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8.4: Triângulos e Quadriláteros - Matemática


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Siga estas instruções por conta própria:

  • Desenhe qualquer triângulo em seu papel.
  • Desenhe um segundo triângulo que seja diferente de alguma forma do primeiro. Escreva uma frase ou duas para dizer como é diferente.
  • Desenhe um terceiro triângulo que seja diferente dos outros dois. Descreva como é diferente.
  • Desenhe mais dois triângulos, diferentes de todos os anteriores.

Compare seus triângulos e descrições com um parceiro. Para fazer triângulos “diferentes”, você deve alterar algumas características do triângulo. Faça uma lista dos recursos que você ou seu parceiro alterou.

Os triângulos são classificados de acordo com propriedades diferentes. O objetivo de aprender geometria não é aprender muito vocabulário, mas é útil usar os termos corretos para objetos, para que possamos nos comunicar com clareza. Aqui está um dicionário rápido de alguns tipos de triângulos.

Classificação por lados

escalenoisóscelesequilátero
todos os lados têm comprimentos diferentesdois lados têm o mesmo comprimentotodos os três lados têm o mesmo comprimento

Classificação por ângulos

agudoobtuso
todos os ângulos internos medem menos de 90 °um ângulo interno mede mais de 90°
direitoequiângulo
um ângulo interno mede exatamente 90°todos os ângulos internos têm a mesma medida

Lembre-se de que “geometria é a arte de raciocinar bem a partir de desenhos ruins”. Isso significa que você nem sempre pode confiar em seus olhos. Se você olhar para a imagem de um triângulo e um lado parecer mais comprido do que o outro, isso pode significar apenas que o desenho foi feito de maneira um pouco descuidada.

Notação: marcas de escala

Os matemáticos anotam as medidas ou usam marcas de seleção para indicar quando os lados e os ângulos devem ser iguais.

Se dois lados têm a mesma medida ou o mesmo número de marcas de escala, você deve acreditar que eles são iguais e resolver o problema de acordo, mesmo que não pareça assim aos seus olhos.

Você pode ver exemplos disso em algumas das fotos acima. Outro exemplo é o pequeno quadrado usado para indicar um ângulo reto na imagem do triângulo retângulo.

Por si só

Faça os seguintes exercícios sozinho ou com um parceiro.

1. Na imagem abaixo, quais lados são considerados como tendo o mesmo comprimento (mesmo que não pareça assim no desenho)?

2. Na figura abaixo, quais ângulos são entendidos como tendo a mesma medida (mesmo que não pareça assim no desenho)?

3. Aqui está um triângulo escaleno. Esboce mais dois triângulos escalenos, cada um deles diferente do mostrado aqui de alguma forma.

4. Aqui está um triângulo agudo. Esboce mais dois triângulos agudos, cada um deles diferente do mostrado aqui de alguma forma.

5. Aqui está um triângulo obtuso. Esboce mais dois triângulos obtusos, cada um deles diferente do mostrado aqui de alguma forma.

6. Aqui está um triângulo retângulo. Esboce mais dois triângulos retângulos, cada um deles diferente do mostrado aqui de alguma forma. Certifique-se de indicar qual ângulo é de 90 °.

7. Aqui está um triângulo isósceles. Esboce mais dois triângulos isósceles, cada um deles diferente do mostrado aqui de alguma forma. Use marcas de seleção para indicar quais lados são iguais.

Soma de Ângulos

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Até agora, você desenhou vários triângulos diferentes em seu papel. Escolha um de seus triângulos e siga estas instruções:

  • Usando uma tesoura, corte o triângulo.
  • Rasgue (não corte) os cantos e coloque os três vértices juntos. Você deve ter algo parecido com esta imagem:

O que você percebe? O que isso sugere sobre os ângulos de um triângulo?

Você deve se lembrar de ter aprendido que a soma dos ângulos em qualquer triângulo é 180 °. Em sua classe, agora você tem muitos exemplos de triângulos em que a soma dos ângulos parece ser 180 °. Mas lembre-se, nossos desenhos não são exatos. Como podemos ter certeza de que nossos olhos não nos enganam? Como podemos ter certeza de que a soma dos ângulos em um triângulo não é 181 ° ou 178 °, mas é realmente 180 ° no nariz em todos os casos?

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O que o convenceria, sem sombra de dúvida, de que a soma dos ângulos em qualquer triângulo é 180 °? Testar muitos casos seria o suficiente? Quantos são suficientes? Você poderia testar todos os triângulos possíveis?

História: axiomas de Euclides

Freqüentemente, os professores de geometria do ensino médio provam que a soma dos ângulos em um triângulo é 180 °, geralmente usando alguns fatos sobre linhas paralelas. Mas (talvez surpreendentemente?) É tão bom considerar isso como um axioma, como um fato dado sobre como a geometria funciona, e a partir daí. Talvez isso seja menos satisfatório do que prová-lo a partir de alguma outra afirmação, e se você estiver curioso, certamente pode encontrar uma prova ou seu instrutor pode compartilhar uma com você.

Observação

Em cerca de 300 AC, Euclid[1] foi o primeiro matemático (até onde sabemos) que tentou escrever axiomas cuidadosos e então construir a partir desses axiomas provas rigorosas de verdades matemáticas.

Euclides

Euclides tinha cinco axiomas para a geometria, os primeiros quatro dos quais pareciam bastante óbvios para os matemáticos. As pessoas achavam que eram suposições razoáveis ​​a partir das quais construir verdades geométricas:

  1. Dados dois pontos, você pode conectá-los com um segmento de linha reta.
  2. Dado um segmento de linha, você pode estendê-lo tanto quanto quiser em qualquer direção, fazendo uma linha.
  3. Dado um segmento de linha, você pode desenhar um círculo tendo esse segmento como um raio.
  4. Todos os ângulos retos são congruentes.

O quinto postulado incomodou um pouco mais. Foi originalmente afirmado em uma linguagem mais floreada, mas era equivalente a esta afirmação:

  1. A soma dos ângulos em um triângulo é 180 °.

É fácil ver por que este quinto axioma causou tanto tumulto na matemática. Parecia muito menos óbvio do que os outros quatro, e os matemáticos achavam que de alguma forma estavam trapaceando se apenas assumissem, em vez de provar que tinham de ser verdade. Muitos matemáticos passaram muitos e muitos anos tentando provar este quinto axioma a partir de outros axiomas, mas não conseguiram. E com um bom motivo: existem outros tipos de geometrias em que os primeiros quatro axiomas são verdadeiros, mas o quinto não é!

Por exemplo, se você faz geometria em uma esfera - como uma bola de basquete ou, mais importante, na superfície da Terra - em vez de em um plano plano, os primeiros quatro axiomas são verdadeiros. Mas os triângulos são um pouco estranhos na superfície da Terra. Cada triângulo que você pode desenhar na superfície da Terra tem uma soma angular estritamente Maior que 180 °. Na verdade, você pode desenhar um triângulo na Terra que tem três ângulos retos[2], fazendo uma soma de ângulo de 270 °.

Triângulo com três ângulos retos em uma esfera.

Em uma esfera como a Terra, a soma dos ângulos não é constante entre todos os triângulos. Triângulos maiores têm somas angulares maiores e triângulos menores têm somas angulares menores, mas mesmo triângulos minúsculos têm somas angulares maiores que 180 °.

A geometria que você estuda na escola é chamada Geometria euclidiana; é a geometria de um plano plano, de um mundo plano. É uma boa aproximação para o pequeno pedaço da Terra que vemos em um determinado momento, mas não é a única geometria que existe!

Desigualdade Triângulo

Faça uma cópia dessas tiras de papel e recorte-as. Eles têm comprimentos de 1 unidade a 6 unidades. Você pode colorir as tiras, escrever números nelas ou fazer algo que facilite o controle dos diferentes comprimentos.

Problema 3

Repita o seguinte processo várias vezes (pelo menos 10) e acompanhe os resultados (uma tabela foi iniciada para você).

  • Escolha três tiras de papel. (Os comprimentos não precisam ser todos diferentes uns dos outros; é por isso que você tem várias cópias de cada comprimento.)
  • Tente fazer um triângulo com essas três tiras e decida se você acha que é possível ou não. (Não sobreponha as tiras, não as corte ou dobre. O comprimento das tiras deve ser o comprimento dos lados do triângulo.)
Comprimento 1Comprimento 2Comprimento 3Triângulo?
432sim
421não
422??

Seu objetivo é chegar a um regra que descreve quando três comprimentos farão um triângulo e quando eles não vão. Escreva a regra com suas próprias palavras.

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Compare sua regra com outros alunos. Em seguida, use sua regra para responder às seguintes perguntas. Tenha em mente que o objetivo não é tentar construir o triângulo, mas prever o resultado com base na sua regra.

  • Suponha que você tenha que fazer um triângulo com lados de 40 unidades, 40 unidades e 100 unidades de comprimento. Você acha que poderia fazer isso? Explique sua resposta.
  • Suponha que você tenha que fazer um triângulo com lados de 2,5 unidades, 2,6 unidades e 5 unidades de comprimento. Você acha que poderia fazer isso? Explique sua resposta.

Você provavelmente veio com alguma versão desta declaração:

Teorema: Desigualdade Triângulo

A soma dos comprimentos dos dois lados de um triângulo é maior que o comprimento do terceiro lado.

Claro, sabemos que na geometria não devemos acreditar em nossos olhos. Você precisa procurar um explicação. Por que sua declaração faz sentido?

Lembre-se de que “geometria é a arte de raciocinar bem a partir de desenhos ruins”. Nossos materiais não eram muito precisos, então como podemos ter certeza de que esta regra que criamos está correta?

Bem, neste caso, a regra é realmente a mesma que dizer "a distância mais curta entre dois pontos é uma linha reta." Na verdade, é exatamente isso que queremos dizer com as palavras linha reta em geometria.

Congruência SSS

Dizemos que dois triângulos (ou quaisquer dois objetos geométricos) são congruente se eles são exatamente da mesma forma e do mesmo tamanho. Isso significa que se você pudesse pegar um deles e movê-lo para pousar no outro, eles se sobreporiam exatamente.

Problema 4

Repita o seguinte processo várias vezes e acompanhe os resultados.

  • Escolha três tiras de papel que definitivamente formarão um triângulo.
  • Tente fazer dois diferente triângulos (não congruentes) com as mesmas três tiras de papel. Registre se você foi capaz de fazer isso.

Problema 5

Repita o seguinte processo várias vezes e acompanhe os resultados.

  • Escolha quatro tiras de papel e forme um quadrilátero com elas. (Se suas quatro tiras não formarem um quadrilátero, escolha outras quatro tiras.)
  • Tente fazer dois diferente quadriláteros (não congruentes) com as mesmas quatro tiras de papel. Registre se você foi capaz de fazer isso.

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O que você observa nos Problemas 4 e 5? Você pode fazer uma declaração geral para descrever o que está acontecendo? Você pode explicar por que sua declaração faz sentido?

Você provavelmente veio com alguma versão desta declaração:

Teorema: Congruência SSS (lado-lado-lado)

Se dois triângulos têm os mesmos comprimentos laterais, então os triângulos são congruentes.

Isso certamente não é verdade para quadriláteros. Por exemplo, se você escolher quatro tiras do mesmo comprimento, poderá fazer um quadrado:

Mas você também pode transformar esse quadrado em um losango não quadrado. (Tente!)

Se você não escolher quatro comprimentos que são todos iguais, além de "espremer" a forma, você pode reorganizar os lados para fazer formas diferentes (não congruentes). (Tente!)

Esses dois quadriláteros têm os mesmos quatro comprimentos laterais na mesma ordem.

Esses dois quadriláteros têm os mesmos quatro comprimentos laterais dos dois anteriores, mas os lados estão em uma ordem diferente.

Mas isso não pode acontecer com triângulos. Por que não? Bem, certamente você não pode reorganizar os três lados. Isso seria o mesmo que girar o triângulo ou virá-lo, mas não criar uma nova forma.

Por que os triângulos não podem "comprimir" da mesma forma que um quadrilátero (e outras formas) pode? Aqui está uma maneira de entender isso. Imagine que você escolhe dois de seus três comprimentos e os coloca um sobre o outro, com dobradiças em um canto.

Isso mostra um segmento tracejado roxo mais longo e um segmento verde mais curto. Os dois segmentos são articulados no ponto vermelho à esquerda.

Agora imagine abrir a dobradiça um pouco de cada vez.

À medida que a dobradiça se abre, os dois pontos finais sem dobradiças ficam cada vez mais afastados. Qualquer que seja o seu terceiro comprimento (assumindo que você seja realmente capaz de fazer um triângulo com seus três comprimentos), há exatamente uma posição da dobradiça onde caberá exatamente para fechar o triângulo. Nenhuma outra posição funcionará.


  1. Retrato de Euclides do Wikimedia Commons, licenciado sob a Creative Commons Atribuição 4.0 Internacional licença.
  2. Imagem de Coyau / Wikimedia Commons, via Wikimedia Commons, licenciada sob Creative Commons Atribuição-Compartilhamento Igual 3.0 Unported.

Planilhas Triângulo e Quadrilateral

Quando se trata de geometria, existem dois tipos de formas com as quais temos que lidar. Isso inclui bidimensional (2D) e tridimensional (3D). As formas 2D e 3D são subdivididas em várias outras formas. Círculos, ovais, triângulos e quadriláteros são formas de formas 2D. Entre eles, triângulos e quadriláteros são categorizados em vários tipos. Os triângulos são polígonos feitos com três linhas. Essa forma tem três lados e três ângulos. Estes são classificados em triângulos equiláteros, onde todos os três lados e todos os três ângulos são iguais, triângulo isósceles, onde dois lados e dois ângulos são iguais, escaleno é onde nenhum dos três lados ou ângulos são iguais e triângulo retângulo, onde um ângulo é igual a 90 & deg. O escaleno também é dividido em triângulos de ângulo agudo onde todos os três ângulos são menores que 90 ° e triângulo de ângulo obtuso, onde um ângulo é maior que 90 °. Quadriláteros são polígonos compostos por quatro lados. Existem quatro tipos de quadriláteros. Estes incluem quadrados, onde todos os quatro lados são iguais, e todos os quatro ângulos são retângulos de 90 graus, onde dois lados opostos são iguais, e todos os quatro ângulos são paralelogramo de 90 graus, onde os lados opostos são paralelos e iguais, e a pipa é um quadrilátero onde diagonais se cruzam em 90 graus.

Classificação de triângulos com base em medidas

Você receberá as dimensões das figuras e será solicitado a classificar cada triângulo.


PRINCÍPIOS DE MATEMÁTICA DE 5º GRAU

O melhor das categorias GRÁTIS de planilhas de matemática do 5º ano

    • Sentido de número
    • Adição e subtração
    • Multiplicação
    • Divisão
    • Expoentes
    • Teoria dos Números
    • Decimais
    • Adicionar e subtrair decimais
    • Multiplicar decimais
    • Divida decimais
    • Frações e números mistos
    • Adicionar e subtrair frações
    • Multiplique as frações
    • Divide frações
    • Operações mistas
    • Resolução de problemas
    • Proporções e taxas
    • Percentagens
    • Matemática do dinheiro
    • Sequências numéricas
    • Gráfico de coordenadas
    • Expressões variáveis
    • Dados e gráficos
    • Probabilidade e estatísticas
    • Dizer o tempo
    • Unidade de Medidas
    • Figuras 2D
    • Triângulos e quadriláteros amplificadores
    • Simetria e transformações de amplificação
    • Figuras 3D
    • Medidas geométricas

    Livro de exercícios de matemática integral do 5º ano


    O que é verdade para todos os quadriláteros

    Em primeiro lugar, vamos falar sobre o que é verdade para todos os quadriláteros, absolutamente todos os membros deste conjunto. Para cada quadrilátero, a soma dos quatro ângulos internos é 360 graus, que você precisa saber.

    Uma maneira de entender isso é ver que cada quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos. Portanto, aqui temos um quadrilátero aleatório. E traçamos a linha de B a D. E podemos ver que temos dois triângulos. No triângulo ABD, temos os três ângulos azuis, eles devem somar 180.

    No triângulo BCD, temos os três ângulos vermelhos, esses devem somar 180. E realmente, os ângulos em todo o quadrilátero ABCD, isso é apenas a soma dos ângulos vermelhos mais os ângulos azuis. Então, vermelho mais azul tem que ser igual a 180, isso & # 8217s 360. Então, & # 8217s por que cada quadrilátero tem uma soma de ângulos de 360. Agora, essa linha que traçamos de um vértice ao vértice oposto é chamada de diagonal.

    Os triângulos não têm diagonais, mas cada quadrilátero tem exatamente duas diagonais. Portanto, aqui está um quadrilátero com suas duas diagonais desenhadas. Os segmentos EG e FH são as diagonais do quadrilátero EFGH. Como veremos, alguns quadriláteros têm diagonais com propriedades especiais. Agora podemos começar a falar sobre os quadriláteros especiais, os quadriláteros de elite que são mais comuns no teste, o paralelogramo.


    8.4: Triângulos e Quadriláteros - Matemática

    Existem muitos tipos diferentes de quadriláteros, mas todos têm várias coisas em comum: todos eles têm quatro lados, são coplanares, têm duas diagonais e a soma de seus quatro ângulos internos é igual a 360 graus. É assim que eles são semelhantes, mas o que os torna diferentes?

    Conhecemos muitos quadriláteros por suas formas e propriedades especiais, como os quadrados. Lembre-se, se você vir a palavra quadrilátero, não significa necessariamente uma figura com propriedades especiais, como um quadrado ou retângulo! Em problemas de palavras, tome cuidado para não presumir que um quadrilátero tenha lados paralelos ou lados iguais, a menos que isso seja declarado.

    Quadriláteros Especiais

    Podemos usar um diagrama de Venn para nos ajudar a agrupar os tipos de quadriláteros.

    Um diagrama de Venn usa círculos sobrepostos para mostrar relacionamentos entre grupos de objetos. Todos os "quadriláteros" podem ser separados em três subgrupos: quadriláteros gerais, paralelogramos e trapézios.

    Um retângulo é sempre um losango? Não, porque os quatro lados de um retângulo não precisam ser iguais. No entanto, os conjuntos de retângulos e losangos se cruzam, e sua intersecção é o conjunto de quadrados & # 151 todos os quadrados são um retângulo e um losango.

    Podemos colocar quadrados na intersecção dos dois círculos.

    Neste diagrama, você pode ver que um quadrado é um quadrilátero, um paralelogramo, um retângulo e um losango!

    Um trapézio é um paralelogramo? Não, porque um trapézio tem apenas um par de lados paralelos. É por isso que devemos mostrar o conjunto de trapézios em um círculo separado no diagrama de Venn.

    E quanto a pipas? Os papagaios são quadriláteros que posso ser paralelogramos. Se seus dois pares de lados forem iguais, torna-se um losango e, se seus ângulos forem iguais, torna-se um quadrado.


    Lista de planilhas quadrilaterais

    Familiarize as crianças com os diferentes tipos de quadriláteros e suas propriedades, empregando os gráficos visualmente atraentes. Analise a árvore genealógica e compreenda também as semelhanças e diferenças entre os quadriláteros.

    As planilhas de identificação dos quadriláteros apresentam PDFs amplos para reconhecer e nomear os quadriláteros, classificá-los como 'quadrilátero' ou 'não um quadrilátero', desenhar e classificar quadriláteros e resolver 'Quem sou eu?' enigmas para mencionar apenas alguns.

    Este pacote de planilhas quadradas oferece habilidades para iniciantes para identificar e colorir quadrados, seguido pelo cálculo do perímetro e da área dos quadrados. Aprenda a determinar os comprimentos laterais a partir de medidas diagonais e vice-versa e muito mais.

    A matriz de planilhas retangulares contém exercícios variados sobre como reconhecer retângulos, calcular a área e perímetro de retângulos, encontrar a área de caminhos retangulares e formas retilíneas, descobrir os ângulos indicados e muito mais.

    Aumente suas habilidades com esta compilação de planilhas de paralelogramos. Identifique os paralelogramos com e sem as medidas laterais indicadas e partes congruentes, encontre os comprimentos laterais e diagonais, calcule a área e o perímetro, encontre os ângulos e muito mais!

    Este sortimento é composto por planilhas de classificação dos trapézios em escalenos, isósceles ou direitos com base em suas partes congruentes. Aprenda a calcular o comprimento do segmento médio, computar a área e o perímetro dos trapézios e muito mais.

    As planilhas de losango imprimíveis consistem em gráficos para identificar losangos com base em lados, diagonais e ângulos, e uma infinidade de PDFs para praticar a localização dos comprimentos laterais e medidas diagonais resolvendo equações lineares para encontrar 'x', determinar a área e perímetro e encontrar o ângulo mede também.

    Esta coleção compacta de planilhas de pipas inclui gráficos e habilidades para identificar pipas usando as medidas indicadas e partes congruentes, encontrando o comprimento lateral, área, perímetro, ângulos e muito mais.

    Calcule o perímetro de vários quadriláteros especiais como quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos, pipas e trapézios com esta matriz de planilhas com dimensões apresentadas como inteiros e decimais, compreenda a propriedade congruente e resolva expressões algébricas para encontrar o comprimento lateral.

    Obtenha uma enorme coleção de planilhas sobre a área dos quadriláteros para impulsionar sua prática em encontrar a área dos quadriláteros com dimensões expressas como números inteiros e frações, encontre os parâmetros que faltam dos quadriláteros e muito mais.

    Aprenda a aplicação das propriedades dos ângulos dos quadriláteros, descubra as medidas dos ângulos indicados e resolva para 'x' para determinar os ângulos dos quadriláteros especiais, para citar apenas alguns.


    Tipos de aprendizagem de triângulos e quadriláteros:

      Tipos de triângulo:
      Existem vários tipos diferentes de triângulos. Isso é triângulo escaleno, triângulo isósceles, triângulo equilateral, triângulo obtuso, triângulo agudo, triângulos retos.

    1. Triângulo escaleno: os lados do triângulo são diferentes.
    2. Triângulo isósceles: Um triângulo com dois lados iguais.
    3. Triângulo Equilátero: Equilateral (G) todos os lados são iguais e cada ângulo = 60 °, tornando este o único triângulo equiangular. Uma vez que todos os 3 ângulos são menores que 90 °, todos os triângulos equiláteros são triângulos agudos.
    4. Triângulo de ângulo reto: O triângulo retângulo é um triângulo com um de seus ângulos exatamente igual a 90 °.
    5. Triângulo de ângulo obtuso: Triângulo de ângulo obtuso é um triângulo com um de seus ângulos maior que (& gt) 90 °.
    6. Triângulo de ângulo agudo: Triângulo de ângulo agudo é um triângulo com todos os três ângulos menores que (& lt) 90 °.
    1. Quadrado: Todos os lados são iguais.
    2. Retângulo: Lados opostos iguais.
    3. Paralelogramo: Lados opostos paralelos.
    4. Trapézio: Dois lados paralelos.
    5. Losango: Lados opostos paralelos e iguais.
    6. Pipa: Pares adjacentes de lados iguais.

    Estou planejando escrever mais postagens sobre Propriedades de Triângulos Similares, por exemplo,


    Resumo da lição

    Nesta lição, você aprendeu que um quadrilátero é uma figura plana feita com quatro segmentos de linha fechando em um espaço. Tipos específicos de quadriláteros, como retângulo, trapézio e quadrado, têm definições mais restritivas.

    • Quadriláteros podem ser simples ou complexos
    • Quadriláteros simples podem ser convexos ou côncavos
    • Quadriláteros podem ser simétricos ou assimétricos
    • Os ângulos internos de todos os quadriláteros simples (convexos ou côncavos) somam 360 e graus
    • Os ângulos internos de todos os quadriláteros complexos somam 720 & graus

    Link rápido para todas as planilhas de área e perímetro

    Clique na imagem a ser direcionada para as planilhas de área e perímetro.

    Fórmula de área e perímetroPlanilhas Página 1

    Fórmula de área e perímetroPlanilhas Página 2

    Área e perímetro dePlanilhas de triângulos

    Área e perímetro dePlanilhas quadrilaterais

    Área e perímetro dePlanilhas regulares de polígonos

    Uso de área e perímetroPlanilhas de todos os polígonos

    Área de formas compostasAdicionando planilhas de regiões

    Área de formas compostasSubtraindo planilhas de regiões

    Área de formas compostasAdicionando e subtraindo regiões


    Solução

    Se pudermos mostrar que a soma dos quatro ângulos em um quadrilátero é 360 $ ^ circ $, segue-se que $ m ( angle D) = m ( angle H) $:

    Para ver por que a soma dos ângulos em um quadrilátero são sempre 360 ​​$ ^ circ $, desenhamos em uma das diagonais do quadrilátero:

    A soma dos ângulos no triângulo $ PQR $ é $ 180 $ graus e a soma dos ângulos no triângulo $ PRS $ é $ 180 $ graus:

    Temos $ m ( ângulo RPQ) + m ( ângulo RPS) = m ( ângulo P) $ e $ m ( ângulo PRQ) + m ( ângulo PRS) = m ( ângulo R) $ então adicionando o acima de duas equações dá $ m ( ângulo P) + m ( ângulo Q) + m ( ângulo R) + m ( ângulo S) = 180 + 180 = 360. $

    Todos os trapézios regulares não são semelhantes. Talvez o caso mais simples de ver isso seja o caso especial dos retângulos. Todos os retângulos compartilham quatro ângulos retos congruentes, mas nem todos são semelhantes. Por exemplo, se $ ABCD $ é um retângulo de 1 por 2 e $ EFGH $ é um retângulo de 1 por 4, eles não são semelhantes, pois não há fator de escala comum para os diferentes lados dos retângulos. O problema aqui é que dimensionamos os retângulos em apenas uma direção, enquanto uma dilatação do plano escala em todas as direções.

    Esta ideia pode ser aplicada a trapézios regulares que não são retângulos, a ideia é que podemos alongar simultaneamente os dois lados paralelos dos trapézios sem alterar os ângulos. Portanto, podemos considerar $ ABCD $ e $ EFGH $ como trapézios regulares com um par de ângulos de 45 graus e um par de ângulos de 135 graus. Os comprimentos laterais de $ ABCD $ podem ser 1, 2, 2 e 3 (com os lados paralelos tendo comprimentos 1 e 3). Para $ EFGH $, podemos alongar os dois lados paralelos de modo que seus comprimentos laterais possam ser 4, 2, 2 e 6. Embora compartilhem quatro ângulos congruentes, esses trapézios não são semelhantes, pois não há fator de escala que terá comprimentos laterais de $ ABCD $ aos comprimentos laterais (correspondentes) de $ EFGH $.

    Nesse caso, $ ABCD $ e $ EFGH $ são semelhantes. As diagonais $ overline$ e $ overline$ bisectar ângulos congruentes $ A $, $ C $, $ E $ e $ G $ (aqui usamos o fato de que ângulos opostos em um losango são congruentes). Os triângulos $ ABC $ e $ EFG $ compartilham três ângulos congruentes e são, portanto, semelhantes. Portanto, há uma sequência de dilatações, translações, rotações e reflexões que mapeia $ triângulo ABC $ a $ triângulo EFG $. Esta sequência de movimentos rígidos também mapeará $ D $ a $ H $ porque $ triangle ADC $ é o único triângulo distinto de $ triângulo ABC $, congruente a $ triângulo ABC $, compartilhando o lado $ overline$: após a sequência de dilatações, translações, rotações e reflexões, $ triangle ADC $ mapeia para o triângulo único distinto de, mas congruente a $ triangle EFG $ que compartilha o lado $ EG $, a saber $ triangle EHG $.


    Assista o vídeo: Oblicz wszystkie wysokości w trójkącie na rysunku poniżej z dokładnością do 0,1 cm (Novembro 2021).