5.3: Propriedades da Série de Potência
    As séries de potências podem ser combinadas, diferenciadas ou integradas para criar novas séries de potências. Esse recurso é particularmente útil por alguns motivos. Em primeiro lugar, permite-nos encontrar representações de séries de potências para certas funções elementares, escrevendo essas funções em termos de funções com séries de potências conhecidas. Em segundo lugar, permite-nos definir novas funções que não podem ser escritas em termos de funções elementares. Esse recurso é particularmente útil para resolver equações diferenciais.
  • 5.4: Série Taylor e Maclaurin
    Aqui, discutimos as representações de séries de potências para outros tipos de funções. Em particular, abordamos as seguintes questões: Quais funções podem ser representadas por séries de potências e como encontramos essas representações? Se pudermos encontrar uma representação de série de potências para uma função particular ff e a série convergir em algum intervalo, como provar que a série realmente converge para f?
  • 5.5: Trabalhando com a Taylor Series
    Nesta seção, mostramos como usar essas séries de Taylor para derivar as séries de Taylor para outras funções. Em seguida, apresentamos duas aplicações comuns de séries de potências. Primeiro, mostramos como as séries de potências podem ser usadas para resolver equações diferenciais. Em segundo lugar, mostramos como séries de potências podem ser usadas para avaliar integrais quando a antiderivada do integrando não pode ser expressa em termos de funções elementares.
  • 5.E: Série de potências (exercícios)
    Estes são exercícios de casa para acompanhar o mapa de texto "Calculus" do OpenStax.

Miniatura: O gráfico mostra a função ( displaystyle y = sinx ) e os polinômios Maclaurin ( displaystyle p_1, p_3 ) e ( displaystyle p_5 ). Imagem usada com permissão (CC BY-SA 3.0; OpenStax).

Contribuidores

Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


5: Power Series - Matemática

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5: Power Series - Matemática

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As tarefas de casa são destinadas à sua prática independente. Alguns dos problemas do dever de casa podem ser discutidos nas palestras.

Visite esta página freqüentemente para obter informações atualizadas.

1/10: Trabalho de casa 1 (HW1): # 22 p. 360 ## 18, 22, 32, 36 p. 367 ## 26, 30, 34 p. 375 ## 20, 22 p. 381

1/17: HW2: ## 10, 18 p. 390 ## 28, 30 p. 391 ## 4, 6, 38 p. 402 # 2 p. 406 ## 8, 12 p. 409

1/30: HW3: ## 4, 6 p. 418 ## 4, 6 p. 425 ## 8, 10, 12 p. 432

2/6: HW4: ## 10, 16 p. 438 ## 8, 14, 18 pp. 442-443 ## 8, 14 p. 450

14/02: HW5: # 12 p. 457 ## 2, 4, 6, 8 pp. 462-463 ## 16, 18 p. 469

23/2: HW6: ## 4, 8, 12, 16 p. 624 ## 4, 10, 12, 14 p. 629 (para os dois últimos problemas, leia primeiro o Exemplo 4 na pág. 629)

13/03: HW7: ## 4, 8, 10 p. 632 ## 2, 14 p. 636 ## 6,18 p. 640 # 30 pág. 651 ## 12, 16 pág. 663.

Problemas de revisão final: ## 26, 30 p.391 # 44 p. 402 # 8 p.425 ## 8, 14 p.438 ## 2, 12 p. 450 # 12 pág. 457 # 10 p. 468 ## 2, 4, 16 p. 629 ## 12, 16 p. 659 ## 12, 14 p. 663.


Cálculo Integral CLP-2

onde (x ) é algum número real. Como vimos (de volta ao Exemplo 3.2.4 e Lema 3.2.5), para (| x | lt 1 ) esta série converge para um limite, que varia com (x text <,> ) enquanto para (| x | geq 1 ) a série diverge. Consequentemente, podemos considerar esta série como uma função de (x )

Além disso (também do Exemplo 3.2.4 e Lema 3.2.5) sabemos o que é a função.

Portanto, podemos considerar a série ( sum_^ infty x ^ n ) como uma nova forma de representar a função ( frac <1> <1-x> ) quando (| x | lt 1 text <.> ) Esta série é um exemplo de uma série de potências.

Claro, representar uma função tão simples como ( frac <1> <1-x> ) por uma série não parece que vai tornar a vida mais fácil. No entanto, a ideia de representar uma função por uma série acaba sendo extremamente útil. As séries de potência revelaram-se objetos matemáticos muito robustos e interagem muito bem não apenas com as operações aritméticas padrão, mas também com a diferenciação e integração (ver Teorema 3.5.13). Isso significa, por exemplo, que

e de uma forma muito semelhante

Estamos escondendo alguma matemática sob a palavra “apenas” acima, mas você pode ver que, uma vez que temos uma representação em série de potências de uma função, a diferenciação e a integração se tornam muito simples.

Portanto, devemos estabelecer como nosso objetivo para esta seção, o desenvolvimento de máquinas para definir e compreender as séries de potência. Isso nos permitirá responder às questões 1 Lembre-se que (n! = 1 vezes 2 vezes 3 vezes cdots vezes n ) é chamado de “ (n ) fatorial”. Por convenção (0! = 1 text <.> ) Como

Nosso ponto de partida (agora que nos equipamos com idéias básicas sobre séries), é a definição de séries de potências.


Como calcular a enésima potência de um número?

A enésima potência de uma base, vamos & rsquos dizer & ldquoy & rdquo, significa y multiplicado por si mesma enésima vez. Se quisermos encontrar a quinta potência de y, é y * y * y * y * y.

Algumas outras soluções para a calculadora enésima potência estão na tabela a seguir.

0,1 elevado a 3 0.00100
0,5 elevado a 3 0.12500
0,5 elevado a 4 0.06250
1,2 à potência de 4 2.07360
1,02 elevado à 10ª potência 1.21899
1,03 elevado à 10ª potência 1.34392
1,2 à potência de 5 2.48832
1,4 à 10ª potência 28.92547
1,05 elevado a 5 1.27628
1,05 elevado à 10ª potência 1.62889
1,06 elevado à 10ª potência 1.79085
2 à 3ª potência 8
2 elevado a 3 8
2 elevado à potência de 4 16
2 elevado a 6 64
2 elevado a 7 128
2 à 9ª potência 512
2 à décima potência 1024
2 à 15ª potência 32768
2 à 10ª potência 1024
2 elevado a 28 268435456
3 elevado a 2 9
3 elevado a 3 27
3 elevado a 4 81
3 à 8ª potência 6561
3 à 9ª potência 19683
3 à 12ª potência 531441
3 a que potência é igual a 81 3 4
4 elevado a 3 64
4 elevado a 4 256
4 elevado a 7 16384
7 elevado a 3 343
12 à 2ª potência 144
2,5 à potência de 3 15.625
12 elevado a 3 1728
10 expoente 3 1000
24 à segunda potência (24 2) 576


5: Power Series - Matemática

Antes de começarmos a encontrar soluções em série para equações diferenciais, precisamos determinar quando podemos encontrar soluções em série para equações diferenciais. Então, vamos começar com a equação diferencial,

[começarp left (x right) y '' + q left (x right) y '+ r left (x right) y = 0 labelfim]

Desta vez, realmente queremos dizer coeficientes não constantes. Até este ponto, lidamos apenas com coeficientes constantes. No entanto, com soluções em série, podemos agora ter equações diferenciais de coeficientes não constantes. Além disso, para tornar os problemas um pouco mais agradáveis, estaremos lidando apenas com coeficientes polinomiais.

Agora, dizemos que (x = x_ <0> ) é um ponto comum se fornecido ambos

são analíticos em (x = x_ <0> ). Isso quer dizer que essas duas quantidades têm séries de Taylor em torno de (x = x_ <0> ). Estaremos lidando apenas com coeficientes que são polinômios, então isso será equivalente a dizer que

Se um ponto não é um ponto comum, nós o chamamos de ponto singular.

A ideia básica para encontrar uma solução em série para uma equação diferencial é assumir que podemos escrever a solução como uma série de potências na forma,

e, em seguida, tente determinar o que o (a_) Precisa ser. Só poderemos fazer isso se o ponto (x = x_ <0> ), for um ponto comum. Normalmente diremos que ( eqref) é uma solução em série em torno de (x = x_ <0> ).

Vamos começar com um exemplo bem básico disso. Na verdade, será tão básico que teremos coeficientes constantes. Isso nos permitirá verificar se obtivemos a solução correta.

Observe que, neste caso, (p (x) = 1 ) e, portanto, cada ponto é um ponto comum. Estaremos procurando uma solução no formulário,

Precisaremos conectar isso em nossa equação diferencial, então precisaremos encontrar algumas derivadas.

Lembre-se da seção de revisão de séries de potência em séries de potência que podemos começar em (n = 0 ) se precisarmos, no entanto, é quase sempre melhor iniciá-los onde temos aqui. Se descobrir que teria sido mais fácil iniciá-los em (n = 0 ), podemos facilmente consertar quando chegar a hora.

Portanto, conecte-os à nossa equação diferencial. Fazer isso dá,

A próxima etapa é combinar tudo em uma única série. Para fazer isso, é necessário obtermos as duas séries começando no mesmo ponto e que o expoente em (x ) seja o mesmo em ambas as séries.

Sempre começaremos fazendo com que o expoente em (x ) seja o mesmo. Normalmente, é melhor fazer com que o expoente seja um (n ). A segunda série já tem o expoente adequado e a primeira série precisará ser deslocada para baixo em 2 para obter o expoente até um (n ). Se você não se lembra de como fazer isso, dê uma olhada rápida na primeira seção de revisão, onde resolvemos vários desses tipos de problemas.

Mudar a primeira série de poder nos dá,

Observe que, no processo de mudança, também obtivemos as duas séries começando no mesmo lugar. Isso nem sempre vai acontecer, mas quando acontecer, nós o faremos. Agora podemos somar as duas séries. Isto dá,

Agora, lembrando o fato da seção de revisão da série de potências, sabemos que se temos uma série de potências que é zero para todos (x ) (como é), então todos os coeficientes devem ser zero para começar. Isso nos dá o seguinte,

Isso é chamado de Relação de recorrência e observe que incluímos os valores de (n ) para os quais deve ser verdadeiro. Sempre desejaremos incluir os valores de (n ) para os quais a relação de recorrência é verdadeira, uma vez que eles nem sempre começarão em (n ) = 0 como neste caso.

Agora, vamos relembrar o que queríamos em primeiro lugar. Queríamos encontrar uma solução em série para a equação diferencial. Para fazer isso, precisamos determinar os valores de (a_) 'S. Estamos quase no ponto em que podemos fazer isso. A relação de recorrência tem dois (a_) Está nele, então não podemos simplesmente resolver isso para (a_) e obtenha uma fórmula que funcionará para todos (n ). Podemos, no entanto, usar isso para determinar o que todos, exceto dois dos (a_) 'S são.

Para fazer isso, primeiro resolvemos a relação de recorrência para o (a_) que possui o maior subscrito. Fazer isso dá,

Agora, neste ponto, só precisamos começar a conectar algum valor de (n ) e ver o que acontece,

(n = 0 ) ( = frac << - >> << left (2 right) left (1 right) >> ) (n = 1 ) ( = frac << - >> << left (3 right) left (2 right) >> )
(n = 2 ) (começar & = - frac <<>> << left (4 right) left (3 right) >> & amp = frac <<>> << esquerda (4 direita) esquerda (3 direita) esquerda (2 direita) esquerda (1 direita) >> fim) (n = 3 ) (começar & = - frac <<>> << left (5 right) left (4 right) >> & amp = frac <<>> << esquerda (5 direita) esquerda (4 direita) esquerda (3 direita) esquerda (2 direita) >> fim)
(n = 4 ) (começar & = - frac <<>> << left (6 right) left (5 right) >> & amp = frac << - >> << esquerda (6 direita) esquerda (5 direita) esquerda (4 direita) esquerda (3 direita) esquerda (2 direita) esquerda (1 direita) >> fim) (n = 5 ) (começar & = - frac <<>> << left (7 right) left (6 right) >> & amp = frac << - >> << esquerda (7 direita) esquerda (6 direita) esquerda (5 direita) esquerda (4 direita) esquerda (3 direita) esquerda (2 direita) >> fim)
( vdots ) ( vdots )
(> = frac <<<< left (<- 1> right)> ^ k>>> << left (<2k> right)! >>, , , , k = 1,2, ldots ) (> = frac <<<< left (<- 1> right)> ^ k>>> << left (<2k + 1> right)! >>, , , , k = 1,2, ldots )

Observe que em cada etapa, sempre plugamos de volta na resposta anterior para que quando o subscrito estiver uniforme, poderemos sempre escrever o (a_) em termos de (a_ <0> ) e quando o coeficiente for ímpar, podemos sempre escrever o (a_) em termos de (a_ <1> ). Observe também que, neste caso, fomos capazes de encontrar uma fórmula geral para (a_) 'S com coeficientes pares e (a_) 'S com coeficientes ímpares. Isso nem sempre será possível.

Há mais uma coisa a ser observada aqui. As fórmulas que desenvolvemos foram apenas para (k = 1,2, ldots ), entretanto, neste caso novamente, elas também funcionarão para (k = 0 ). Novamente, isso é algo que nem sempre funciona, mas funciona aqui.

Não fique animado com o fato de que não sabemos o que são (a_ <0> ) e (a_ <1> ). Como você verá, realmente precisamos que eles estejam no problema para obter a solução correta.

Agora que temos fórmulas para o (a_) Vamos encontrar uma solução. A primeira coisa que faremos é escrever a solução com alguns dos (a_) Está conectado.

A próxima etapa é coletar todos os termos com o mesmo coeficiente e então fatorar esse coeficiente.

Na última etapa, também usamos o fato de sabermos qual era a fórmula geral para escrever ambas as partes como uma série de potências. Esta também é a nossa solução. Acabamos.

Antes de trabalhar em outro problema, vamos dar uma olhada na solução do exemplo anterior. Primeiro, começamos dizendo que queríamos uma solução em série do formulário,

e não conseguimos isso. Obtivemos uma solução que continha duas séries de potências diferentes. Além disso, cada uma das soluções tinha uma constante desconhecida. Isso não é um problema. Na verdade, é o que queremos que aconteça. De nosso trabalho com equações diferenciais de coeficiente constante de segunda ordem, sabemos que a solução para a equação diferencial no último exemplo é,

[y left (x right) = cos left (x right) + sin left (x right) ]

Soluções para equações diferenciais de segunda ordem consistem em duas funções separadas, cada uma com uma constante desconhecida na frente delas, que são encontradas aplicando quaisquer condições iniciais. Portanto, a forma de nossa solução no último exemplo é exatamente o que queremos obter. Lembre-se também de que a seguinte série de Taylor,

Relembrando isso, vemos rapidamente que o que obtivemos do método de solução em série foi exatamente a solução que obtivemos dos primeiros princípios, com a exceção de que as funções eram as séries de Taylor para as funções reais em vez das próprias funções reais.

Agora vamos trabalhar um exemplo com coeficientes não constantes, pois é onde as soluções em série são mais úteis.

Como no primeiro exemplo (p (x) = 1 ) e novamente para esta equação diferencial, cada ponto é um ponto comum. Agora vamos começar este exatamente como fizemos no primeiro exemplo. Vamos escrever a forma da solução e obter seus derivados.

Conectar-se à equação diferencial dá,

Ao contrário do primeiro exemplo, primeiro precisamos mover todos os coeficientes para a série.

Agora precisaremos deslocar a primeira série para baixo em 2 e a segunda série para cima em 1 para obter ambas as séries em termos de (x ^n ).

Em seguida, precisamos obter as duas séries começando com o mesmo valor de (n ). A única maneira de fazer isso para este problema é retirar o termo (n = 0 ).

Agora precisamos definir todos os coeficientes iguais a zero. Precisamos ter cuidado com isso, no entanto. O coeficiente (n = 0 ) está na frente da série e os (n = 1,2,3, pontos ) estão todos na série. Então, definindo coeficiente igual a zero dá,

Resolver o primeiro, bem como a relação de recorrência dá,

Agora precisamos começar a inserir os valores de (n ).

( displaystyle = frac <<>> << left (3 right) left (2 right) >> ) ( displaystyle = frac <<>> << left (4 right) left (3 right) >> ) ( displaystyle = frac <<>> << left (5 right) left (4 right) >> = 0 )
(começar & = frac <<>> << left (6 right) left (5 right) >> & amp = frac <<>> << esquerda (6 direita) esquerda (5 direita) esquerda (3 direita) esquerda (2 direita) >> fim) (começar & = frac <<>> << left (7 right) left (6 right) >> & amp = frac <<>> << left (7 right) left (6 right) left (4 right) left (3 right) >> end) ( displaystyle = frac <<>> << left (8 right) left (7 right) >> = 0 )
( vdots ) ( vdots ) ( vdots )
(começar> & = frac <<>> << left (2 right) left (3 right) left (5 right) left (6 right) cdots left (<3k - 1> right) left (<3k > right) >> k & = 1,2,3, ldots end) (começar> & = frac <<>> << left (3 right) left (4 right) left (6 right) left (7 right) cdots left (<3k> right) left (<3k + 1 > right) >> k & = 1,2,3, ldots end) (começar> & = 0 k & = 0,1,2, ldots end)

Há algumas coisas a serem observadas sobre esses coeficientes. Primeiro, todo terceiro coeficiente é zero. Em seguida, as fórmulas aqui são um tanto desagradáveis ​​e não tão fáceis de ver na primeira vez. Finalmente, essas fórmulas não funcionarão para (k = 0 ) ao contrário do primeiro exemplo.

Novamente, reúna os termos que contêm o mesmo coeficiente, fator o coeficiente e escreva os resultados como uma nova série,

Não poderíamos começar nossa série em (k = 0 ) desta vez, pois o termo geral não vale para (k = 0 ).

Agora, precisamos trabalhar um exemplo em que usamos um ponto diferente que (x = 0 ). Na verdade, vamos apenas pegar o exemplo anterior e retrabalhá-lo para um valor diferente de (x_ <0> ). Também vamos precisar mudar um pouco as instruções para este exemplo.

Infelizmente para nós, não há nada do primeiro exemplo que possa ser reutilizado aqui. Mudando para ( = - 2 ) muda completamente o problema. Neste caso, nossa solução será,

Os derivados da solução são,

Conecte-os à equação diferencial.

Nós agora encontramos nossa primeira diferença real entre este exemplo e o exemplo anterior. Neste caso, não podemos simplesmente multiplicar o (x ) na segunda série, pois, para combinar com a série, ele deve ser (x + 2 ). Portanto, primeiro precisaremos modificar o coeficiente da segunda série antes de multiplicá-lo na série.

Agora temos três séries para trabalhar. Isso geralmente ocorre nesses tipos de problemas. Agora precisaremos deslocar a primeira série para baixo em 2 e a segunda série para cima em 1 para obter expoentes comuns em todas as séries.

Para combinar as séries, precisaremos retirar os termos (n = 0 ) da primeira e da terceira série.

Definir coeficientes iguais a zero dá,

Agora precisamos resolver ambos. No primeiro caso, existem duas opções, podemos resolver para (a_ <2> ) ou podemos resolver para (a_ <0> ). Por hábito, vou resolver para (a_ <0> ). Na relação de recorrência, resolveremos para o termo com o maior subscrito como nos exemplos anteriores.

Observe que, neste exemplo, não teremos a cada três desistências de mandato, como fizemos no exemplo anterior.

Neste ponto, também reconheceremos que as instruções para esse problema também são diferentes. Não vamos obter uma fórmula geral para o (a_) Desta vez, teremos que nos contentar em obter apenas os primeiros termos para cada parte da solução. Geralmente, esse é o caso para soluções em série. Obtendo fórmulas gerais para o (a_) 'S é a exceção e não a regra nesses tipos de problemas.

Para obter os primeiros quatro termos, vamos apenas começar a inserir os termos até que tenhamos o número necessário de termos. Observe que já estaremos começando com um (a_ <0> ) e um (a_ <1> ) dos primeiros dois termos da solução, portanto, tudo o que precisaremos são mais três termos com um (a_ < 0> ) neles e mais três termos com um (a_ <1> ) neles.

Temos dois (a_ <0> ) 'se um (a_ <1> ).

Temos três (a_ <0> ) ’se dois (a_ <1> )’ s.

Temos quatro (a_ <0> ) ’se três (a_ <1> )’ s. Temos todos os (a_ <0> ) 's de que precisamos, mas ainda precisamos de mais um (a_ <1> ). Então, vamos precisar fazer mais um termo que pareça.

Temos cinco (a_ <0> ) ’se quatro (a_ <1> )’ s. Temos todos os termos de que precisamos.

Agora, tudo o que precisamos fazer é nos conectar à nossa solução.

Por fim, reúna todos os termos com o mesmo coeficiente e fator o coeficiente para obter,

Essa é a solução para este problema, no que nos diz respeito. Observe que essa solução não se parece em nada com a solução do exemplo anterior. É a mesma equação diferencial, mas mudar (x_ <0> ) mudou completamente a solução.

Vamos resolver um problema final.

[ left (<+ 1> direita) y '' - 4xy '+ 6y = 0 ]

Finalmente temos uma equação diferencial que não tem um coeficiente constante para a segunda derivada.

[p left (x right) = + 1 hspace <0.25in> p left (0 right) = 1 ne 0 ]

Então ( = 0 ) é um ponto comum para esta equação diferencial. Primeiro precisamos da solução e seus derivados,

Conecte-os à equação diferencial.

Agora, divida o primeiro termo em dois para que possamos multiplicar o coeficiente na série e também os coeficientes da segunda e da terceira série.

Precisamos apenas deslocar a segunda série para baixo em dois para obter todos os expoentes iguais em todas as séries.

Neste ponto, poderíamos retirar alguns termos para obter todas as séries começando em (n = 2 ), mas isso é na verdade mais trabalho do que o necessário. Em vez disso, vamos notar que poderíamos começar a terceira série em (n = 0 ) se quiséssemos, porque esse termo é apenas zero. Da mesma forma, os termos da primeira série são zero para (n = 1 ) e (n = 0 ) e, portanto, poderíamos iniciar essa série em (n = 0 ). Se fizermos isso, todas as séries começarão em (n = 0 ) e podemos soma-los sem retirar os termos de qualquer série.

Agora defina os coeficientes iguais a zero.

Agora, inserimos os valores de (n ).

Agora, deste ponto em diante, todos os coeficientes são zero. Nesse caso, ambas as séries da solução serão encerradas. Isso nem sempre acontecerá e, muitas vezes, apenas um deles será encerrado.


Power Series Math Project

Olá a todos! Estou tentando imaginar esse projeto de matemática há cerca de três semanas, e tudo que tento é na verdade lixo. Estou no Calc III e estamos trabalhando na maior parte do Power Series agora. Aqui está a parte do projeto que eu literalmente não avancei !! Encontrei outros exemplos online indo na direção oposta a este (esse é o estilo do projeto. Meu professor pegou provas famosas e as trocou e temos que resolvê-las de outra forma), mas não tem sido útil para mim.

Eu acho que mesmo se eu conseguisse alguma ajuda com a primeira parte, eu teria uma ideia de como continuar !! Obrigado a todos que reservaram um tempo até mesmo para ler isto!
Tínhamos definido a sequência de Fibonacci recursivamente, mas nenhuma fórmula foi fornecida para seu termo geral. Esta parte do projeto alcançará esse objetivo. Considere a função

f (x) =

x
1 - x - x 2

1. Suponha que x = soma ∞

k = 0 a k x k. Justifique que a 1 = 1 e a k = 0 para todo k = 1.

2. Mostre que se f (x) = soma ∞

n = 1 f n x n, então

n = 1 é a sequência de Fibonacci.

Isso mostra que f 1 = f 2 = 1 ef n = f n - 1 + f n - 2 para n ≥ 3,3. Usando frações parciais, encontre uma representação de f (x) em termos de uma série de poderes.4. Deduza das etapas acima uma fórmula para f n para todo n ≥ 1

Subhotosh Khan

Super moderador

Olá a todos! Estou tentando imaginar esse projeto de matemática há cerca de três semanas, e tudo que tento é na verdade lixo. Estou no Calc III e estamos trabalhando na maior parte do Power Series agora. Aqui está a parte do projeto que eu literalmente não avancei !! Encontrei outros exemplos online indo na direção oposta a este (esse é o estilo do projeto. Meu professor pegou provas famosas e as trocou e temos que resolvê-las de outra forma), mas não tem sido útil para mim.

Eu acho que mesmo se eu conseguisse alguma ajuda com a primeira parte, eu teria uma ideia de como continuar !! Obrigado a todos que reservaram um tempo até mesmo para ler isto!
Tínhamos definido a sequência de Fibonacci recursivamente, mas nenhuma fórmula foi fornecida para seu termo geral. Esta parte do projeto alcançará esse objetivo. Considere a função

f (x) =

x
1 - x - x 2

1. Suponha que x = soma ∞

k = 0 a k x k. Justifique que a 1 = 1 e a k = 0 para todo k = 1.

2. Mostre que se f (x) = soma ∞

n = 1 f n x n, então

n = 1 é a sequência de Fibonacci.

Isso mostra que f 1 = f 2 = 1 ef n = f n - 1 + f n - 2 para n ≥ 3,3. Usando frações parciais, encontre uma representação de f (x) em termos de uma série de poderes.4. Deduza das etapas acima uma fórmula para f n para todo n ≥ 1

Stapel

Super moderador

Tínhamos definido a sequência de Fibonacci recursivamente, mas nenhuma fórmula foi fornecida para seu termo geral. Esta parte do projeto alcançará esse objetivo.

Considere a função ( displaystyle , f (x) , = , dfrac<1 , - , x , - , x ^ 2> )

Eu corrigi adivinhei a função acima? Caso contrário, responda com esclarecimentos.

Sinto muito, mas não sei o que isso significa. Suspeito que você esteja fazendo algum tipo de soma, mas parece que sua equação é a seguinte:

. o que não faz sentido. Por favor, responda com esclarecimentos. (Você pode usar a formatação matemática padrão segura para a web, conforme explicado aqui.) Obrigada!


Conteúdo

O termo potência (Latim: potentia, potestas, dignitas) é uma tradução incorreta [4] [5] do grego antigo δύναμις (dúnamis, aqui: "amplificação" [4]) usada pelo matemático grego Euclides para o quadrado de uma linha, [6] seguindo Hipócrates de Quios. [7] Arquimedes descobriu e provou a lei dos expoentes, 10 uma ⋅ 10 b = 10 uma+b , necessário para manipular poderes de 10. [8] [ melhor fonte necessária ] No século 9, o matemático persa Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī usou os termos مَال (mal, "posses", "propriedade") para um quadrado - os muçulmanos, "como a maioria dos matemáticos daquela época e de épocas anteriores, pensavam em um número quadrado como uma representação de uma área, especialmente de terras, portanto propriedade" [9] - e كَعْبَة (Kaʿbah, "cubo") para um cubo, que posteriormente os matemáticos islâmicos representaram em notação matemática como as letras mim (m) e kāf (k), respectivamente, por volta do século 15, conforme visto na obra de Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī. [10]

No final do século 16, Jost Bürgi usava numerais romanos para expoentes. [11]

Nicolas Chuquet usou uma forma de notação exponencial no século 15, que mais tarde foi usada por Henricus Grammateus e Michael Stifel no século 16. A palavra expoente foi cunhado em 1544 por Michael Stifel. [12] [13] Samuel Jeake introduziu o termo índices em 1696. [6] No século 16, Robert Recorde usou os termos quadrado, cubo, zenzizenzico (quarta potência), sursólido (quinto), zenzicubo (sexto), segundo sursólido (sétimo) e zenzizenzizenzico (oitavo). [9] Biquadrate também foi usado para se referir ao quarto poder.

No início do século 17, a primeira forma de nossa notação exponencial moderna foi introduzida por René Descartes em seu texto intitulado La Géométrie lá, a notação é introduzida no Livro I. [14]

Alguns matemáticos (como Isaac Newton) usavam expoentes apenas para potências maiores que dois, preferindo representar quadrados como multiplicação repetida. Assim, eles escreveriam polinômios, por exemplo, como machado + bxx + cx 3 + d .

Outro sinônimo histórico, involução, agora é raro [15] e não deve ser confundido com seu significado mais comum.

"considere exponenciais ou potências em que o próprio expoente é uma variável. É claro que quantidades desse tipo não são funções algébricas, uma vez que nelas os expoentes devem ser constantes." [16]

Com esta introdução de funções transcendentais, Euler lançou as bases para a introdução moderna do logaritmo natural - como a função inversa para a função exponencial natural, f(x) = e x .

A expressão b 2 = bb é chamado de "o quadrado de b" ou "b quadrado ", porque a área de um quadrado com comprimento lateral b é b 2 .

Da mesma forma, a expressão b 3 = bbb é chamado de "o cubo de b" ou "b cubado ", porque o volume de um cubo com comprimento lateral b é b 3 .

Quando é um número inteiro positivo, o expoente indica quantas cópias da base são multiplicadas juntas. Por exemplo, 3 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243. A base 3 aparece 5 vezes na multiplicação, pois o expoente é 5. Aqui, 243 é o 5ª potência de 3, ou 3 elevado à 5ª potência.

A palavra "elevado" é geralmente omitida e, às vezes, "potência" também, portanto, 3 5 pode ser simplesmente lido "3 à 5ª" ou "3 à 5". Portanto, a exponenciação b n pode ser expresso como "b ao poder de n", "b para o no poder ","b para o nth ", ou mais resumidamente como"b para o n".

Uma fórmula com exponenciação aninhada, como 3 5 7 (que significa 3 (5 7) e não (3 5) 7), é chamada de torre de poderes, ou simplesmente um torre.

A operação de exponenciação com expoentes inteiros pode ser definida diretamente a partir de operações aritméticas elementares.

Editar expoentes positivos

Potências com expoentes inteiros positivos podem ser definidas pelo caso base [17]

A associatividade da multiplicação implica que para quaisquer inteiros positivos m e n,

Edição de expoente zero

Qualquer número diferente de zero elevado à potência 0 é 1: [18] [2]

Uma interpretação de tal poder é como um produto vazio.

O caso de 0 0 é mais complicado, e a escolha de atribuir a ele um valor e qual valor atribuir pode depender do contexto. Para obter mais detalhes, consulte Zero à potência de zero.

Edição de expoentes negativos

A seguinte identidade é válida para qualquer número inteiro n e diferente de zero b:

Elevar 0 a um expoente negativo é indefinido, mas em algumas circunstâncias, pode ser interpretado como infinito (∞).

A identidade acima pode ser derivada por meio de uma definição destinada a estender o intervalo de expoentes a inteiros negativos.

Para b diferente de zero e n positivo, a relação de recorrência acima pode ser reescrita como

Ao definir esta relação como válida para todos os inteiros ne diferentes de zero b, segue-se que

e mais geralmente para qualquer b diferente de zero e qualquer número inteiro não negativo n,

Isso é então prontamente mostrado como verdadeiro para todo inteiro n.

Editar identidades e propriedades

As seguintes identidades são válidas para todos os expoentes inteiros, desde que a base seja diferente de zero: [2]

Ao contrário da adição e multiplicação:

  • A exponenciação não é comutativa. Por exemplo, 2 3 = 8 ≠ 3 2 = 9.
  • A exponenciação não é associativa. Por exemplo, (2 3) 4 = 8 4 = 4096, enquanto 2 (3 4) = 2 81 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352. Sem parênteses, a ordem convencional de operações para exponenciação serial em notação sobrescrita é de cima para baixo (ou direito-associativo), não ascendente [19] [20] [21] [22] (ou deixou-associativo). Ou seja, b p q = b (p q), < displaystyle b ^<>> = b ^ < left (p ^ right)>,>

que, em geral, é diferente de

Poderes de uma soma Editar

As potências de uma soma podem normalmente ser calculadas a partir das potências das somas pela fórmula binomial

No entanto, esta fórmula é verdadeira apenas se a soma comutar (ou seja, ab = BA ), o que está implícito se pertencerem a uma estrutura comutativa. Caso contrário, se aeb são, digamos, matrizes quadradas do mesmo tamanho, esta fórmula não pode ser usada. Segue-se que em álgebra computacional, muitos algoritmos envolvendo expoentes inteiros devem ser alterados quando as bases de exponenciação não comutam. Alguns sistemas de álgebra computacional de uso geral usam uma notação diferente (às vezes ^^ em vez de ^) para exponenciação com bases não comutativas, que é então chamada exponenciação não comutativa.

Interpretação combinatória Editar

Para inteiros não negativos n e m, o valor de n m é o número de funções de um conjunto de m elementos para um conjunto de n elementos (consulte exponenciação cardinal).Essas funções podem ser representadas como m-duplas de um conjunto de n-elementos (ou como palavras de m-letras de um alfabeto de n-letras). Alguns exemplos para valores específicos de m e n são fornecidos na tabela a seguir:

n m O n m possíveis m -tuplos de elementos do conjunto <1,. n>
0 5 = 0 Nenhum
1 4 = 1 (1,1,1,1)
2 3 = 8 (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)
3 2 = 9 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
4 1 = 4 (1),(2),(3),(4)
5 0 = 1 ()

Editar bases particulares

Poderes de dez Editar

No sistema numérico de base dez (decimal), potências inteiras de 10 são escritas como o dígito 1 seguido ou precedido por um número de zeros determinado pelo sinal e magnitude do expoente. Por exemplo, 10 3 = 1000 e 10 −4 = 0,0001.

A exponenciação com base 10 é usada em notação científica para denotar números grandes ou pequenos. Por exemplo, 299 792 458 m / s (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2,997 924 58 × 10 8 m / s e então aproximada como 2,998 × 10 8 m / s.

Os prefixos SI baseados em potências de 10 também são usados ​​para descrever pequenas ou grandes quantidades. Por exemplo, o prefixo quilo significa 10 3 = 1000, então um quilômetro é 1000 m.

Poderes de três Editar

Poderes de dois Editar

As primeiras potências negativas de 2 são comumente usadas e têm nomes especiais, por exemplo: metade e trimestre.

Potências de 2 aparecem na teoria dos conjuntos, uma vez que um conjunto com n membros tem um conjunto de energia, o conjunto de todos os seus subconjuntos, que tem 2 n membros.

Potências inteiras de 2 são importantes na ciência da computação. O número inteiro positivo potencia 2 n dê o número de valores possíveis para um n -bit número binário inteiro, por exemplo, um byte pode ter 2 8 = 256 valores diferentes. O sistema numérico binário expressa qualquer número como uma soma de potências de 2 e o denota como uma sequência de 0 e 1, separados por um ponto binário, onde 1 indica uma potência de 2 que aparece na soma em que o expoente é determinado pelo lugar deste 1: os expoentes não negativos são a classificação do 1 à esquerda do ponto (começando em 0), e os expoentes negativos são determinados pela classificação à direita do ponto.

Poderes de uma edição

Os poderes de um são todos um: 1 n = 1 .

Poderes de zero Editar

Se o expoente n for positivo ( n & gt 0), a enésima potência de zero é zero: 0 n = 0 .

Se o expoente n for negativo ( n & lt 0), a enésima potência de zero 0 n é indefinido, porque deve ser igual a 1/0 - n < displaystyle 1/0 ^ <-n>> com -n & gt 0, e isso seria 1/0 < displaystyle 1/0> de acordo com acima.

A expressão 0 0 é definida como 1 ou é deixada indefinida (veja Zero à potência de zero).

Poderes do negativo Editar

Se n é um número inteiro par, então (-1) n = 1 .

Se n é um número inteiro ímpar, então (-1) n = −1 .

Por causa disso, potências de -1 são úteis para expressar sequências alternadas. Para uma discussão semelhante sobre os poderes do número complexo eu , consulte § Poderes dos números complexos.

Edição de expoentes grandes

O limite de uma sequência de poderes de um número maior que um diverge em outras palavras, a sequência cresce sem limites:

b n → ∞ como n → ∞ quando b & gt 1

Isso pode ser lido como "b ao poder de n tende a + ∞ conforme n tende ao infinito quando b é maior que um ".

Potências de um número com valor absoluto menor que um tendem a zero:

b n → 0 como n → ∞ quando | b | & lt 1

Qualquer poder de um é sempre um:

b n = 1 para todos n E se b = 1

Os poderes de -1 alternam entre 1 e -1 como n alterna entre pares e ímpares e, portanto, não tende a nenhum limite como n cresce.

Se b & lt -1, b n , alterna entre números positivos e negativos maiores e maiores como n alterna entre pares e ímpares e, portanto, não tende a nenhum limite como n cresce.

Se o número exponenciado varia enquanto tende para 1, já que o expoente tende para o infinito, então o limite não é necessariamente um daqueles acima. Um caso particularmente importante é

(1 + 1/n) ne como n → ∞

Outros limites, em particular os das expressões que assumem forma indeterminada, são descritos nos § Limites de competências a seguir.

Funções de energia Editar

Lista de poderes de número inteiro Editar

n n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 n 9 n 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

A na raiz de um número b é um número x de tal modo que x n = b .

Se b é um número real positivo e n é um número inteiro positivo, então há exatamente uma solução real positiva para x n = b . Esta solução é chamada de diretor na raiz de b. É denotado nb , onde √ é o radical símbolo alternativamente, o principal na raiz de b pode ser escrito b 1/n . Por exemplo: 9 1/2 = √ 9 = 3 e 8 1/3 = 3 √ 8 = 2.

Se b é igual a 0, a equação x n = b tem uma solução, que é x = 0 .

Se n é par e b é positivo então x n = b tem duas soluções reais, que são a positiva e a negativa nas raízes de b, isso é, b 1/n & gt 0 e - (b 1/n ) & lt 0.

Se n é par e b for negativo, a equação não tem solução em números reais.

Se n é estranho então x n = b tem exatamente uma solução real, que é positiva se b é positivo ( b 1/n & gt 0) e negativo se b é negativo ( b 1/n & lt 0).

Pegando um número real positivo b para um expoente racional você/v, Onde você é um inteiro e v é um número inteiro positivo e, considerando apenas as raízes principais, produz

Pegando um número real negativo b para um poder racional você/v, Onde você/v está em termos mais baixos, produz um resultado real positivo se você é par, e portanto v é estranho, porque então b você é positivo e produz um resultado real negativo, se você e v são ambos estranhos, porque então b você é negativo. O caso de mesmo v (e, portanto, estranho você) não pode ser tratado desta forma dentro dos reais, uma vez que não existe um número real x de tal modo que x 2k = -1, o valor de b você/v neste caso deve usar a unidade imaginária eu, conforme descrito mais detalhadamente na seção § Poderes dos números complexos.

Assim, temos (−27) 1/3 = −3 e (−27) 2/3 = 9. O número 4 tem dois poderes 3/2, a saber 8 e −8, no entanto, por convenção, a notação 4 3/2 emprega o raiz principale resulta em 8. Para empregar o v-ésima raiz o você/v-º poder também é chamado de v/você-ésima raiz, e para par v O termo raiz principal denota também o resultado positivo.

Essa ambigüidade de sinal precisa ser cuidada ao aplicar as identidades de poder. Por exemplo:

está claramente errado. O problema começa já na primeira igualdade, introduzindo um padrão notação para uma situação inerentemente ambígua - pedindo uma raiz uniforme - e simplesmente confiar erroneamente em apenas um, o convencional ou diretor interpretação. O mesmo problema ocorre também com uma notação surd introduzida de forma inadequada, impondo inerentemente um resultado positivo:

Em geral, o mesmo tipo de problema ocorre para números complexos, conforme descrito na seção § Falha de energia e identidades logarítmicas.

A exponenciação para potências reais de números reais positivos pode ser definida estendendo-se as potências racionais para reais por continuidade ou, mais comumente, como dado em § Potências via logaritmos abaixo. O resultado é sempre um número real positivo e as identidades e propriedades mostradas acima para expoentes inteiros também são verdadeiras para bases reais positivas com expoentes não inteiros.

Por outro lado, a exponenciação para uma potência real de um número real negativo é muito mais difícil de definir consistentemente, pois pode ser não real e ter vários valores (ver § Expoentes reais com bases negativas). Pode-se escolher um desses valores, chamado de valor principal, mas não há escolha do valor principal para o qual uma identidade como

é verdadeiro, consulte § Falha de identidades de energia e logaritmo. Portanto, a exponenciação com uma base que não é um número real positivo é geralmente vista como uma função multivalorada.

Limites de expoentes racionais Editar

Uma vez que qualquer número irracional pode ser expresso como o limite de uma sequência de números racionais, a exponenciação de um número real positivo b com um expoente real arbitrário x pode ser definido pela continuidade com a regra [24]

onde o limite é r chega perto de x é tomado apenas sobre os valores racionais de r. Este limite só existe para positivo b. O (ε, δ) -definição de limite é usada, isso envolve mostrar que para qualquer precisão desejada do resultado b x pode-se escolher um intervalo suficientemente pequeno em torno de x para que todas as potências racionais no intervalo estejam dentro da precisão desejada.

Por exemplo, se x = π , a representação decimal não terminante π = 3,14159 ... pode ser usado (com base na monotonicidade estrita do poder racional) para obter os intervalos delimitados por poderes racionais

A função exponencial Editar

A importante constante matemática e, às vezes chamada de número de Euler, é aproximadamente igual a 2,718 e é a base do logaritmo natural. Embora exponenciação de e poderia, em princípio, ser tratado da mesma forma que a exponenciação de qualquer outro número real, tais exponenciais acabaram por ter propriedades particularmente elegantes e úteis. Entre outras coisas, essas propriedades permitem exponenciais de e para ser generalizado de forma natural para outros tipos de expoentes, como números complexos ou mesmo matrizes, enquanto coincide com o significado familiar de exponenciação com expoentes racionais.

Como consequência, a notação e x geralmente denota uma definição de exponenciação generalizada chamada de função exponencial, exp (x), que pode ser definido de muitas maneiras equivalentes, por exemplo, por

Entre outras propriedades, exp satisfaz a identidade exponencial

exp ⁡ (x + y) = exp ⁡ (x) ⋅ exp ⁡ (y).

A função exponencial é definida para todos os valores inteiros, fracionários, reais e complexos de x. Na verdade, a matriz exponencial é bem definida para matrizes quadradas (neste caso, esta identidade exponencial só se mantém quando x e y comutar) e é útil para resolver sistemas de equações diferenciais lineares.

Como exp (1) é igual a e, e exp (x) satisfaz esta identidade exponencial, segue-se imediatamente que exp (x) coincide com a definição de multiplicação repetida de e x para inteiro x, e também segue que os poderes racionais denotam raízes (positivas) como de costume, então exp (x) coincide com o e x definições na seção anterior para todos os reais x por continuidade.

Poderes via logaritmos Editar

Quando e x é definido como a função exponencial, b x pode ser definido, para outros números reais positivos b, em termos de e x . Especificamente, o logaritmo natural ln (x) é o inverso da função exponencial e x . É definido para b & gt 0, e satisfaz

Se b x é preservar as regras de logaritmo e expoente, então deve-se ter

Isso pode ser usado como uma definição alternativa da potência do número real b x e concorda com a definição dada acima usando expoentes racionais e continuidade. A definição de exponenciação usando logaritmos é mais comum no contexto de números complexos, conforme discutido abaixo.

Expoentes reais com bases negativas Editar

Potências de um número real positivo são sempre números reais positivos. A solução de x 2 = 4, entretanto, pode ser 2 ou −2. O valor principal de 4 1/2 é 2, mas −2 também é uma raiz quadrada válida. Se a definição de exponenciação de números reais for estendida para permitir resultados negativos, o resultado não será mais bem-comportado.

Nem o método do logaritmo nem o método do expoente racional podem ser usados ​​para definir b r como um número real para um número real negativo b e um número real arbitrário r. De fato, e r é positivo para cada número real r, então ln (b) não é definido como um número real para b ≤ 0 .

O método do expoente racional não pode ser usado para valores negativos de b porque depende da continuidade. A função f(r) = b r tem uma extensão única contínua [24] dos números racionais aos números reais para cada b & gt 0. Mas quando b & lt 0, a função f nem mesmo é contínuo no conjunto de números racionais r para o qual está definido.

Por exemplo, considere b = -1. O na raiz de -1 é -1 para cada número natural ímpar n. Então se n é um número inteiro positivo ímpar, (-1) (m/n) = -1 se m é ímpar, e (−1) (m/n) = 1 se m é mesmo. Assim, o conjunto de números racionais q para o qual (-1) q = 1 é denso nos números racionais, assim como o conjunto de q para o qual (-1) q = -1. Isso significa que a função (-1) q não é contínuo em nenhum número racional q onde é definido.

Por outro lado, poderes complexos arbitrários de números negativos b pode ser definido escolhendo um complexo logaritmo de b.

Expoentes irracionais Editar

Se b é um número algébrico real positivo, e x é um número racional, foi mostrado acima que b x é um número algébrico. Isso permanece verdadeiro mesmo se alguém aceitar qualquer número algébrico para b, com a única diferença que b x pode assumir vários valores (um número finito, veja abaixo), que são todos algébricos. O teorema de Gelfond-Schneider fornece algumas informações sobre a natureza da b x quando x é irracional (isto é, não é racional) Afirma:

Se b é um número algébrico diferente de 0 e 1, e x um número algébrico irracional, então todos os valores de b x (há infinitamente muitos) são transcendentais (ou seja, não algébricos).

Se b é um número real positivo e z é qualquer número complexo, a potência b z é definido por

Onde x = ln (b) é a única solução real para a equação e x = b , e o complexo poder de e é definido pela função exponencial, que é a função única de uma variável complexa que é igual à sua derivada e assume o valor 1 para x = 0 .

Como, em geral, b z não é um número real, uma expressão como (b z ) C não é definido pela definição anterior. Deve ser interpretado através das regras para potências de números complexos e, a menos que z seja real ou w seja inteiro, geralmente não é igual b zw , como se poderia esperar.

Existem várias definições da função exponencial, mas elas se estendem de forma compatível a números complexos e satisfazem a propriedade exponencial. Para quaisquer números complexos z e C, a função exponencial satisfaz e z + w = ​​e z e w < displaystyle e ^= e ^e ^>. Em particular, para qualquer número complexo z = x + i y

Esta fórmula vincula problemas em trigonometria e álgebra.

Portanto, para qualquer número complexo z = x + i y,

Edição de definição de série

A função exponencial sendo igual à sua derivada e satisfazendo e 0 = 1, < displaystyle e ^ <0> = 1,> sua série de Taylor deve ser

Esta série infinita, que muitas vezes é tomada como a definição da função exponencial e z para expoentes complexos arbitrários, é absolutamente convergente para todos os números complexos z.

Quando z é puramente imaginário, isto é, z = iy para um número real y, a série acima se torna

que (porque converge absolutamente) pode ser reordenado para

As partes real e imaginária desta expressão são expansões de Taylor de cosseno e seno, respectivamente, centradas em zero, implicando a fórmula de Euler:

Limite de definição Editar

Edição de periodicidade

Ou seja, a função exponencial complexa e z = exp ⁡ (z) = exp ⁡ (z + 2 k π i) < displaystyle e ^= exp (z) = exp (z + 2k pi i)> para qualquer inteiro k é uma função periódica com período 2 π i < displaystyle 2 pi i>.

Edição de exemplos

Potências inteiras de números complexos diferentes de zero são definidas por multiplicação ou divisão repetida como acima. Se eu é a unidade imaginária e n é um inteiro, então eu n é igual a 1, eu, -1 ou -eu, de acordo com se o inteiro n é congruente com 0, 1, 2 ou 3 módulo 4. Por causa disso, os poderes de eu são úteis para expressar sequências do período 4.

Os poderes complexos de reais positivos são definidos via e x como na seção Expoentes complexos com bases reais positivas acima. Estas são funções contínuas.

Tentar estender essas funções ao caso geral de potências não inteiras de números complexos que não são reais positivos leva a dificuldades. Podemos definir funções descontínuas ou funções multivaloradas. Nenhuma dessas opções é totalmente satisfatória.

O poder racional de um número complexo deve ser a solução para uma equação algébrica. Portanto, sempre tem um número finito de valores possíveis. Por exemplo, C = z 1/2 deve ser uma solução para a equação C 2 = z . Mas se C é uma solução, então é -C, porque (−1) 2 = 1. Uma solução única, mas um tanto arbitrária, chamada de valor principal, pode ser escolhida usando uma regra geral que também se aplica a poderes não racionais.

Poderes complexos e logaritmos são tratados mais naturalmente como funções de valor único em uma superfície de Riemann. As versões de valor único são definidas ao escolher uma folha. O valor apresenta uma descontinuidade ao longo de um corte de galho.A escolha de uma entre muitas soluções como o valor principal nos deixa com funções que não são contínuas, e as regras usuais para manipular poderes podem nos levar ao erro.

Qualquer potência não racional de um número complexo tem um número infinito de valores possíveis devido à natureza multivalorada do logaritmo complexo. O valor principal é um valor único escolhido entre estes por uma regra que, entre as suas outras propriedades, garante potências de números complexos com parte real positiva e parte imaginária zero dão o mesmo valor que a regra definida acima para a base real correspondente.

Exponenciar um número real para uma potência complexa é formalmente uma operação diferente daquela para o número complexo correspondente. No entanto, no caso comum de um número real positivo, o valor principal é o mesmo.

As potências dos números reais negativos nem sempre são definidas e são descontínuas mesmo quando definidas. Na verdade, eles são definidos apenas quando o expoente é um número racional com o denominador sendo um inteiro ímpar. Ao lidar com números complexos, a operação de números complexos é normalmente usada.

Expoentes complexos com bases complexas Editar

Para números complexos C e z com C ≠ 0, a notação C z é ambíguo no mesmo sentido que log C é.

Para obter um valor de C z , primeiro escolha um logaritmo de C chamá-lo de log C . Essa escolha pode ser o valor principal Log C (o padrão, se nenhuma outra especificação for fornecida), ou talvez um valor fornecido por algum outro ramo do log C fixada com antecedência. Então, usando a função exponencial complexa, define-se

porque isso concorda com a definição anterior no caso em que C é um número real positivo e o valor principal (real) de log C é usado.

Se z é um número inteiro, então o valor de C z é independente da escolha do log C , e concorda com a definição anterior de exponenciação com um expoente inteiro.

Se z é um número racional m/n em termos mais baixos com n & gt 0, então o número infinitamente contável de opções de log C rendimento apenas n valores diferentes para C z esses valores são os n soluções complexas s para a equação s n = C m .

Se z é um número irracional, então o número infinitamente contável de opções de log C levam a infinitos valores distintos para C z .

O cálculo de poderes complexos é facilitado pela conversão da base C para a forma polar, conforme descrito em detalhes abaixo.

Uma construção semelhante é empregada em quatérnios.

Raízes complexas da unidade Editar

Um número complexo C de tal modo que C n = 1 para um número inteiro positivo n é um na raiz da unidade. Geometricamente, o nas raízes da unidade encontram-se no círculo unitário do plano complexo nos vértices de um n-gon com um vértice no número real 1.

Se C n = 1 mas C k ≠ 1 para todos os números naturais k de modo que 0 & lt k & lt n , então C é chamado de primitivo na raiz da unidade. A unidade negativa -1 é a única raiz quadrada primitiva da unidade. A unidade imaginária eu é uma das duas 4ª raízes primitivas da unidade, a outra é -eu.

O outro nas raízes da unidade são dadas por

Raízes de números complexos arbitrários Editar

Embora haja infinitos valores possíveis para um logaritmo complexo geral, há apenas um número finito de valores para a potência w q no caso especial importante onde q = 1/n e n é um número inteiro positivo. Estes são os n as raízes de C eles são soluções da equação z n = C . Tal como acontece com as raízes reais, uma segunda raiz também é chamada de raiz quadrada e uma terceira raiz também é chamada de raiz cúbica.

É comum em matemática definir C 1/n como o valor principal da raiz, que é, convencionalmente, o n a raiz cujo argumento tem o menor valor absoluto. Quando C é um número real positivo, isso é coerente com a convenção usual de definição C 1/n como o único real positivo n a raiz. Por outro lado, quando C é um número real negativo e n é um número inteiro ímpar, o real único n a raiz não é uma das duas n as raízes cujo argumento tem o menor valor absoluto. Neste caso, o significado de C 1/n pode depender do contexto, e alguns cuidados podem ser necessários para evitar erros.

O conjunto de n as raízes de um número complexo C é obtido multiplicando o valor principal C 1/n por cada um dos n as raízes da unidade. Por exemplo, as quartas raízes de 16 são 2, −2, 2 eu , e -2 eu , porque o valor principal da quarta raiz de 16 é 2 e as quartas raízes da unidade são 1, -1, eu , e - eu .

Computando poderes complexos Editar

Freqüentemente, é mais fácil calcular potências complexas escrevendo o número a ser exponenciado na forma polar. Cada número complexo z pode ser escrito na forma polar

Onde r é um número real não negativo e θ é o (real) argumento de z. A forma polar tem uma interpretação geométrica simples: se um número complexo você + 4 é considerado como representando um ponto (você, v) no plano complexo usando coordenadas cartesianas, então (r, θ) é o mesmo ponto em coordenadas polares. Isso é, r é o "raio" r 2 = você 2 + v 2 e θ é o "ângulo" θ = atan2 (v, você) O ângulo polar θ é ambíguo, pois qualquer múltiplo inteiro de 2π pode ser adicionado a θ sem alterar a localização do ponto. Cada escolha de θ dá em geral um valor possível diferente do poder. Um corte de ramo pode ser usado para escolher um valor específico. O valor principal (o corte de ramo mais comum), corresponde a θ escolhido no intervalo (−π, π]. Para números complexos com uma parte real positiva e parte imaginária zero, usar o valor principal dá o mesmo resultado que usar o número real correspondente.

A fim de calcular o poder complexo C z , Escreva C na forma polar:

Se z é decomposto como c + di , então a fórmula para C z pode ser escrito de forma mais explícita como

Esta fórmula final permite que poderes complexos sejam calculados facilmente a partir de decomposições da base na forma polar e do expoente na forma cartesiana. É mostrado aqui tanto na forma polar quanto na forma cartesiana (via identidade de Euler).

Os exemplos a seguir usam o valor principal, o corte do ramo que causa θ estar no intervalo (−π, π]. Para calcular eu eu , Escreva eu nas formas polares e cartesianas:

Da mesma forma, para encontrar (−2) 3 + 4eu , calcule a forma polar de −2:

e use a fórmula acima para calcular

O valor de um poder complexo depende do ramo usado. Por exemplo, se a forma polar eu = 1e 5πi/ 2 é usado para calcular eu eu , o poder é encontrado para ser e −5π/ 2 o valor principal de eu eu , calculado acima, é e −π / 2. O conjunto de todos os valores possíveis para eu eu é dado por [28]

Portanto, há uma infinidade de valores que são possíveis candidatos para o valor de eu eu , um para cada inteiro k. Todos eles têm uma parte imaginária zero, então pode-se dizer eu eu tem uma infinidade de valores reais válidos.

Falha de energia e identidades logarítmicas Editar

Algumas identidades para potências e logaritmos para números reais positivos falharão para números complexos, não importa como potências complexas e logaritmos complexos são definidos como funções de valor único. Por exemplo:

  • O log de identidade (bx ) = x ⋅ log b é válido sempre que b for um número real positivo e x for um número real. Mas para o ramo principal do logaritmo complexo temos i π = log ⁡ (- 1) = log ⁡ [(- i) 2] ≠ 2 log ⁡ (- i) = 2 (- i π 2) = - i π < displaystyle i pi = log (-1) = log left [(- i) ^ <2> right] neq 2 log (-i) = 2 left (- < frac <2>> ight)=-ipi >

Independentemente de qual ramificação do logaritmo é usada, uma falha semelhante da identidade existirá. O melhor que pode ser dito (se apenas usando este resultado) é que:

Essa identidade não se mantém, mesmo quando se considera o log como uma função de vários valores. Os possíveis valores de log (C z ) contêm aqueles de z ⋅ log C como um subconjunto. Usando Log (C) para o valor principal do log (C) e m, n como quaisquer números inteiros, os valores possíveis de ambos os lados são:

Por outro lado, quando x é um inteiro, as identidades são válidas para todos os números complexos diferentes de zero.

Edição Monoids

A exponenciação com expoentes inteiros pode ser definida em qualquer monóide multiplicativo. [30] Um monóide é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto X junto com uma regra de composição ("multiplicação") que satisfaça uma lei associativa e uma identidade multiplicativa, denotada por 1. A exponenciação é definida indutivamente por

Monóides incluem muitas estruturas de importância na matemática, incluindo grupos e anéis (sob multiplicação), com exemplos mais específicos dos últimos sendo anéis e campos de matriz.

Matrizes e operadores lineares Editar

Se UMA é uma matriz quadrada, então o produto de UMA consigo mesmo n vezes é chamado de potência da matriz. Além disso, A 0 < displaystyle A ^ <0>> é definido para ser a matriz de identidade, [32] e se UMA é invertível, então A - n = (A - 1) n < displaystyle A ^ <-n> = left (A ^ <-1> right) ^> .

Esses exemplos são para expoentes discretos de operadores lineares, mas em muitas circunstâncias também é desejável definir potências de tais operadores com expoentes contínuos. Este é o ponto de partida da teoria matemática dos semigrupos. [34] Assim como as potências da matriz de computação com expoentes discretos resolvem sistemas dinâmicos discretos, também as potências da matriz de computação com expoentes contínuos resolvem sistemas com dinâmica contínua. Os exemplos incluem abordagens para resolver a equação do calor, equação de Schrödinger, equação de onda e outras equações diferenciais parciais, incluindo uma evolução no tempo. O caso especial de exponenciar o operador derivado para uma potência não inteira é chamado de derivada fracionária que, junto com a integral fracionária, é uma das operações básicas do cálculo fracionário.

Campos finitos Editar

Um campo é uma estrutura algébrica na qual multiplicação, adição, subtração e divisão são todas bem definidas e satisfazem suas propriedades familiares. Os números reais, por exemplo, formam um campo, assim como os números complexos e os números racionais. Ao contrário desses exemplos familiares de campos, que são todos conjuntos infinitos, alguns campos têm apenas elementos finitos. O exemplo mais simples é o campo com dois elementos F 2 = <0, 1> < displaystyle F_ <2> = <0,1 >> com adição definida por 0 + 1 = 1 + 0 = 1 < displaystyle 0 + 1 = 1 + 0 = 1> e 0 + 0 = 1 + 1 = 0 < displaystyle 0 + 0 = 1 + 1 = 0>, e multiplicação 0 ⋅ 0 = 1 ⋅ 0 = 0 ⋅ 1 = 0 < displaystyle 0 cdot 0 = 1 cdot 0 = 0 cdot 1 = 0> e 1 ⋅ 1 = 1 < displaystyle 1 cdot 1 = 1>.

A exponenciação em campos finitos tem aplicações na criptografia de chave pública. Por exemplo, a troca de chaves Diffie – Hellman usa o fato de que a exponenciação é computacionalmente barata em campos finitos, enquanto o logaritmo discreto (o inverso da exponenciação) é computacionalmente caro.

Em álgebra abstrata Editar

A exponenciação para expoentes inteiros pode ser definida para estruturas bastante gerais em álgebra abstrata.

Deixar X ser um conjunto com uma operação binária associativa em potência que é escrita multiplicativamente. Então x n é definido para qualquer elemento x de X e qualquer número natural diferente de zero n como o produto de n cópias de x, que é recursivamente definido por

Um tem as seguintes propriedades

Se a operação tiver um elemento de identidade bilateral 1, então x 0 é definido como igual a 1 para qualquer x: [ citação necessária ]

Se a operação também tiver inversos de dois lados e for associativa, então o magma é um grupo. O inverso de x pode ser denotado por x -1 e segue todas as regras usuais para expoentes:

Se a operação de multiplicação for comutativa (como, por exemplo, em grupos abelianos), então o seguinte é válido:

Se a operação binária for escrita aditivamente, como geralmente é para grupos abelianos, então "exponenciação é multiplicação repetida" pode ser reinterpretada como "multiplicação é adição repetida". Assim, cada uma das leis de exponenciação acima tem um análogo entre as leis de multiplicação.

Quando há várias operações binárias associativas de potência definidas em um conjunto, qualquer uma das quais pode ser iterada, é comum indicar qual operação está sendo repetida colocando seu símbolo no sobrescrito. Desse modo, xn é x ∗ . ∗ x , enquanto x #n é x # . # x , quaisquer que sejam as operações ∗ e #.

A notação sobrescrita também é usada, especialmente na teoria dos grupos, para indicar a conjugação. Isso é, g h = h −1 gh , Onde g e h são elementos de algum grupo. Embora a conjugação obedeça a algumas das mesmas leis da exponenciação, não é um exemplo de multiplicação repetida em nenhum sentido. Um quandle é uma estrutura algébrica na qual essas leis de conjugação desempenham um papel central.

Sobre conjuntos Editar

Se n é um número natural, e UMA é um conjunto arbitrário, então a expressão UMA n é frequentemente usado para denotar o conjunto de n- duplas de elementos de UMA. Isso é equivalente a deixar UMA n denotam o conjunto de funções do conjunto <0, 1, 2,. n - 1> para o conjunto UMA a n-tuple (uma0, uma1, uma2,. uman−1) representa a função que envia eu para umaeu.

Para um número cardinal infinito κ e um conjunto UMA, a notação UMA κ também é usado para denotar o conjunto de todas as funções de um conjunto de tamanho κ até UMA. Às vezes é escrito κ UMA para distingui-lo da exponenciação cardinal, definida abaixo.

Este exponencial generalizado também pode ser definido para operações em conjuntos ou para conjuntos com estrutura extra. Por exemplo, em álgebra linear, faz sentido indexar somas diretas de espaços vetoriais em conjuntos de índices arbitrários. Ou seja, podemos falar de

onde cada Veu é um espaço vetorial.

Então se Veu = V para cada eu, a soma direta resultante pode ser escrita em notação exponencial como VN , ou simplesmente V N por entender que o valor direto é o default. Podemos novamente substituir o conjunto N com um número cardinal n para obter V n , embora sem escolher um padrão específico definido com cardinalidade n, isso é definido apenas até isomorfismo. Tirando V ser o campo R de números reais (pensados ​​como um espaço vetorial sobre si mesmo) e n para ser algum número natural, obtemos o espaço vetorial que é mais comumente estudado em álgebra linear, o espaço vetorial real R n .

Se a base da operação de exponenciação for um conjunto, a operação de exponenciação será o produto cartesiano, a menos que indicado de outra forma. Uma vez que vários produtos cartesianos produzem um n-tuple, que pode ser representado por uma função em um conjunto de cardinalidade apropriada, S N torna-se simplesmente o conjunto de todas as funções de N para S nesse caso:

Isso se encaixa com a exponenciação dos números cardinais, no sentido de que | S N | = | S | | N | , onde | X | é a cardinalidade de X. Quando "2" é definido como <0, 1>, temos | 2 X | = 2 | X | , onde 2 X , geralmente denotado por P(X), é o conjunto de potência de X cada subconjunto Y de X corresponde exclusivamente a uma função em X tomando o valor 1 para xY e 0 para xY .

Na teoria da categoria Editar

Em uma categoria cartesiana fechada, a operação exponencial pode ser usada para elevar um objeto arbitrário ao poder de outro objeto. Isso generaliza o produto cartesiano na categoria dos conjuntos. Se 0 é um objeto inicial em uma categoria cartesiana fechada, então o objeto exponencial 0 0 é isomórfico a qualquer objeto terminal 1.

De números cardinais e ordinais Editar

Na teoria dos conjuntos, existem operações exponenciais para números cardinais e ordinais.

Se κ e λ são números cardinais, a expressão κ λ representa a cardinalidade do conjunto de funções de qualquer conjunto de cardinalidade λ a qualquer conjunto de cardinalidade κ. [35] Se κ e λ são finitos, então isso está de acordo com a operação exponencial aritmética ordinária. Por exemplo, o conjunto de 3 tuplas de elementos de um conjunto de 2 elementos tem cardinalidade 8 = 2 3. Na aritmética cardinal, κ 0 é sempre 1 (mesmo se κ é um cardinal infinito ou zero).

A exponenciação dos números cardinais é distinta da exponenciação dos números ordinais, que é definida por um processo de limite envolvendo indução transfinita.

Assim como a exponenciação de números naturais é motivada pela multiplicação repetida, é possível definir uma operação baseada na exponenciação repetida, esta operação é algumas vezes chamada de hiper-4 ou tetração. A tetração iterativa leva a outra operação e assim por diante, um conceito denominado hiperoperação. Essa sequência de operações é expressa pela função de Ackermann e pela notação de seta para cima de Knuth.Assim como a exponenciação cresce mais rápido do que a multiplicação, que é mais rápida do que a adição, a tetração cresce mais rápido do que a exponenciação. Avaliada em (3, 3), as funções adição, multiplicação, exponenciação e tetração produzem 6, 9, 27 e 7 625 597 484 987 (= 3 27 = 3 3 3 = 3 3), respectivamente.

Zero elevado à potência de zero fornece vários exemplos de limites que são da forma indeterminada 0 0. Os limites nesses exemplos existem, mas têm valores diferentes, mostrando que a função de duas variáveis x y não tem limite no ponto (0, 0). Pode-se considerar em que pontos essa função tem um limite.

Mais precisamente, considere a função f(x, y) = x y definido em D = <(x, y) ∈ R 2 : x & gt 0>. Então D pode ser visto como um subconjunto de R 2 (isto é, o conjunto de todos os pares (x, y) com x , y pertencente à linha de número real estendida R = [−∞, + ∞], dotado da topologia do produto), que conterá os pontos nos quais a função f tem um limite.

Na verdade, f tem um limite em todos os pontos de acumulação de D , exceto para (0, 0), (+ ∞, 0), (1, + ∞) e (1, −∞). [36] Consequentemente, isso permite definir os poderes x y por continuidade sempre que 0 ≤ x ≤ + ∞, −∞ ≤ y ≤ + ∞, exceto para 0 0, (+ ∞) 0, 1 + ∞ e 1 −∞, que permanecem em formas indeterminadas.

Sob esta definição por continuidade, obtemos:

  • x + ∞ = + ∞ e x −∞ = 0, quando 1 & lt x ≤ +∞ .
  • x + ∞ = 0 e x −∞ = + ∞, quando 0 ≤ x & lt 1.
  • 0 y = 0 e (+ ∞) y = + ∞, quando 0 & lt y ≤ +∞ .
  • 0 y = + ∞ e (+ ∞) y = 0, quando −∞ ≤ y & lt 0.

Esses poderes são obtidos tomando-se os limites de x y para positivo valores de x . Este método não permite uma definição de x y quando x & lt 0, uma vez que pares (x, y) com x & lt 0 não são pontos de acumulação de D .

Por outro lado, quando n é um inteiro, o poder x n já é significativo para todos os valores de x , incluindo os negativos. Isso pode tornar a definição 0 n = + ∞ obtido acima para negativo n problemático quando n é estranho, pois neste caso x n → + ∞ como x tende a 0 por meio de valores positivos, mas não negativos.

Informática b n usar multiplicação iterada requer n - 1 operações de multiplicação, mas pode ser calculado de forma mais eficiente do que isso, conforme ilustrado pelo exemplo a seguir. Para calcular 2 100, observe que 100 = 64 + 32 + 4. Calcule o seguinte em ordem:

  1. 2 2 = 4
  2. (2 2 ) 2 = 2 4 = 16.
  3. (2 4 ) 2 = 2 8 = 256.
  4. (2 8 ) 2 = 2 16 = 65 536 .
  5. (2 16 ) 2 = 2 32 = 4 294 967 296 .
  6. (2 32 ) 2 = 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616 .
  7. 2 64 2 32 2 4 = 2 100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 .

Esta série de etapas requer apenas 8 operações de multiplicação (o último produto acima requer 2 multiplicações) em vez de 99.

Em geral, o número de operações de multiplicação necessárias para calcular b n pode ser reduzido para Θ (log n) usando exponenciação por quadratura ou (mais geralmente) exponenciação de cadeia de adição. Encontrando o mínimo sequência de multiplicações (a cadeia de adição de comprimento mínimo para o expoente) para b n é um problema difícil, para o qual nenhum algoritmo eficiente é conhecido atualmente (consulte Problema de soma de subconjuntos), mas muitos algoritmos heurísticos razoavelmente eficientes estão disponíveis. [37]

Colocar um sobrescrito inteiro após o nome ou símbolo de uma função, como se a função estivesse sendo elevada a uma potência, normalmente se refere à composição de função repetida em vez de multiplicação repetida. [38] [39] [40] Assim, f 3 (x) deve significar f(f(f(x))) [41] em particular, f −1 (x) geralmente denota a função inversa de f . Esta notação foi introduzida por Hans Heinrich Bürmann [ citação necessária ] [39] [40] e John Frederick William Herschel. [38] [39] [40] Funções iteradas são de interesse no estudo de fractais e sistemas dinâmicos. Babbage foi o primeiro a estudar o problema de encontrar uma raiz quadrada funcional f 1/2 (x) .

Para distinguir a exponenciação da composição da função, o uso comum é escrever o exponente exponencial após o parêntese que envolve o argumento da função, ou seja, f(x) 3 significa (f(x)) 3, e f(x) –1 significa 1 /f(x) .

Por razões históricas, e devido à ambigüidade resultante de não incluir argumentos entre parênteses, um sobrescrito após um nome de função aplicado especificamente às funções trigonométricas e hiperbólicas tem um significado divergente: um expoente positivo aplicado à abreviação da função significa que o resultado é elevado a essa potência, [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [20] [40] enquanto um expoente de −1 ainda denota a função inversa. [40] Ou seja, pecado 2 x é apenas uma forma abreviada de escrever (pecado x) 2 = pecado (x) 2 sem usar parênteses, [16] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [20] enquanto sin −1 x refere-se à função inversa do seno, também chamada de arcsin x . Cada função trigonométrica e hiperbólica tem seu próprio nome e abreviatura para o recíproco (por exemplo, 1 / (sin x) = (pecado x) -1 = sin (x) -1 = csc x ), e seu inverso (por exemplo cosh −1 x = arcosh x ) Uma convenção semelhante existe para logaritmos, [40] onde hoje log 2 x normalmente significa (log x) 2, não logar x . [40]

Para evitar ambigüidade, alguns matemáticos [ citação necessária ] escolha usar ∘ para denotar o significado composicional, escrita fn (x) para a enésima iteração da função f(x), como em, por exemplo, f ∘3 (x) significado f(f(f(x))). Para o mesmo propósito, f [n] (x) foi usado por Benjamin Peirce [55] [40] enquanto Alfred Pringsheim e Jules Molk sugeriram n f(x) em vez de. [56] [40] [nb 1]

Linguagens de programação geralmente expressam exponenciação como um operador infixo ou como uma função (prefixo), pois são notações lineares que não suportam sobrescritos:

  • x ↑ y: Algol, Commodore BASIC, TRS-80 Nível II / III BASIC. [57] [58]
  • x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (e seus derivados), TI-BASIC, bc (para expoentes inteiros), Haskell (para expoentes inteiros não negativos) , Lua e a maioria dos sistemas de álgebra computacional. Os usos conflitantes do símbolo ^ incluem: XOR (em expansão aritmética POSIX Shell, AWK, C, C ++, C #, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby e Tcl), indireção (Pascal) e string concatenação (OCaml e Standard ML).
  • x ^^ y: Haskell (para base fracionária, expoentes inteiros), D.
  • x ** y: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F #, Perl, PHP, PL / I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (para expoentes de ponto flutuante), Turing, VHDL.
  • pown x y: F # (para base inteira, expoente inteiro).
  • x⋆y: APL.

Muitas outras linguagens de programação carecem de suporte sintático para exponenciação, mas fornecem funções de biblioteca:

  • pow (x, y): C, C ++.
  • Math.Pow (x, y): C #.
  • matemática: pow (X, Y): Erlang.
  • Math.pow (x, y): Java.
  • [Math] :: Pow (x, y): PowerShell.
  • (expt x y): Common Lisp.

Para certos expoentes, existem maneiras especiais de calcular x y muito mais rápido do que por exponenciação genérica. Esses casos incluem pequenos números inteiros positivos e negativos (preferir x · x sobre x 2 preferem 1 /x sobre x -1) e raízes (prefira sqrt (x) sobre x 0,5, prefira cbrt (x) sobre x 1/3 ).


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