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15.2: Integrais duplos sobre regiões gerais - Matemática


objetivos de aprendizado

  • Reconhecer quando uma função de duas variáveis ​​é integrável em uma região geral.
  • Avalie uma integral dupla computando uma integral iterada sobre uma região limitada por duas linhas verticais e duas funções de (x ), ou duas linhas horizontais e duas funções de (y ).
  • Simplifique o cálculo de uma integral iterada alterando a ordem de integração.
  • Use integrais duplos para calcular o volume de uma região entre duas superfícies ou a área de uma região plana.
  • Resolva problemas envolvendo integrais duplamente impróprios.

Anteriormente, estudamos o conceito de integrais duplos e examinamos as ferramentas necessárias para computá-los. Aprendemos técnicas e propriedades para integrar funções de duas variáveis ​​em regiões retangulares. Também discutimos várias aplicações, como encontrar o volume limitado acima por uma função em uma região retangular, encontrar área por integração e calcular o valor médio de uma função de duas variáveis.

Nesta seção, consideramos integrais duplos de funções definidas sobre uma região limitada geral (D ) no plano. A maioria dos resultados anteriores também se aplica a essa situação, mas algumas técnicas precisam ser estendidas para cobrir esse caso mais geral.

Regiões Gerais de Integração

Um exemplo de uma região limitada geral (D ) em um plano é mostrado na Figura ( PageIndex {1} ). Uma vez que (D ) é limitado no plano, deve existir uma região retangular (R ) no mesmo plano que envolve a região (D ) ou seja, uma região retangular (R ) existe de modo que (D ) é um subconjunto de (R (D subseteq R) ).

Suponha que (z = f (x, y) ) seja definido em uma região limitada planar geral (D ) como na Figura ( PageIndex {1} ). A fim de desenvolver integrais duplos de (f ) sobre (D ), estendemos a definição da função para incluir todos os pontos na região retangular (R ) e então usamos os conceitos e ferramentas da seção anterior. Mas como estendemos a definição de (f ) para incluir todos os pontos em (R )? Fazemos isso definindo uma nova função (g (x, y) ) em (R ) da seguinte maneira:

[g (x, y) = begin {cases} f (x, y) text {if} ; (x, y) ; text {está em} ; D [4pt] 0 text {if} ; (x, y) ; text {está em} ; R ; text {mas não em} ; D end {casos} ]

Observe que podemos ter algumas dificuldades técnicas se o limite de (D ) for complicado. Portanto, assumimos que o limite é uma curva fechada simples contínua e lisa por partes. Além disso, como todos os resultados desenvolvidos na seção sobre Integrais Duplos em Regiões Retangulares usaram uma função integrável (f (x, y) ), devemos ter cuidado com (g (x, y) ) e verificar se ( g (x, y) ) é uma função integrável sobre a região retangular (R ). Isso acontece enquanto a região (D ) é limitada por curvas fechadas simples. Por enquanto, nos concentraremos nas descrições das regiões, em vez da função, e estenderemos nossa teoria de maneira apropriada para a integração.

Consideramos dois tipos de regiões planas limitadas.

Definição: regiões Tipo I e Tipo II

Uma região (D ) no plano ((x, y) ) - é do Tipo I se estiver entre duas retas verticais e os gráficos de duas funções contínuas (g_1 (x) ) e (g_2 (x) ). Ou seja (Figura ( PageIndex {2} )),

[D = big {(x, y) , | , a leq x leq b, space g_1 (x) leq y leq g_2 (x) big }. ]

Uma região (D ) no plano (xy ) é do Tipo II se ficar entre duas linhas horizontais e os gráficos de duas funções contínuas (h_1 (y) ) e (h_2 (y) ) Ou seja (Figura ( PageIndex {3} )),

[D = big {(x, y) , | , c leq y leq d, espaço h_1 (y) leq x leq h_2 (y) big }. ]

Exemplo ( PageIndex {1} ): Descrevendo uma região como tipo I e também como tipo II

Considere a região no primeiro quadrante entre as funções (y = sqrt {x} ) e (y = x ^ 3 ) (Figura ( PageIndex {4} )). Descreva a região primeiro como Tipo I e depois como Tipo II.

Ao descrever uma região como Tipo I, precisamos identificar a função que está acima da região e a função que está abaixo da região. Aqui, a região (D ) é limitada acima por (y = sqrt {x} ) e abaixo por (y = x ^ 3 ) no intervalo para (x ) em ([0, 1] ). Portanto, como Tipo I, (D ) é descrito como o conjunto ( big {(x, y) , | , 0 leq x leq 1, space x ^ 3 leq y leq sqrt [3] {x} big } ).

No entanto, ao descrever uma região como Tipo II, precisamos identificar a função que fica à esquerda da região e a função que fica à direita da região. Aqui, a região (D ) é limitada à esquerda por (x = y ^ 2 ) e à direita por (x = sqrt [3] {y} ) no intervalo para y em ([0,1] ). Portanto, como Tipo II, D é descrito como o conjunto ( big {(x, y) , | , 0 leq y leq 1, espaço y ^ 2 leq x leq sqrt [3 ] {y} big } ).

Exercício ( PageIndex {1} )

Considere a região no primeiro quadrante entre as funções (y = 2x ) e (y = x ^ 2 ). Descreva a região primeiro como Tipo I e depois como Tipo II ..

Dica

Represente graficamente as funções e desenhe linhas verticais e horizontais.

Responder

Tipo I e Tipo II são expressos como ( big {(x, y) , | , 0 leq x leq 2, space x ^ 2 leq y leq 2x big } ) e ( big {(x, y) | , 0 leq y leq 4, space frac {1} {2} y leq x leq sqrt {y} big } ), respectivamente.

Integrais duplos sobre regiões não retangulares

Para desenvolver o conceito e as ferramentas para avaliação de uma integral dupla sobre uma região geral não retangular, precisamos primeiro entender a região e ser capaz de expressá-la como Tipo I ou Tipo II ou uma combinação de ambos. Sem entender as regiões, não poderemos decidir os limites das integrações em integrais duplos. Como primeiro passo, vejamos o seguinte teorema.

Teorema: Integrais duplos sobre regiões não retangulares

Suponha que (g (x, y) ) seja a extensão do retângulo (R ) da função (f (x, y) ) definida nas regiões (D ) e (R ) conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ) dentro de (R ). Então (g (x, y) ) é integrável e definimos a integral dupla de (f (x, y) ) sobre (D ) por

[ iint limits_D f (x, y) , dA = iint limits_R g (x, y) , dA. ]

O lado direito desta equação é o que vimos antes, então este teorema é razoável porque (R ) é um retângulo e ( iint limits_R g (x, y) dA ) foi discutido no seção anterior. Além disso, a igualdade funciona porque os valores de (g (x, y) ) são (0 ) para qualquer ponto ((x, y) ) que está fora de (D ) e, portanto, esses pontos fazem não adiciona nada ao integral. No entanto, é importante que o retângulo (R ) contenha a região (D ).

Na verdade, se a região (D ) é delimitada por curvas suaves em um plano e somos capazes de descrevê-la como Tipo I ou Tipo II ou uma mistura de ambos, então podemos usar o seguinte teorema e não tem que encontrar um retângulo (R ) contendo a região.

Teorema: Teorema de Fubini (Forma Forte)

Para uma função (f (x, y) ) que é contínua em uma região (D ) do Tipo I, temos

[ iint limits_D f (x, y) , dA = iint limits_D f (x, y) , dy space dx = int_a ^ b left [ int_ {g_1 (x)} ^ { g_2 (x)} f (x, y) , dy right] dx. ]

Da mesma forma, para uma função (f (x, y) ) que é contínua em uma região (D ) do Tipo II, temos

[ iint limits_D f (x, y) , dA = iint limits_D f (x, y) , dx space dy = int_c ^ d left [ int_ {h_1 (y)} ^ { h_2 (y)} f (x, y) , dy right] dy. ]

A integral em cada uma dessas expressões é uma integral iterada, semelhante àquelas que vimos antes. Observe que, na integral interna da primeira expressão, integramos (f (x, y) ) com (x ) sendo mantido constante e os limites de integração sendo (g_1 (x) ) e ( g_2 (x) ). Na integral interna da segunda expressão, integramos (f (x, y) ) com (y ) sendo mantido constante e os limites de integração são (h_1 (x) ) e (h_2 (x ) ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Avaliando um Integral Iterado em uma Região Tipo I

Avalie a integral ( displaystyle iint limits _D x ^ 2 e ^ {xy} , dA ) onde (D ) é mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Solução

Primeiro construa a região como uma região Tipo I (Figura ( PageIndex {5} )). Aqui (D = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 2, space frac {1} {2} x leq y leq 1 big } ) . Então nós temos

[ iint limits _D x ^ 2e ^ {xy} , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 1 / 2x} ^ {y = 1} x ^ 2e ^ {xy} , dy , dx. enhum número]

Portanto, temos

[ begin {align *} int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = frac {1} {2} x} ^ {y = 1} x ^ 2e ^ {xy} , dy , dx & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [ int_ {y = frac {1} {2} x} ^ {y = 1} x ^ 2e ^ {xy } , dy right] dx & text {Integral iterado para uma região Tipo I.} & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left. left [x ^ 2 frac { e ^ {xy}} {x} right] right | _ {y = 1 / 2x} ^ {y = 1} , dx & text {Integrar com respeito a $ y $} & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [xe ^ x - xe ^ {x ^ 2/2} right] dx & text {Integrar com respeito a $ x $} & = left [ xe ^ x - e ^ x - e ^ { frac {1} {2} x ^ 2} right] Big | _ {x = 0} ^ {x = 2} = 2. end {align *} ]

Em Exemplo ( PageIndex {2} ), poderíamos ter olhado para a região de outra maneira, como (D = big {(x, y) , | , 0 leq y leq 1 , space 0 leq x leq 2y big } ) (Figura ( PageIndex {6} )).

Esta é uma região do Tipo II e a integral se pareceria com

[ iint limits _D x ^ 2e ^ {xy} , dA = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = 2y} x ^ 2 e ^ { xy} , dx space dy. ]

No entanto, se integrarmos primeiro em relação a (x ), essa integral é demorada para calcular porque temos que usar a integração por partes duas vezes.

Exemplo ( PageIndex {3} ): Avaliando um Integral Iterado em uma Região Tipo II

Avalie o integral

[ iint limits _D (3x ^ 2 + y ^ 2) , dA nonumber ]

onde (D = big {(x, y) , | , -2 leq y leq 3, space y ^ 2 - 3 leq x leq y + 3 big } ).

Solução

Observe que (D ) pode ser visto como uma região do Tipo I ou do Tipo II, conforme mostrado na Figura ( PageIndex {7} ). No entanto, neste caso, descrever (D ) como Tipo I é mais complicado do que descrevê-lo como Tipo II. Portanto, usamos (D ) como uma região do Tipo II para a integração.

Escolhendo esta ordem de integração, temos

[ begin {align *} iint limits _D (3x ^ 2 + y ^ 2) , dA & = int_ {y = -2} ^ {y = 3} int_ {x = y ^ 2- 3} ^ {x = y + 3} (3x ^ 2 + y ^ 2) , dx space dy & = int_ {y = -2} ^ {y = 3} left. (x ^ 3 + xy ^ 2) right | _ {y ^ 2-3} ^ {y + 3} , dy & text {Integral iterado, região Tipo II} & = int_ {y = - 2} ^ {y = 3} left ((y + 3) ^ 3 + (y + 3) y ^ 2 - (y ^ 2 - 3) y ^ 2 right) , dy & = int_ {-2} ^ 3 (54 + 27y - 12y ^ 2 + 2y ^ 3 + 8y ^ 4 - y ^ 6) , dy & text {Integrate with respect to $ x $.} & = left [ 54y + frac {27y ^ 2} {2} - 4y ^ 3 + frac {y ^ 4} {2} + frac {8y ^ 5} {5} - frac {y ^ 7} {7} direita] _ {- 2} ^ 3 & = frac {2375} {7}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Esboce a região (D ) e avalie a integral iterada [ iint limits _D xy space dy space dx ] onde (D ) é a região limitada pelas curvas (y = cos space x ) e (y = sin espaço x ) no intervalo ([- 3 pi / 4, espaço pi / 4] ).

Dica

Expresse (D ) como uma região Tipo I e integre primeiro com relação a (y ).

Responder

( frac { pi} {4} )

Lembre-se de Integrais duplos sobre regiões retangulares as propriedades de integrais duplos. Como vimos nos exemplos aqui, todas essas propriedades também são válidas para uma função definida em uma região limitada não retangular em um plano. Em particular, a propriedade 3 afirma:

Se (R = S cup T ) e (S cap T = 0 ), exceto em seus limites, então

[ iint limits _R f (x, y) , dA = iint limits _S f (x, y) , dA + iint_T f (x, y) , dA. ]

Da mesma forma, temos a seguinte propriedade de integrais duplos sobre uma região limitada não retangular em um plano.

Teorema: Decompondo regiões em regiões menores

Suponha que a região (D ) pode ser expressa como (D = D_1 xícara D_2 ) onde (D_1 ) e (D_2 ) não se sobrepõem, exceto em seus limites. Então

[ iint Limites _D f (x, y) , dA = iint Limites _ {D_1} f (x, y) , dA + iint Limites _ {D_2} f (x, y) , dA. ]

Este teorema é particularmente útil para regiões não retangulares porque nos permite dividir uma região em uma união de regiões do Tipo I e Tipo II. Então, podemos calcular a integral dupla em cada peça de uma maneira conveniente, como no próximo exemplo.

Exemplo ( PageIndex {4} ): regiões em decomposição

Expresse a região (D ) mostrada na Figura ( PageIndex {8} ) como uma união de regiões do Tipo I ou Tipo II e avalie a integral

[ iint limits _D (2x + 5y) , dA. enhum número]



Solução

A região (D ) não é fácil de decompor em qualquer tipo; na verdade, é uma combinação de diferentes tipos. Portanto, podemos escrevê-lo como uma união de três regiões (D_1 ), (D_2 ) e (D_3 ) onde, (D_1 = big {(x, y) , | , - 2 leq x leq 0, space 0 leq y leq (x + 2) ^ 2 big } ), (D_2 = big {(x, y) , | , 0 leq y leq 4, space 0 leq x leq big (y - frac {1} {16} y ^ 3 big) big } ), e (D_3 = big {( x, y) , | , -4 leq y leq 0, space -2 leq x leq big (y - frac {1} {16} y ^ 3 big) big } ). Essas regiões são ilustradas mais claramente na Figura ( PageIndex {9} ).

Aqui (D_1 ) é o Tipo I e (D_2 ) e (D_3 ) são ambos do Tipo II. Por isso,

[ begin {align *} iint limits_D (2x + 5y) , dA & = iint limits_ {D_1} (2x + 5y) , dA + iint limits_ {D_2} (2x + 5y) , dA + iint limits_ {D_3} (2x + 5y) , dA & = int_ {x = -2} ^ {x = 0} int_ {y = 0} ^ {y = (x +2) ^ 2} (2x + 5y) , dy space dx + int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {x = 0} ^ {x = y- (1/16) y ^ 3} (2 + 5y) , dx space dy + int_ {y = -4} ^ {y = 0} int_ {x = -2} ^ {x = y- (1/16) y ^ 3} (2x + 5y) , dx space dy & = int_ {x = -2} ^ {x = 0} left [ frac {1} {2} (2 + x) ^ 2 ( 20 + 24x + 5x ^ 2) right] , dx + int_ {y = 0} ^ {y = 4} left [ frac {1} {256} y ^ 6 - frac {7} {16 } y ^ 4 + 6y ^ 2 right] , dy + int_ {y = -4} ^ {y = 0} left [ frac {1} {256} y ^ 6 - frac {7} { 16} y ^ 4 + 6y ^ 2 + 10y - 4 right] , dy & = frac {40} {3} + frac {1664} {35} - frac {1696} {35} = frac {1304} {105}. end {align *} ]

Agora poderíamos refazer este exemplo usando uma união de duas regiões do Tipo II (veja o Checkpoint).

Exercício ( PageIndex {3} )

Considere a região limitada pelas curvas (y = ln x ) e (y = e ^ x ) no intervalo ([1,2] ). Decompor a região em regiões menores do Tipo II.

Dica

Esboce a região e divida-a em três regiões para configurá-la.

Responder

[ big {(x, y) , | , 0 leq y leq 1, espaço 1 leq x leq e ^ y grande } xícara grande {(x, y) , | , 1 leq y leq e, espaço 1 leq x leq 2 grande } xícara grande {(x, y) , | , e leq y leq e ^ 2, espaço ln y leq x leq 2 big } nonumber ]

Exercício ( PageIndex {4} )

Refazer o exemplo ( PageIndex {4} ) usando uma união de duas regiões Tipo II.

Dica

[ big {(x, y) , | , 0 leq y leq 4, espaço 2 + sqrt {y} leq x leq big (y - frac {1} {16} y ^ 3 big) big } cup grande {(x, y) , | , - 4 leq y leq 0, espaço -2 leq x leq big (y - frac {1} {16} y ^ {13} big) big } nonumber ]

Responder

Igual ao exemplo mostrado.

Mudando a ordem de integração

Como já vimos quando avaliamos uma integral iterada, às vezes uma ordem de integração leva a um cálculo que é significativamente mais simples do que a outra ordem de integração. Às vezes, a ordem de integração não importa, mas é importante aprender a reconhecer quando uma mudança na ordem simplificará nosso trabalho.

Exemplo ( PageIndex {5} ): Mudando a ordem de integração

Inverta a ordem de integração na integral iterada

[ int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {2}} int_ {y = 0} ^ {y = 2-x ^ 2} xe ^ {x ^ 2} , dy space dx. enhum número]

Em seguida, avalie a nova integral iterada.

Solução

A região apresentada é do Tipo I. Para inverter a ordem de integração, devemos primeiro expressar a região como Tipo II. Consulte a Figura ( PageIndex {10} ).

Podemos ver pelos limites de integração que a região é delimitada acima por (y = 2 - x ^ 2 ) e abaixo por (y = 0 ) onde (x ) está no intervalo ([0 , sqrt {2}] ). Invertendo a ordem, temos a região limitada à esquerda por (x = 0 ) e à direita por (x = sqrt {2 - y} ) onde (y ) está no intervalo ([0, 2] ). Resolvemos (y = 2 - x ^ 2 ) em termos de (x ) para obter (x = sqrt {2 - y} ).

Por isso

[ begin {align *} int_0 ^ { sqrt {2}} int_0 ^ {2-x ^ 2} xe ^ {x ^ 2} dy space dx & = int_0 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {2-y}} xe ^ {x ^ 2} , dx space dy & text {Inverta a ordem de integração e use a substituição.} [4pt] & = int_0 ^ 2 left [ left [ left . frac {1} {2} e ^ {x ^ 2} right | _0 ^ { sqrt {2-y}} right] dy = int_0 ^ 2 frac {1} {2} (e ^ {2-y} - 1) , dy [4pt] & = - left. Frac {1} {2} (e ^ {2-y} + y) right | _0 ^ 2 = frac {1} {2} (e ^ 2 - 3). end {align *} ]

Exemplo ( PageIndex {6} ): Avaliando um Integral Iterado ao Reverter a Ordem de Integração

Considere a integral iterada

[ iint limits_R f (x, y) , dx space dy ]

onde (z = f (x, y) = x - 2y ) sobre uma região triangular (R ) que tem lados em (x = 0, espaço y = 0 ), e a linha (x + y = 1 ). Esboce a região e, em seguida, avalie a integral iterada por

  1. integrando primeiro em relação a (y ) e depois
  2. integrando primeiro em relação a (x ).

Solução

Um esboço da região aparece na Figura ( PageIndex {11} ).

Podemos concluir essa integração de duas maneiras diferentes.

uma. Uma maneira de ver isso é primeiro integrando (y ) de (y = 0 ) a (y = 1 - x ) verticalmente e, em seguida, integrando (x ) de (x = 0 ) para (x = 1 ):

[ begin {align *} iint limits_R f (x, y) , dx space dy & = int_ {x = 0} ^ {x = 1} int_ {y = 0} ^ {y = 1-x} (x - 2y) , dy space dx = int_ {x = 0} ^ {x = 1} left [xy - 2y ^ 2 right] _ {y = 0} ^ {y = 1-x} dx [4pt] int_ {x = 0} ^ {x = 1} left [x (1 - x) - (1 - x) ^ 2 right] , dx = int_ { x = 0} ^ {x = 1} [-1 + 3x - 2x ^ 2] dx = left [-x + frac {3} {2} x ^ 2 - frac {2} {3} x ^ 3 right] _ {x = 0} ^ {x = 1} = - frac {1} {6}. end {align *} ]

b. A outra maneira de resolver este problema é primeiro integrando (x ) de (x = 0 ) a (x = 1 - y ) horizontalmente e, em seguida, integrando (y ) de (y = 0 ) para (y = 1 ):

[ begin {align *} iint limits _D (3x ^ 2 + y ^ 2) , dA & = int_ {y = -2} ^ {y = 3} int_ {x = y ^ 2- 3} ^ {x = y + 3} (3x ^ 2 + y ^ 2) , dx space dy [4pt] & = int_ {y = -2} ^ {y = 3} left. (x ^ 3 + xy ^ 2) right | _ {y ^ 2-3} ^ {y + 3} , dy & text {Integral iterado, região Tipo II} [4pt] & = int_ { y = -2} ^ {y = 3} left ((y + 3) ^ 3 + (y + 3) y ^ 2 - (y ^ 2 - 3) y ^ 2 right) , dy [ 4pt] & = int _ {- 2} ^ 3 (54 + 27y - 12y ^ 2 + 2y ^ 3 + 8y ^ 4 - y ^ 6) , dy & text {Integrar em relação a $ x $.} & = left [54y + frac {27y ^ 2} {2} - 4y ^ 3 + frac {y ^ 4} {2} + frac {8y ^ 5} {5} - frac {y ^ 7} {7} right] _ {- 2} ^ 3 & = frac {2375} {7}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {5} )

Avalie a integral iterada ( iint limits_D (x ^ 2 + y ^ 2) , dA ) sobre a região (D ) no primeiro quadrante entre as funções (y = 2x ) e (y = x ^ 2 ). Avalie a integral iterada integrando primeiro em relação a (y ) e, em seguida, integrando primeiro com ressecção em (x ).

Dica

Esboce a região e siga o Exemplo ( PageIndex {6} ).

Responder

( frac {216} {35} )

Cálculo de volumes, áreas e valores médios

Podemos usar integrais duplos sobre regiões gerais para calcular volumes, áreas e valores médios. Os métodos são iguais aos de Integrais duplos sobre regiões retangulares, mas sem a restrição de uma região retangular, podemos agora resolver uma variedade maior de problemas.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando o volume de um tetraedro

Encontre o volume do sólido delimitado pelos planos (x = 0, space y = 0, space z = 0 ) e (2x + 3y + z = 6 ).

Solução

O sólido é um tetraedro com a base no plano (xy ) e uma altura (z = 6 - 2x - 3y ). A base é a região (D ) limitada pelas linhas, (x = 0 ), (y = 0 ) e (2x + 3y = 6 ) onde (z = 0 ) (Figura ( PageIndex {12} )). Observe que podemos considerar a região (D ) como Tipo I ou como Tipo II, e podemos integrar em ambas as formas.

Primeiro, considere (D ) como uma região do Tipo I e, portanto, (D = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 3, space 0 leq y leq 2 - frac {2} {3} x big } ).

Portanto, o volume é

[ begin {align *} V & = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 2- (2x / 3)} (6 - 2x - 3y) , dy space dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} left [ left. left (6y - 2xy - frac {3} {2} y ^ 2 right) right | _ {y = 0} ^ {y = 2- (2x / 3)} right] , dx [4pt] & = int_ {x = 0} ^ {x = 3} left [ frac { 2} {3} (x - 3) ^ 2 right] , dx = 6. end {align *} ]

Agora considere (D ) como uma região do Tipo II, então (D = big {(x, y) , | , 0 leq y leq 2, space 0 leq x leq 3 - frac {3} {2} y big } ). Neste cálculo, o volume é

[ begin {align *} V & = int_ {y = 0} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 3- (3y / 2)} (6 - 2x - 3y) , dx space dy = int_ {y = 0} ^ {y = 2} left [ left. (6x - x ^ 2 - 3xy) right | _ {x = 0} ^ {x = 3- (3y / 2)} right] , dy [4pt] & = int_ {y = 0} ^ {y = 2} left [ frac {9} {4} (y - 2) ^ 2 right] , dy = 6. end {align *} ]

Portanto, o volume é de 6 unidades cúbicas.

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre o volume do sólido delimitado acima por (f (x, y) = 10 - 2x + y ) sobre a região delimitada pelas curvas (y = 0 ) e (y = e ^ x ) onde (x ) está no intervalo ([0,1] ).

Dica

Esboce a região e descreva-a como Tipo I.

Responder

( frac {e ^ 2} {4} + 10e - frac {49} {4} ) unidades cúbicas

Encontrar a área de uma região retangular é fácil, mas encontrar a área de uma região não retangular não é tão fácil. Como vimos, podemos usar integrais duplos para encontrar uma área retangular. Na verdade, isso é muito útil para encontrar a área de uma região não retangular geral, conforme declarado na próxima definição.

Definição: integrais duplos

A área de uma região limitada pelo plano (D ) é definida como o integral duplo

[ iint limits_D 1 , dA. ]

Já vimos como encontrar áreas em termos de integração única. Aqui estamos vendo outra maneira de encontrar áreas usando integrais duplos, que pode ser muito útil, como veremos nas seções posteriores deste capítulo.

Exemplo ( PageIndex {8} ): Encontrando a área de uma região

Encontre a área da região limitada abaixo pela curva (y = x ^ 2 ) e acima pela linha (y = 2x ) no primeiro quadrante (Figura ( PageIndex {13} )).

Solução

Só temos que integrar a função constante (f (x, y) = 1 ) sobre a região. Assim, a área (A ) da região limitada é ( int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2} ^ {y = 2x} dy space dx space ou espaço int_ {y = 0} ^ {y = 4} int_ {x = y / 2} ^ {x = sqrt {y}} dx espaço dy: )

[ begin {align *} A & = iint limits_D 1 , dx space dy [4pt] & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = x ^ 2 } ^ {y = 2x} 1 , dy space dx [4pt] & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [ left.y right | _ {y = x ^ 2} ^ {y = 2x} right] , dx [4pt] & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} (2x - x ^ 2) , dx [4pt] & = left.x ^ 2 - frac {x ^ 3} {3} right | _0 ^ 2 = frac {4} {3}. end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Encontre a área de uma região limitada acima pela curva (y = x ^ 3 ) e abaixo por (y = 0 ) no intervalo ([0,3] ).

Dica

Esboce a região.

Responder

( frac {81} {4} ) unidades quadradas

Também podemos usar uma integral dupla para encontrar o valor médio de uma função em uma região geral. A definição é uma extensão direta da fórmula anterior.

Definição

Se (f (x, y) ) é integrável em uma região limitada pelo plano (D ) com área positiva (A (D) ), então o valor médio da função é

[f_ {ave} = frac {1} {A (D)} iint limits_D f (x, y) , dA. ]

Observe que a área é (A (D) = iint limits_D 1 , dA ).

Exemplo ( PageIndex {9} ): Encontrando um valor médio

Encontre o valor médio da função (f (x, y) = 7xy ^ 2 ) na região delimitada pela linha (x = y ) e a curva (x = sqrt {y} ) ( Figura ( PageIndex {14} )).

Solução

Primeiro encontre a área (A (D) ) onde a região (D ) é dada pela figura. Nós temos

[A (D) = iint limits_D 1 , dA = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = y} ^ {x = sqrt {y}} 1 , dx space dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ left. x right | _ {x = y} ^ {x = sqrt {y}} right] , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} ( sqrt {y} - y) , dy = frac {2} {3} left. y ^ {2/3} - frac {y ^ 2} {2} right | _0 ^ 1 = frac {1} {6} ]

Então, o valor médio da função dada nesta região é

[ begin {align *} f_ {ave} = frac {1} {A (D)} iint limits_D f (x, y) , dA = frac {1} {A (D)} int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = y} ^ {x = sqrt {y}} 7xy ^ 2 , dx space dy = frac {1} {1/6} int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ left. frac {7} {2} x ^ 2y ^ 2 right | _ {x = y} ^ {x = sqrt {y}} right] , dy = 6 int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ frac {7} {2} y ^ 2 (y - y ^ 2) right] , dy = 6 int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ frac {7} {2} (y ^ 3 -y ^ 4) right] , dy = frac {42} {2} left. left ( frac {y ^ 4} {4} - frac {y ^ 5} {5} right) right | _0 ^ 1 = frac {42} {40} = frac {21} {20 } end {align *} ]

Exercício ( PageIndex {8} )

Encontre o valor médio da função (f (x, y) = xy ) sobre o triângulo com vértices ((0,0), espaço (1,0) ) e ((1,3) )

Dica

Expresse a linha que une ((0,0) ) e ((1,3) ) como uma função (y = g (x) ).

Responder

( frac {3} {4} )

Integrais Duplos Impróprios

A integral duplo impróprio é uma integral ( displaystyle iint limits_D f , dA ) onde (D ) é uma região ilimitada ou (f ) é uma função ilimitada. Por exemplo, (D = big {(x, y) , | , | x - y | geq 2 big } ) é uma região ilimitada e a função (f (x, y ) = 1 / (1 - x ^ 2 - 2y ^ 2) ) sobre a elipse (x ^ 2 + 3y ^ 2 geq 1 ) é uma função ilimitada. Portanto, ambas as seguintes integrais são inadequadas:

  1. [ iint limits_D xy space dA space text {where} space D = big {(x, y) | | , x - y | geq 2 big }; ]
  2. [ iint limits_D frac {1} {1 - x ^ 2 -2y ^ 2} , dA espaço texto {onde} espaço D = grande {(x, y) | , x ^ 2 + 3y ^ 2 leq 1 big }. ]

Nesta seção, gostaríamos de lidar com integrais impróprias de funções sobre retângulos ou regiões simples, de modo que f tenha apenas um número finito de descontinuidades. Nem todos os integrais impróprios podem ser avaliados; no entanto, uma forma do teorema de Fubini se aplica a alguns tipos de integrais impróprios.

Teorema: Teorema de Fubini para integrais impróprios

Se (D ) é um retângulo limitado ou região simples no plano definido por

( big {(x, y) ,: a leq x leq b, space g (x) leq y leq h (x) big } ) e também por

( big {(x, y) ,: c leq y leq d, space j (y) leq x leq k (y) big } ) e (f ) é uma função não negativa em (D ) com um número finito de descontinuidades no interior de (D ), então

[ iint limits_D f space dA = int_ {x = a} ^ {x = b} int_ {y = g (x)} ^ {y = h (x)} f (x, y) , dy space dx = int_ {y = c} ^ {y = d} int_ {x = j (y)} ^ {x = k (y)} f (x, y) , dx space dy ]

É muito importante notar que exigimos que a função seja não negativa em (D ) para que o teorema funcione. Consideramos apenas o caso em que a função possui um número finito de descontinuidades dentro de (D ).

Exemplo ( PageIndex {10} ): Avaliando um Integral Duplo Impróprio

Considere a função (f (x, y) = frac {e ^ y} {y} ) sobre a região (D = big {(x, y) ,: 0 leq x leq 1 , space x leq y leq sqrt {x} big }. )

Observe que a função é não negativa e contínua em todos os pontos em (D ), exceto ((0,0) ). Use o teorema de Fubini para avaliar a integral imprópria.

Solução

Primeiro, plotamos a região (D ) (Figura ( PageIndex {15} )); então, nós o expressamos de outra maneira.

A outra maneira de expressar a mesma região (D ) é

[D = big {(x, y) ,: , 0 leq y leq 1, space y ^ 2 leq x leq y big }. enhum número]

Assim, podemos usar o teorema de Fubini para integrais impróprios e avaliar o integral como

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = y ^ 2} ^ {x = y} frac {e ^ y} {y} , dx space dy. enhum número]

Portanto, temos

[ int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = y ^ 2} ^ {x = y} frac {e ^ y} {y} , dx space dy = int_ { y = 0} ^ {y = 1} left. frac {e ^ y} {y} x right | _ {x = y ^ 2} ^ {x = y} , dy = int_ {y = 0} ^ {y = 1} frac {e ^ y} {y} (y - y ^ 2) , dy = int_0 ^ 1 (e ^ y - ye ^ y) , dy = e - 2. ]

Como mencionado antes, também temos uma integral imprópria se a região de integração for ilimitada. Suponha agora que a função (f ) é contínua em um retângulo ilimitado (R ).

Teorema: Integrais impróprios em uma região ilimitada

Se (R ) é um retângulo ilimitado como (R = big {(x, y) ,: , a leq x leq infty, space c leq y leq infty grande } ), então quando o limite existe, temos

[ iint limits_R f (x, y) , dA = lim _ {(b, d) rightarrow ( infty, infty)} int_a ^ b left ( int_c ^ df (x, y) , dy right) dx = lim _ {(b, d) rightarrow ( infty, infty)} int_c ^ d left ( int_a ^ bf (x, y) , dx right) dy. ]

O exemplo a seguir mostra como este teorema pode ser usado em certos casos de integrais impróprios.

Exemplo ( PageIndex {11} )

Avalie a integral ( iint limits_R xye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} , dA ) onde (R ) é o primeiro quadrante do plano.

Solução

A região (R ) é o primeiro quadrante do plano, que é ilimitado. Então

[ begin {align *} iint limits_R xye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} , dA & = lim _ {(b, d) rightarrow ( infty, infty)} int_ { x = 0} ^ {x = b} left ( int_ {y = 0} ^ {y = d} xye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} dy right) , dx & = lim _ {(b, d) rightarrow ( infty, infty)} int_ {y = 0} ^ {x = b} xye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} , dy & = lim _ {(b, d) rightarrow ( infty, infty)} frac {1} {4} left (1 - e ^ {- b ^ 2} right) left (1 - e ^ {- d ^ 2} right) = frac {1} {4} end {align *} ]

Desse modo,

[ iint limits_R xye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} , dA nonumber ]

é convergente e o valor é ( frac {1} {4} ).

Exercício ( PageIndex {9} )

[ iint limits_D frac {y} { sqrt {1 - x ^ 2 - y ^ 2}} dA ] onde (D = big {(x, y) ,: , x geq 0, space y geq 0, space x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 big } ).

Dica

Observe que a integral é não negativa e descontínua em (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). Expresse a região (D ) como (D = big {(x, y) ,: , 0 leq x leq 1, space 0 leq y leq sqrt {1 - x ^ 2} big } ) e integre usando o método de substituição.

Responder

( frac { pi} {4} )

Em algumas situações na teoria das probabilidades, podemos obter uma visão de um problema quando somos capazes de usar integrais duplas sobre regiões gerais. Antes de examinarmos um exemplo com uma integral dupla, precisamos definir algumas definições e nos familiarizar com algumas propriedades importantes.

Definição: Função de densidade articular

Considere um par de variáveis ​​aleatórias contínuas (X ) e (Y ), como os aniversários de duas pessoas ou o número de dias ensolarados e chuvosos em um mês. O função de densidade articular (f ) de (X ) e (Y ) satisfaz a probabilidade de que ((X, Y) ) se encontra em uma determinada região (D ):

[P ((X, Y) in D) = iint limits_D f (x, y) , dA. ]

Uma vez que as probabilidades nunca podem ser negativas e devem estar entre 0 e 1, a função de densidade conjunta satisfaz a seguinte desigualdade e equação:

[f (x, y) geq 0 espaço e espaço iint limits_R f (x, y) , dA = 1. ]

Definição: Variáveis ​​Aleatórias Independentes

As variáveis ​​ (X ) e (Y ) são consideradas variáveis ​​aleatórias independentes se sua função de densidade conjunta é o produto de suas funções de densidade individuais:

[f (x, y) = f_1 (x) f_2 (y). ]

Exemplo ( PageIndex {12} ): Aplicação à probabilidade

No Restaurante de Sydney, os clientes devem esperar em média 15 minutos por uma mesa. Desde o momento em que ficam sentados até terminarem a refeição, são necessários mais 40 minutos, em média. Qual é a probabilidade de um cliente passar menos de uma hora e meia no restaurante, supondo que esperar por uma mesa e terminar a refeição sejam eventos independentes?

Solução

Os tempos de espera são modelados matematicamente por funções de densidade exponencial, com (m ) sendo o tempo médio de espera, como

[f (t) = begin {cases} 0 text {if} ; t <0 dfrac {1} {m} e ^ {- t / m} text {if} ; t geq 0. end {cases} nonumber ]

se (X ) e (Y ) são variáveis ​​aleatórias para 'esperar por uma mesa' e 'completar a refeição', então as funções de densidade de probabilidade são, respectivamente,

[f_1 (x) = begin {cases} 0 text {if} ; x <0. dfrac {1} {15} e ^ {- x / 15} text {if} ; x geq 0. end {cases} quad text {e} quad f_2 (y) = begin {cases} 0 text {if} ; y <0 dfrac {1} {40} e ^ {- y / 40} text {if} ; y geq 0. end {cases} ]

Claramente, os eventos são independentes e, portanto, a função de densidade conjunta é o produto das funções individuais

[f (x, y) = f_1 (x) f_2 (y) = begin {cases} 0 text {if} ; x <0 ; text {ou} ; y <0, dfrac {1} {600} e ^ {- x / 15} text {if} ; x, y geq 0 end {cases} nonumber ]

Queremos encontrar a probabilidade de que o tempo combinado (X + Y ) seja inferior a 90 minutos. Em termos de geometria, significa que a região (D ) está no primeiro quadrante limitado pela linha (x + y = 90 ) (Figura ( PageIndex {16} )).

Portanto, a probabilidade de que ((X, Y) ) esteja na região (D ) é

[P (X + Y leq 90) = P ((X, Y) in D) = iint Limites_D f (x, y) , dA = iint Limites_D frac {1} {600} e ^ {- x / 15} e ^ {- y / 40} , dA. ]

Como (x + y = 90 ) é o mesmo que (y = 90 - x ), temos uma região do Tipo I, então

[ begin {align} D = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 90, space 0 leq y leq 90 - x big }, P (X + Y leq 90) = frac {1} {600} int_ {x = 0} ^ {x = 90} int_ {y = 0} ^ {y = 90-x} e ^ {- ( / 15} e ^ {- y / 40} dx espaço dy = frac {1} {600} int_ {x = 0} ^ {x = 90} int_ {y = 0} ^ {y = 90- x} e ^ {- x / 15} e ^ {- y / 40} dx espaço dy = frac {1} {600} int_ {x = 0} ^ {x = 90} int_ {y = 0} ^ {y = 90-x} e ^ {- (x / 15 + y / 40)} dx space dy = 0,8328 end {align} ]

Assim, existe uma chance (83,2 \% ) de um cliente passar menos de uma hora e meia no restaurante.

Another important application in probability that can involve improper double integrals is the calculation of expected values. First we define this concept and then show an example of a calculation.

Definition: Expected Values

In probability theory, we denote the expected values (E(X)) and (E(Y)) respectively, as the most likely outcomes of the events. The expected values (E(X)) and (E(Y)) are given by

[E(X) = iintlimits_S x,f(x,y) ,dA space and space E(Y) = iintlimits_S y,f (x,y) ,dA,]

where (S) is the sample space of the random variables (X) and (Y).

Example (PageIndex{13}): Finding Expected Value

Find the expected time for the events ‘waiting for a table’ and ‘completing the meal’ in Example (PageIndex{12}).

Solução

Using the first quadrant of the rectangular coordinate plane as the sample space, we have improper integrals for (E(X)) and (E(Y)). The expected time for a table is

[egin{align} E(X) = iintlimits_S xfrac{1}{600} e^{-x/15}e^{-y/40} dA = frac{1}{600} int_{x=0}^{x=infty} int_{y=0}^{y=infty} xe^{-x/15} e^{-y/40}dA = frac{1}{600} lim_{(a,b) ightarrow (infty, infty)} int_{x=0}^{x=a} int_{y=0}^{y=b} xe^{-x/15} e^{-y/40} dx space dy = frac{1}{600} left(lim_{a ightarrow infty}int_{x=0}^{x=a} xe^{-x/15} dx ight) left( lim_{b ightarrow infty} int_{y=0}^{y=b} e^{-y/40} dy ight) frac{1}{600}left(left. (lim_{a ightarrow infty} (-15e^{-x/15}(x + 15))) ight|_{x=0}^{x=a} ight) left( left. ( lim_{b ightarrow infty}(-40e^{-y/40})) ight|_{y=0}^{y=b} ight) =frac{1}{600} left( lim_{a ightarrow infty} (-15e^{-a/15} (x + 15) + 225) ight)left(lim_{b ightarrow infty} (-40e^{-b/40} + 40) ight) = frac{1}{600} (225)(40) = 15. end{align}]

A similar calculation shows that (E(Y) = 40). This means that the expected values of the two random events are the average waiting time and the average dining time, respectively.

Exercício ( PageIndex {10} )

The joint density function for two random variables (X) and (Y) is given by

[f(x,y) =egin{cases}frac{1}{600} (x^2 + y^2),; & ext{if} ; leq x leq 15, ; 0 leq y leq 10 0, & ext{otherwise} end{cases} onumber]

Find the probability that (X) is at most 10 and (Y) is at least 5.

Dica

Compute the probability

[P(X leq 10, space Y geq 5) = int_{x=-infty}^{10} int_{y=5}^{y=10} frac{1}{6000} (x^2 + y^2) dy space dx. enhum número]

Responder

(frac{55}{72} approx 0.7638)

Key Concepts

  • A general bounded region (D) on the plane is a region that can be enclosed inside a rectangular region. We can use this idea to define a double integral over a general bounded region.
  • To evaluate an iterated integral of a function over a general nonrectangular region, we sketch the region and express it as a Type I or as a Type II region or as a union of several Type I or Type II regions that overlap only on their boundaries.
  • We can use double integrals to find volumes, areas, and average values of a function over general regions, similarly to calculations over rectangular regions.
  • We can use Fubini’s theorem for improper integrals to evaluate some types of improper integrals.

Equações Chave

  • Iterated integral over a Type I region

[iintlimits_D f(x,y) ,dA = iintlimits_D f(x,y) ,dy space dx = int_a^b left[int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) ,dy ight] dx]

  • Iterated integral over a Type II region

[iintlimits_D f(x,y) ,dA = iintlimits_D (x,y) ,dx space dy = int_c^d left[ int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) ,dx ight] dy]

Glossário

improper double integral
a double integral over an unbounded region or of an unbounded function
Tipo I
a region (D) in the (xy)- plane is Type I if it lies between two vertical lines and the graphs of two continuous functions (g_1(x)) and (g_2(x))
Tipo II
a region (D) in the (xy)-plane is Type II if it lies between two horizontal lines and the graphs of two continuous functions (h_1(y)) and (h_2(h))

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Probably the best you can do in general is $left(int_a^bf(x)dx ight)^2=int_a^bint_a^bf(x)f(y)dxdy$ One place where this is useful is evaluating $int_<-infty>^ e^<-x^2>dx$

$ beginleft(int^b_a f(x) ext< d>x ight)^2 &=left(int^b_a f(x) ext< d>x ight) left(int^b_a f(x) ext< d>x ight) &=left(int^b_a f(x) ext< d>x ight) left(int^b_a f(y) ext< d>y ight) &=int^b_a int^b_a f(x) cdot f(y) ext< d>x ext< d>y.end$

By Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality inequality or Hölder's inequality,

$left(int_a^b f ight)^2 leqslant (b-a)int_a^b (f)^2$

Discrete infinite analogue with changing indices:

Maybe you could do the same for $int int$ .

Suppose you were able to find such a function g(x) to have $int_^ g(x)dx =left[ int_^ f(x)dx ight]^<2>$

How can this process makes it any easier to find $ left[ int_^ f(x)dx ight]^<2>$

You either have to integrate f(x) and square it or integrate g(x).

In either case there is only one integration involved.

The process of finding g(x) from f(x) is the extra task imposed on us if we want to integrate g(x) instead of f(x).

We may use double integrals.

With the exception of some special cases, where polar coordinates is used, the resulting double integrals are not any easier than the original integral of f(x).


Step 1: Choose Your Substitutions

These instructions will work through the double integral above over the given region. The first step is to choose the substitutions that we want to use. Clearly, the integral the way it is given is not the easiest to evaluate. The whole point in choosing substitutions is to make the integral easier. Also, we will need to make as many substitutions as there are variables in the integral. In our case this means we need to make 2 substitutions. Typically u and v are used. With the given integral it would be much easier if we chose u = x + y and v = x - y.


Propriedades

Being one of the fundamental tools of calculus, integrals have a large number of properties coming from the geometry of the coordinate plane, the definition of a functional, and the relationship between integrals and derivatives. Integrals also have an algebraic interpretation that allows for very useful techniques like u u u -substitution that are necessary for many types of integral evaluation (and in proofs of many properties below!).

Sometimes, it is possible to relate the area of one integral to that of others.

Some properties give information about the limits.

Just as an interval along the real line may be split up, intervals of integration may be split up in accordance with the geometric intuition. For any value c ∈ [ a , b ] c in [a, , b] c ∈ [ a , b ] ,

Some properties give information about the integrand.

As an operator, the integral is linear. That is, for any real numbers c c c and d d d and functions f f f and g g g ,

An integral may be computed with Riemann sums summed from the left just as easily as it may be computed with Riemann sums summed from the right. Algebraically, this is equivalent to saying

Similarly, an integral may be computed by calculating area from the left and from the right simultaneously (and stopping in the middle):

Other properties give information about how to change the integrand. Changing the variable of integration has no effect upon the value of the integral:

Note that, for instance, one of the properties in the previous subsection follows from the u u u -substitution u = a + b − x u = a + b - x u = a + b − x .

This property is consistent with the idea of an integral as a measure of area.

Both the Cauchy-Schwarz inequality and Holder's inequality hold for integrals as well as summations. For instance, the Cauchy-Schwarz inequality for integrals states that

The Minkowski inequality, which is crucial in the development of real analysis and integration theory, states that for any real number p > 1 p > 1 p > 1


Multiple Integral

an integral of a function defined on some region in a plane and in three-dimensional or n -dimensional space. The corresponding multiple integrals are referred to as double integrals, triple integrals, and n-tuple integrals, respectively.

Let the function f(x, y ) be defined on some region D of the plane xOy. Let us divide D para dentro n subregions di whose areas are equal to si, choose a point (&xieu, &etaeu) in each subregion deu (see Figure 1), and form the integral sum

If as the maximal diameter of the subregions d, decreases without bound the sums S have a limit independent of the choice of the points (&xieu, &etaeu), then this limit is called the double integral of the function f(x, y) over the region D and is denoted by

A triple integral and, in general, an n -tuple integral are defined analogously.

In order for the double integral to exist, it is sufficient that, for example, the region D be a closed (Jordan) measurable region and that the function f(x, y) be continuous throughout D. Multiple integrals possess a number of properties similar to those of ordinary integrals. In order to calculate a multiple integral we reduce it to an iterated integral. Green&rsquos formulas and the Green-Ostrogradskii theorem can be used in special cases to reduce multiple integrals to integrals of lower dimension. Multiple integrals find wide application. Volumes of bodies, as well as masses, static moments, and moments of inertia ( of bodies, for example) are expressed using multiple integrals.


Double Integration Method | Beam Deflections

where x and y are the coordinates shown in the figure of the elastic curve of the beam under load, y is the deflection of the beam at any distance x. E is the modulus of elasticity of the beam, I represent the moment of inertia about the neutral axis, and M represents the bending moment at a distance x from the end of the beam. The product EI is called the rigidez flexural of the beam.

The first integration y' yields the slope of the elastic curve and the second integration y gives the deflection of the beam at any distance x. The resulting solution must contain two constants of integration since EI y" = M is of second order. These two constants must be evaluated from known conditions concerning the slope deflection at certain points of the beam. For instance, in the case of a simply supported beam with rigid supports, at x = 0 and x = L, the deflection y = 0, and in locating the point of maximum deflection, we simply set the slope of the elastic curve y' to zero.


6. Mathematical treatment of the axioms of physics

The investigations on the foundations of geometry suggest the problem: To treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which mathematics plays an important part in the first rank are the theory of probabilities and mechanics.

As to the axioms of the theory of probabilities, 14 it seems to me desirable that their logical investigation should be accompanied by a rigorous and satisfactory development of the method of mean values in mathematical physics, and in particular in the kinetic theory of gases.

Important investigations by physicists on the foundations of mechanics are at hand I refer to the writings of Mach, 15 Hertz, 16 Boltzmann 17 and Volkmann. 18 It is therefore very desirable that the discussion of the foundations of mechanics be taken up by mathematicians also. Thus Boltzmann's work on the principles of mechanics suggests the problem of developing mathematically the limiting processes, there merely indicated, which lead from the atomistic view to the laws of motion of continua. Conversely one might try to derive the laws of the motion of rigid bodies by a limiting process from a system of axioms depending upon the idea of continuously varying conditions of a material filling all space continuously, these conditions being defined by parameters. For the question as to the equivalence of different systems of axioms is always of great theoretical interest.

If geometry is to serve as a model for the treatment of physical axioms, we shall try first by a small number of axioms to include as large a class as possible of physical phenomena, and then by adjoining new axioms to arrive gradually at the more special theories. At the same time Lie's a principle of subdivision can perhaps be derived from profound theory of infinite transformation groups. The mathematician will have also to take account not only of those theories coming near to reality, but also, as in geometry, of all logically possible theories. He must be always alert to obtain a complete survey of all conclusions derivable from the system of axioms assumed.

Further, the mathematician has the duty to test exactly in each instance whether the new axioms are compatible with the previous ones. The physicist, as his theories develop, often finds himself forced by the results of his experiments to make new hypotheses, while he depends, with respect to the compatibility of the new hypotheses with the old axioms, solely upon these experiments or upon a certain physical intuition, a practice which in the rigorously logical building up of a theory is not admissible. The desired proof of the compatibility of all assumptions seems to me also of importance, because the effort to obtain such proof always forces us most effectually to an exact formulation of the axioms.

So far we have considered only questions concerning the foundations of the mathematical sciences. Indeed, the study of the foundations of a science is always particularly attractive, and the testing of these foundations will always be among the foremost problems of the investigator. Weierstrass once said, "The final object always to be kept in mind is to arrive at a correct understanding of the foundations of the science. . But to make any progress in the sciences the study of particular problems is, of course, indispensable." In fact, a thorough understanding of its special theories is necessary to the successful treatment of the foundations of the science. Only that architect is in the position to lay a sure foundation for a structure who knows its purpose thoroughly and in detail. So we turn now to the special problems of the separate branches of mathematics and consider first arithmetic and algebra.


Rational Expressions

A general quadratic equation can be written in the form $ax^2 + bx + c = 0$ . This calculator solves quadratic equation using two methods.

Method 1: Use the Quadratic Formula

When $a e 0$ , there are two solutions to $ax^2 + bx + c = 0$ and they are

The formula can be used to solve algum quadratic equation.

Solve equation $2x^2 + 7x - 15 = 0$ using the quadratic formula.

Calcular first solution we use "+" sign:

Calcular second solution we use "-" sign:

Solve equation 3x 2 + 2x - 5 = 0. ( Use above calculator to check your solution. )

Method 2: Completing the square

The best way to learn this method is by using an example.

Solve equation 2x 2 + 7x - 15 = 0 by completing the square.

Step1: Divide all terms by the coefficient of x 2 .

Passo 2: Keep all terms containing x on one side. Move the constant to the right.

Etapa 3: Take half of the x-term coefficient and square it. Add this value to both sides.

Passo 4: Simplify right side.

Etapa 5: Write the perfect square on the left.

Step 6: Take the square root on both sides of the equation.

Solve equation x 2 - 4x + 3 = 0. ( Use above calculator to check your solution. )


E Pluribus. Separation: Deepening Double Segregation for More Students

This report shows that segregation has increased seriously across the country for Latino students, who are attending more intensely segregated and impoverished schools than they have for generations. The segregation increases have been the most dramatic in the West. The typical Latino student in the region attends a school where less than a quarter of their classmates are white nearly two-thirds are other Latinos and two-thirds are poor. California, New York and Texas, all states that have been profoundly altered by immigration trends over the last half-century, are among the most segregated states for Latino students along multiple dimensions.

In spite of declining residential segregation for black families and large-scale movement to the suburbs in most parts of the country, school segregation remains very high for black students. It is also double segregation by both race and poverty. Nationwide, the typical black student is now in a school where almost two out of every three classmates (64%) are low-income, nearly double the level in schools of the typical white or Asian student (37% and 39%, respectively). New York, Illinois, and Michigan consistently top the list of the most segregated states for black students. Among the states with significant black enrollments, blacks are least likely to attend intensely segregated schools in Washington, Nebraska, and Kansas.

School resegregation for black students is increasing most dramatically in the South, where, after a period of intense resistance, strong action was taken to integrate black and white students. Black students across the country experienced gains in school desegregation from the l960s to the late l980s, a time in which racial achievement gaps also narrowed sharply. These trends began to reverse after a 1991 Supreme Court decision made it easier for school districts and courts to dismantle desegregation plans. Most major plans have been eliminated for years now, despite increasingly powerful evidence on the importance of desegregated schools.

The Obama Administration, like the Bush Administration, has taken no significant action to increase school integration or to help stabilize diverse schools as racial change occurs in urban and suburban housing markets and schools. Small positive steps in civil rights enforcement have been undermined by the Obama Administration’s strong pressure on states to expand charter schools - the most segregated sector of schools for black students. Though segregation is powerfully related to many dimensions of unequal education, neither candidate has discussed it in the current presidential race.

The consensus of nearly sixty years of social science research on the harms of school segregation is clear: separate remains extremely unequal. Schools of concentrated poverty and segregated minority schools are strongly related to an array of factors that limit educational opportunities and outcomes. These include less experienced and less qualified teachers, high levels of teacher turnover, less successful peer groups and inadequate facilities and learning materials. There is also a mounting body of evidence indicating that desegregated schools are linked to important benefits for all children, including prejudice reduction, heightened civic engagement, more complex thinking and better learning outcomes in general.

In this report, we summarize the most rigorous research to date showing that segregated schools are systematically linked to unequal educational opportunities. Using data from the National Center on Education Statistics, we explore how enrollment shifts and segregation trends are playing out nationally, as well as in regions, states and metropolitan areas.

This country, whose traditions and laws were built around a white, middle class society with a significant black minority, is now multiracial and poorer, with predominately nonwhite schools in our two largest regions, the West and the South. In the following report, we underscore the fact that simply sitting next to a white student does not guarantee better educational outcomes for students of color. Instead, the resources that are consistently linked to predominately white and/or wealthy schools help foster real and serious educational advantages over minority segregated settings. For these reasons, it remains vital to explore and understand the extent to which other racial groups are exposed to white students.

This report suggests a number of specific ways to reverse the trends toward deepening resegregation and educational inequalities. Two related but smaller reports provide a special focus on the South and the West, the two most racially diverse regions in the country.

Major findings in the reports include:

U.S. Enrollment Growing Rapidly More Diverse

  • In 1970, nearly four out of every five students across the nation were white, but by 2009, just over half were white.
  • Latino enrollment has soared from one-twentieth of U.S. students in 1970 to nearly one-fourth (22.8%). Latino students have become the dominant minority group in the Western half of the country.
  • White students account for just 52% of U.S. first graders, forecasting future change.

Double School Segregation by Race and Poverty

  • The typical black or Latino today attends school with almost double the share of low-income students in their schools than the typical white or Asian student.
  • In the early 1990s, the average Latino and black student attended a school where roughly a third of students were low income (as measured by free and reduced price lunch eligibility), but now attend schools where low income students account for nearly two-thirds of their classmates.
  • There is a very strong relationship between the percent of Latino students in a school and the percent of low income students. On a scale in which 1.0 would be a perfect relationship, the correlation is a high .71. The same figure is lower, but still high, for black students (.53). Many minority-segregated schools serve both black and Latino students. The correlation between the combined percentages of these underserved two groups and the percent of poor children is a dismaying .85.

Racial Segregation Deepens for Black and Latino Students

  • In spite of the dramatic suburbanization of nonwhite families, 80% of Latino students and 74% of black students attend majority nonwhite schools (50-100% minority), and 43% of Latinos and 38% of blacks attend intensely segregated schools (those with only 0-10% of whites students) across the nation.
  • Fully 15% of black students, and 14% of Latino students, attend “apartheid schools” across the nation, where whites make up 0 to 1% of the enrollment.
  • Latino students in nearly every region have experienced steadily rising levels of concentration in intensely segregated minority settings. In the West, the share of Latino students in such settings has increased fourfold, from 12% in 1968 to 43% in 2009.
  • Eight of the 20 states reporting the highest numbers of students attending schools under apartheid conditions are located in the South or Border states, a significant retrenchment on civil rights progress.
  • The nation’s largest metropolitan areas report severe school racial concentration. Half of the black students in the Chicago metro, and one third of black students in New York, attend apartheid schools.
  • Latino students experience high levels of extreme segregation in the Los Angeles metro, where roughly 30% attend a school in which whites make up 1% or less of the enrollment.


White Students Isolated with Other White Students Black and Latino Students Have Little Contact with White Students

  • Though whites make up just over half of the nation’s enrollment, the typical white student attends a school where three-quarters of their peers are white.
  • White students account for about 64% of the total enrollment in the Northeast, but the typical black student attends a school with only 25% whites.
  • Exposure to white students for the average Latino student has decreased dramatically over the years for every Western state, particularly in California, where the average Latino student had 54.5% white peers in 1970 but only 16.5% in 2009.

The Uneven Distribution of Racial Groups among Schools

  • The dissimilarity index, a measure of the degree to which students of any two groups are distributed randomly among schools within a larger geographical area, shows that much of the shifts outside the South are driven primarily by changing demographics, particularly the relative decline in the percent of white students and growth of the percent of Latino students. During the desegregation era in the South, desegregation plans more than offset the impact of changing demographics. Now there are no such plans in most communities.
  • Nationally, though black-white residential dissimilarity had declined markedly, black-white school dissimilarity remains virtually unchanged as desegregation efforts are dissolved. In the South, black-white school dissimilarity has increased since 1990.
  • The most extreme levels of black-white school dissimilarity exist in the Chicago, New York, Detroit, Boston, St. Louis, and Pittsburgh metropolitan areas.

These findings highlight the effects of inertia and indifference towards integration in U.S. schools since the l970s, as well as the Supreme Court’s reversal of desegregation policies. Success in creating diverse schools requires early and thoughtful action at all levels—within schools and school districts, local governments, civil rights groups, the media, state governments, and via federal policy in education, civil rights and housing.

In this report, we offer a number of recommendations for policymakers, school officials, local community members, parents, and others dealing with demographic transformation and the persisting segregation of public schools:

  • Local journalists should cover the relationships between segregation and unequal educational outcomes and realities, in addition to providing coverage of high quality, diverse schools.
  • Civil rights organizations and community organizations supporting school integration should study existing trends, observe and participate in boundary changes, school siting decisions and other key policies that make schools more segregated or more integrated.
  • Local fair housing organizations should monitor land use and zoning decisions, and advocate for low-income housing set asides in developing new communities attached to strong schools, as has been done in Montgomery County, just outside Washington, D.C.
  • Local educational organizations and neighborhood associations should vigorously promote diverse communities and schools as highly desirable places to live and learn an essential step in breaking the momentum of flight and transition in diverse communities.
  • The Justice Department and the Office for Civil Rights need to take enforcement actions under Title VI in some substantial school districts in order to revive federal policy sanctions for actions that either foster segregation or ignore responsibilities under desegregation plans.
  • Housing officials need to strengthen and enforce site selection policies for projects receiving federal direct funding or tax credit subsidies so that they support integrated schools rather than foster segregation.
  • The program of voluntary assistance for integration should be reenacted, building on the Obama Administration's small and temporary Technical Assistance for Student Assignment Plans (TASAP) grant. The renewed program should add a special focus on diverse suburbs and gentrifying urban neighborhoods (which now normally fail to produce diverse schools).
  • At the state level, recent developments in Ohio offer important lessons in how to create and sustain policy around the issues of reducing racial isolation and promoting diverse schools, such as how to create district student assignment policies that foster diverse schools, and inter-district programs like city-suburban transfers and regional magnet schools.
  • At the regional level, the creation of regional magnets and regional pro-integration transfer programs, as is the case in Connecticut, could provide unique educational opportunities that would support voluntary integration. Providing funds for existing regional transfer programs such as METCO in the Boston area would be a positive step in the same direction.

Our political and educational leaders, who have passively accepted deepening school segregation, need to find some of the same courage that transformed our society in the mid-twentieth century. The challenges we face now are far less intense than what those earlier leaders had the strength to overcome. Many things can be done, at all levels of government and in thousands of communities, to move towards a new vision of educational and social equity. There is much to learn about how to create lasting and successful diverse schools that can shape a successful multiracial society. The time to begin is now.

In compliance with the UC Open Access Policy, this report has been made available on eScholarship:


Find The Area of an Ellipse Using Calculus

Find the area of an ellipse using integrals and calculus.

Problem : Find the area of an ellipse with half axes a and b.


Solution to the problem:
The equation of the ellipse shown above may be written in the form
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
Since the ellipse is symmetric with respect to the x and y axes, we can find the area of one quarter and multiply by 4 in order to obtain the total area.
Solve the above equation for y
y =

b √ [ 1 - x 2 / a 2 ]
The upper part of the ellipse (y positive) is given by
y = b √ [ 1 - x 2 / a 2 ]
We now use integrals to find the area of the upper right quarter of the ellipse as follows
(1 / 4) Area of ellipse = 0 a b √ [ 1 - x 2 / a 2 ] dx
We now make the substitution sin t = x / a so that dx = a cos t dt and the area is given by
(1 / 4) Area of ellipse = 0 π/2 a b ( √ [ 1 - sin 2 t ] ) cos t dt
√ [ 1 - sin 2 t ] = cos t since t varies from 0 to π/2, hence
(1 / 4) Area of ellipse = 0 π/2 a b cos 2 t dt
Use the trigonometric identity cos 2 t = ( cos 2t + 1 ) / 2 to linearize the integrand
(1 / 4) Area of ellipse = 0 π/2 a b ( cos 2t + 1 ) / 2 dt
Evaluate the integral
(1 / 4) Area of ellipse = (1/2) b a [ (1/2) sin 2t + t ] 0 π/2
= (1/4) π a b
Obtain the total area of the ellipse by multiplying by 4
Area of ellipse = 4 * (1/4) π a b = π a b More references on integrals and their applications in calculus.


Assista o vídeo: Integral Dupla - Regiões retangulares. EP 1 (Dezembro 2021).