Artigos

Seção 1.2E: Exercícios - Matemática


A prática leva à perfeição

Identificar múltiplos e fatores

Nos exercícios a seguir, use os testes de divisibilidade para determinar se cada número é divisível por 2, por 3, por 5, por 6 e por 10.

1. (84)

Responder

Divisível por 2, 3, 6

2. (96)

3. (896)

Responder

Divisível por 2

4. (942)

5. (22,335)

Responder

Divisível por 3, 5

6. (39,075)

Encontre Factorizações Prime e Mínimos Múltiplos Comuns

Nos exercícios a seguir, encontre a fatoração primária.

7. (86)

Responder

(2⋅43)

8. (78)

9. (455)

Responder

(5⋅7⋅13)

10. (400)

11. (432)

Responder

(2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅3)

12. (627)

Nos exercícios a seguir, encontre o mínimo múltiplo comum de cada par de números usando o método dos fatores primos.

13. (8,; 12)

Responder

(24)

14. (12,; 16)

15. (28,; 40)

Responder

(280)

16. (84, ;90)

17. (55, ;88)

Responder

(440)

18. (60, ;72)

Simplifique as expressões usando a ordem das operações

Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão.

19. (2^3−12÷(9−5))

Responder

(5)

20. (3^2−18÷(11−5))

21. (2+8(6+1))

Responder

(58)

22. (4+6(3+6))

23. (20÷4+6(5−1))

Responder

(29)

24. (33÷3+4(7−2))

25. (3(1+9⋅6)−4^2)

Responder

(149)

26. (5(2+8⋅4)−7^2)

27. (2[1+3(10−2)])

Responder

(50)

28. (5[2+4(3−2)])

29. (8+2[7−2(5−3)]−3^2)

Responder

(5)

30. (10+3[6−2(4−2)]−2^4)

Avalie uma expressão

Nos exercícios a seguir, avalie as seguintes expressões.

31. Quando (x = 2 ),

uma. (x ^ 6 )

b. (4 ^ x )

c. (2x ^ 2 + 3x − 7 )

Responder

uma. 64
b. 16
c. 7

32. Quando (x = 3 ),

uma. (x ^ 5 )

b. (5x )

c. (3x ^ 2−4x − 8 )

33. Quando (x = 4 ) e (y = 1 )

(x ^ 2 + 3xy − 7y ^ 2 )

Responder

(21)

34. Quando (x = 3 ) e (y = 2 )

(6x ^ 2 + 3xy − 9y ^ 2 )

35. Quando (x = 10 ) e (y = 7 )

((x − y) ^ 2 )

Responder

(9)

36. Quando (a = 3 ) e (b = 8 )

(a ^ 2 + b ^ 2 )

Simplifique as expressões combinando termos semelhantes

Nos exercícios a seguir, simplifique as seguintes expressões combinando termos semelhantes.

37. (7x + 2 + 3x + 4 )

Responder

(10x + 6 )

38. (8y + 5 + 2y − 4 )

39. (10a + 7 + 5a − 2 + 7a − 4 )

Responder

(22a + 1 )

40. (7c + 4 + 6c − 3 + 9c − 1 )

41. (3x ^ 2 + 12x + 11 + 14x ^ 2 + 8x + 5 )

Responder

(17x ^ 2 + 20x + 16 )

42. (5b ^ 2 + 9b + 10 + 2b ^ 2 + 3b − 4 )

Traduzir uma frase em inglês para uma expressão algébrica

Nos exercícios a seguir, traduza as frases em expressões algébricas.

43. a. a diferença de (5x ^ 2 ) e (6xy )

b. o quociente de (6y ^ 2 ) e (5x )

c. Vinte e um a mais que (y ^ 2 )

d. (6x ) menor que (81x ^ 2 )

Responder

uma. (5x ^ 2−6xy ) b. ( frac {6y ^ 2} {5x} )

c. (y ^ 2 + 21 ) d. (81x ^ 2−6x )

44. a diferença de (17x ^ 2 ) e (17x ^ 2 ) e (5xy )

b. o quociente de (8y ^ 3 ) e (3x )

c. Mais de dezoito do que (a ^ 2 );

d. (11b ) menor que (100b ^ 2 )

45. a soma de (4ab ^ 2 ) e (3a ^ 2b )

b. o produto de (4y ^ 2 ) e (5x )

c. Quinze a mais que (m )

d. (9x ) menor que (121x ^ 2 )

Responder

uma. (4ab ^ 2 + 3a ^ 2b ) b. (20xy ^ 2 )

c. (m + 15 ) d. (121x ^ 2−9x ) (9x <121x ^ 2 )

46. ​​a soma de (3x ^ 2y ) e (7xy ^ 2 )

b. o produto de (6xy ^ 2 ) e (4z )

c. Doze a mais de (3x ^ 2 )

d. (7x ^ 2 ) menor que (63x ^ 3 )

47. oito vezes a diferença de (y ) e nove

b. a diferença de oito vezes (y ) e (9 )

Responder

uma. (8 (y − 9) )
b. (8y-9 )

48. sete vezes a diferença de (y ) e um

b. a diferença de sete vezes (y ) e (1 )

49. cinco vezes a soma de (3x ) e (y )

b. a soma de cinco vezes (3x ) e (y )

Responder

uma. (5 (3x + y) )
b. (15x + y )

50. onze vezes a soma de (4x2 ) e (5x )

b. a soma de onze vezes (4x ^ 2 ) e (5x )

51. Eric tem músicas de rock e country em sua lista de reprodução. O número de canções de rock é 14 mais do que o dobro do número de canções de country. Deixar c representam o número de canções country. Escreva uma expressão para o número de canções de rock.

Responder

(14> 2c )

52. O número de mulheres em uma classe de Estatística é 8 mais do que o dobro do número de homens. Deixe (m ) representar o número de homens. Escreva uma expressão para o número de mulheres.

53. Greg tem moedas de um centavo no bolso. O número de centavos é sete a menos do que três o número de centavos. Deixar n representam o número de níqueis. Escreva uma expressão para o número de centavos.

Responder

(3n-7 )

54. Jeannette tem notas de ($ 5 ) e ($ 10 ) na carteira. O número de cincos é três a mais de seis vezes o número de dezenas. Deixe (t ) representar o número de dezenas. Escreva uma expressão para o número de cinco.

Exercícios de escrita

55. Explique em suas próprias palavras como encontrar a fatoração primo de um número composto.

Responder

As respostas vão variar.

56. Por que é importante usar a ordem das operações para simplificar uma expressão?

57. Explique como você identifica os termos semelhantes na expressão (8a ^ 2 + 4a + 9 − a ^ 2−1. )

Responder

As respostas vão variar.

58. Explique a diferença entre as frases "4 vezes a soma de x e y”E“ a soma de 4 vezes x e y”.

Auto-verificação

uma. Use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

b. Se a maioria de seus cheques fosse:

… Com confiança. Parabéns! Você atingiu os objetivos desta seção. Reflita sobre as habilidades de estudo que você usou para que possa continuar a usá-las. O que você fez para ter certeza de sua capacidade de fazer essas coisas? Seja específico.

… Com alguma ajuda. Isso deve ser abordado rapidamente porque os tópicos que você não domina tornam-se buracos no seu caminho para o sucesso. Em matemática, cada tópico baseia-se em trabalhos anteriores. É importante ter certeza de que você tem uma base sólida antes de prosseguir. A quem você pode pedir ajuda? Seus colegas e instrutor são bons recursos. Há algum lugar no campus onde professores de matemática estejam disponíveis? Suas habilidades de estudo podem ser melhoradas?

... não - eu não entendo! Este é um sinal de alerta e você não deve ignorá-lo. Você deve obter ajuda imediatamente ou ficará sobrecarregado rapidamente. Consulte seu instrutor assim que puder para discutir sua situação. Juntos, vocês podem traçar um plano para obter a ajuda de que você precisa.


TESTE: "O que há de errado com essa foto?"

As aulas serão essencialmente teóricas, com resolução de problemas individualmente e a pares. Espera-se que você faça anotações completas, participe das atividades de classe e faça perguntas sobre o que não entende. Presença é obrigatória.

Haverá exames de 2 horas, cada um valendo 100 pontos, e um exame final valendo 200 pontos. Além disso, haverá alguns questionários, incluindo questionários pop baseados em tarefas de casa, cada um valendo 30 pontos. Os exames e questionários perdidos contam como 0 pontos. Apenas em circunstâncias extremas (como doença com desculpa por escrito de um médico) as maquiagens serão permitidas ou a média de outras notas será permitida.

A participação nas aulas será avaliada de forma subjetiva. Contribuições positivas incluem perguntas e comentários sinceros. O comportamento perturbador que interfere na instrução contribuirá negativamente para a sua nota final. Por se tratar de um curso de formação de futuros professores em sala de aula, o desenvolvimento de uma postura profissional é importante. Atitude profissional inclui estar envolvido na aula e ser capaz de trabalhar com outras pessoas de forma positiva e construtiva.

Os alunos devem estar cientes de que as faltas e atrasos habituais não justificados resultarão na redução das notas. Duas ou mais faltas não justificadas irão diminuir sua nota em meia nota (por exemplo, de A- para B +, ou B + para B). Atrasos na chegada ou saída antecipada da aula sem permissão serão considerados atrasos injustificados. Quatro atrasos injustificados diminuirão sua nota em meia nota.

A lição de casa será atribuída diariamente em sala de aula, mas não coletada. No entanto, os questionários incluirão problemas de lição de casa exatamente atribuídos. É importante tentar todos os problemas atribuídos. Você deve planejar gastar pelo menos 2 horas de lição de casa para cada reunião de classe. Não se deixe atrasar pela classe! Como na maioria dos cursos de matemática, o material se constrói progressivamente sobre si mesmo. Se você não entender um determinado tópico, pergunte em sala de aula ou durante o expediente.

Calculadoras
: Calculadoras não serão usadas para esta aula e não serão permitidas para exames.

Um professor de ensino fundamental de sucesso deve estar confiante e confortável para resolver problemas mentalmente e no papel. Um dos objetivos deste curso é aumentar essas instalações.

Aulas particulares gratuitas para alunos de Matemática 210 estão disponíveis no Centro de Tutoria de Matemática em Live Oak 1327 (um novo local), durante os seguintes horários:

M, T, W, Th 10:00-5:30
sexta-feira 10:00-3:00
sábado 11:00-2:00

Datas de exames e questionários

Questionário 1: terça-feira, 9 de fevereiro, sobre o dever de casa das Seções 1.1 a 1.6
Questionário 2: quinta-feira, 25 de fevereiro, sobre o dever de casa das Seções 2.1 a 4.2

Exame 1: quinta-feira, 4 de março Cobertura: por meio da seção 4,2

Questionário 3: quinta-feira, 25 de março, sobre lição de casa das Seções 4.3 a 5.5 e "problemas extras de lição de casa"

Exame 2: quinta-feira, 29 de abril Cobertura: Seção 4.3 a 8.3 e 9.1.

Data do exame final: 8 de maio de 2010, das 11h30 às 13h30, Sierra Hall 342

Problemas práticos para o exame final

Clique aqui para problemas práticos para o exame final do Math 210 (arquivo pdf).
As soluções são postadas aqui por seção:


Algumas referências e ferramentas

Problemas de prática do aluno para as séries 1 a 8 (Álgebra I) Padrões de matemática da Califórnia

Slides indiretos de The Winning Equation Um programa em serviço para professores da 4ª à 7ª série

Comportamento do aluno, desonestidade acadêmica, políticas universitárias

Por favor, chegue a tempo e evite sair mais cedo. Sem mensagens de texto. Os telefones celulares devem ser desligados durante as aulas. Esteja ciente do Código de Conduta do Estudante da Universidade disponível em:

http://www.csun.edu/a&r/soc/studentconduct.html


Tarefas de lição de casa e soluções

Instruções gerais: Evite escrever desnecessariamente. Faça suas respostas curtas e claras. Quando apropriado, use o "formato de lista", descrito no problema 2c na página 13 do livro.

Leia atentamente o prefácio e as páginas iii a x de "Sobre o livro didático".

Leia a seção 1.1, e faça os Problemas 1-8
Leia a seção 1.2 e faça os Problemas 1-6
Leia a Seção 1.3 e faça os Problemas 2, 3, 5, 7, 8

Para obter mais ajuda com algarismos romanos, use esta calculadora de algarismos romanos
Para obter ajuda com numerais Egyption, clique aqui: http://www.discoveringegypt.com/numbers.htm
Para obter ajuda com o Problema 6 na seção 1.2, consulte esta Introdução à Base 5, que inclui a solução.


Soluções para problemas de dever de casa:

Leia a Seção 1.4 e faça os Problemas 2a, 3, 4, 5, 7
Leia a Seção 1.5 e faça os Problemas 1a, 2cd, 3a, 4, 6, 7a, 8, 9
Leia a Seção 1.6 e faça os Problemas 1, 3abc, 4, 5, 6
Leia a Seção 1.7 cuidadosamente

Soluções para problemas de dever de casa:

Leia a Seção 2.1 e faça os Problemas 1-5
Leia a Seção 2.2 e faça os Problemas 1, 2, 4
Leia a Seção 2.3 e faça os Problemas 2b, 4, 5

Soluções para problemas de dever de casa:

Leia as páginas 57 a 62, Seção 3.1 e faça os Problemas 2, 4ab, 5
Leia a Seção 3.2 e faça os Problemas 1, 2, 3, 5a, 7
Leia a Seção 3.3 e faça os Problemas 5, 6
Leia a Seção 3.4 e faça os Problemas 4-7
Leia a Seção 3.5 e faça os Problemas 3-6

Soluções para problemas de dever de casa:


Leia a Seção 3.6 e faça os Problemas 1d, 2ad, 3, 4
Leia a Seção 4.1 e faça os Problemas 5, 6, 7, 8, 9c, 10
Leia a Seção 4.2 e faça os Problemas 7ab, 8, 9, 11


Soluções para problemas de lição de casa:

Leia a Seção 4.3 e faça os Problemas 1, 2, 3, 4abc, 5ab, 6, 7, 8ab, 10
Leia a Seção 5.1 e resolva os Problemas 4 - 7
Leia a Seção 5.2 e faça os Problemas 1, 3, 4
Leia a Seção 5.3 e faça os Problemas 1ab, 2, 3, 4, 5

Soluções para problemas de lição de casa:

Leia a Seção 5.4 e faça os Problemas 1, 3, 4, 5
Leia a Seção 5.5 e faça os Problemas 1, 3, 4, 5ab, 6, 7, 9, 10
Faça estes problemas extras de lição de casa para o capítulo 5

Semanas 10 e 11 (termine esses problemas durante as férias de primavera)

Leia a Seção 6.1 e faça os Problemas 2c, 3, 4a, 5, 6abcf, 7
Leia a Seção 6.2 e faça os Problemas 1, 3ab, 4, 7, 8
Leia a Seção 6.3 e faça os Problemas 1, 2, 4, 5, 6, 10, 11
Leia a Seção 6.4 e faça os Problemas 1, 3, 4, 5, 6abc
Leia a Seção 6.5 e faça os Problemas 4, 5, 7
Leia a Seção 6.6 e faça os Problemas 2, 6abcdegi

Antes de procurar soluções, tente resolver os problemas sozinho. Isso é importante! Você aprenderá mais dessa forma.

Leia a Seção 7.1 e faça os Problemas 1-5
Leia a Seção 9.1 (página 202) e faça os Problemas 1abc, 2ghi, 4ab, 6a, 10, 11ab
Leia a Seção 7.2 e faça os Problemas 7, 8
Leia a Seção 7.3 e faça os Problemas 1-6


Leia a Seção 7.3 e faça os Problemas 1-6
Leia as páginas 74-80 do Math 6A. Em seguida, execute o Problema 7 na página 81 e o Problema 2 na página 82
Leia a Seção 7.4 e faça os Problemas 4, 5, 6, 7, 8
Leia a Seção 8.1 e faça os Problemas 1a (apenas i), b (apenas i), 3, 4, 5bd, 6
Leia a Seção 8.2 e faça o Problema 4
Leia a Seção 8.3, Problemas 8, 9, 10, 11


Releia a Seção 9.1
Leia a Seção 9.2, Problemas 1, 2, 3, 4abefh, 5, 7
Leia a Seção 9.3, Problemas 1, 2, 4, 5, 7


Seção 1.2E: Exercícios - Matemática

Na seção anterior, vimos alguns problemas e em ambos tínhamos uma função (inclinação no caso do problema tangente e taxa média de mudança no problema da taxa de mudança) e queríamos saber como essa função estava se comportando em alguns ponto (x = a ). Nesta fase do jogo, não nos importamos mais de onde vieram as funções e não nos importamos mais se vamos vê-los na estrada novamente ou não. Tudo o que precisamos saber ou nos preocupar é que temos essas funções e queremos saber algo sobre elas.

Para responder às perguntas da última seção, escolhemos valores de (x ) que se aproximam cada vez mais de (x = a ) e os inserimos na função. Também nos certificamos de observar os valores de (x ) que estavam à esquerda e à direita de (x = a ). Depois de fazer isso, olhamos para nossa tabela de valores de função e vimos o que os valores da função estavam se aproximando conforme (x ) ficava cada vez mais perto de (x = a ) e usamos isso para adivinhar o valor que procurávamos.

Este processo é chamado tomando um limite e temos alguma notação para isso. A notação limite para os dois problemas da última seção é,

Nesta notação, notaremos que sempre fornecemos a função com a qual estamos trabalhando e também fornecemos o valor de (x ) (ou (t )) para a qual estamos nos movendo.

Nesta seção, faremos uma abordagem intuitiva dos limites e tentaremos sentir o que eles são e o que podem nos dizer sobre uma função. Com esse objetivo em mente, ainda não entraremos em como realmente calculamos os limites. Em vez disso, confiaremos no que fizemos na seção anterior, bem como em outra abordagem para adivinhar o valor dos limites.

As duas abordagens que usaremos nesta seção foram projetadas para nos ajudar a entender o que são limites. Em geral, normalmente não usamos os métodos desta seção para calcular limites e, em muitos casos, pode ser muito difícil usar até mesmo estimar o valor de um limite e / ou fornecerá o valor errado na ocasião. Veremos os limites do cálculo real em algumas seções.

Vamos primeiro começar com a seguinte “definição” de limite.

Definição

Dizemos que o limite de (f (x) ) é (L ) quando (x ) se aproxima de (a ) e escrevemos isso como

[ mathop < lim> limits_ f left (x right) = L ]

desde que possamos fazer (f (x) ) tão próximo de (L ) quanto quisermos para todos (x ) suficientemente perto de (a ), de ambos os lados, sem realmente deixar (x ) ser (a ).

Esta não é a definição exata e precisa de um limite. Se você gostaria de ver a definição mais precisa e matemática de um limite, você deveria verificar a seção A Definição de um Limite no final deste capítulo. A definição dada acima é mais uma definição “funcional”. Essa definição nos ajuda a ter uma ideia do que são os limites e o que eles podem nos dizer sobre as funções.

Então, o que essa definição significa? Bem, vamos supor que saibamos que o limite existe de fato. De acordo com a nossa definição de "trabalho", podemos decidir o quão perto de (L ) que gostaríamos de fazer (f (x) ). Para fins de argumentação, vamos supor que queremos fazer (f (x) ) não mais do que 0,001 de distância de (L ). Isso significa que queremos um dos seguintes

Agora, de acordo com a definição “funcional”, isso significa que se chegarmos (x ) suficientemente perto de (a ), podemos tornar uma das opções acima verdadeira. No entanto, na verdade, diz um pouco mais. Diz que em algum lugar do mundo existe um valor de (x ), digamos (X ), de modo que para todos os (x ) 's que estão mais próximos de (a ) do que de (X ) então uma das afirmações acima será verdadeira.

Esta é uma ideia bastante importante. Existem muitas funções no mundo que podemos tornar o mais próximo de (L ) para valores específicos de (x ) que estão próximos de (a ), mas haverá outros valores de (x ) mais perto de (a ) que fornecem valores de funções que não estão nem perto de (L ). Para que um limite exista uma vez que obtivermos (f (x) ) tão próximo de (L ) quanto quisermos para algum (x ), ele precisará permanecer próximo a (L ) (ou chegue mais perto) para todos os valores de (x ) que estão mais perto de (a ). Veremos um exemplo disso posteriormente nesta seção.

Em termos um pouco mais simples, a definição diz que conforme (x ) fica cada vez mais perto de (x = a ) (de ambos os lados, é claro ...) então (f (x) ) devo estar ficando cada vez mais perto de (L ). Ou, conforme avançamos em direção a (x = a ), então (f (x) ) devo estar se movendo em direção a (L ).

É importante notar mais uma vez que devemos olhar para os valores de (x ) que estão em ambos os lados de (x = a ). Devemos também notar que não temos permissão para usar (x = a ) na definição. Frequentemente usaremos as informações que os limites nos fornecem para obter algumas informações sobre o que está acontecendo bem em (x = a ), mas o limite em si não está preocupado com o que realmente está acontecendo em (x = a ) . O limite está preocupado apenas com o que está acontecendo ao redor do ponto (x = a ). Este é um conceito importante sobre limites que devemos ter em mente.

Uma notação alternativa que ocasionalmente usaremos para denotar limites é

Como usamos essa definição para nos ajudar a estimar os limites? Fazemos exatamente o que fizemos na seção anterior. Pegamos (x ) ’s em ambos os lados de (x = a ) que se movem cada vez mais perto de (a ) e os conectamos em nossa função. Em seguida, verificamos se podemos determinar para qual número os valores da função estão se movendo e usamos isso como nossa estimativa.

Observe que dissemos estimar o valor do limite. Novamente, não vamos calcular os limites diretamente nesta seção. O objetivo desta seção é nos dar uma ideia melhor de como os limites funcionam e o que eles podem nos dizer sobre a função.

Então, com isso em mente, vamos trabalhar da mesma forma que fizemos na última seção. Escolheremos valores de (x ) que se aproximam cada vez mais de (x = 2 ) e conectaremos esses valores à função. Isso fornece a seguinte tabela de valores.

(x ) (f (x) ) (x ) (f (x) )
2.5 3.4 1.5 5.0
2.1 3.857142857 1.9 4.157894737
2.01 3.985074627 1.99 4.015075377
2.001 3.998500750 1.999 4.001500750
2.0001 3.999850007 1.9999 4.000150008
2.00001 3.999985000 1.99999 4.000015000

Observe que nos certificamos e escolhemos os valores de (x ) que estavam em ambos os lados de (x = 2 ) e que nos movemos muito perto de (x = 2 ) para ter certeza de que quaisquer tendências que nós pode estar vendo estão de fato corretas.

Observe também que não podemos realmente inserir (x = 2 ) na função, pois isso nos daria uma divisão por erro zero. Isso não é um problema, pois o limite não se importa com o que está acontecendo no ponto em questão.

Desta tabela, parece que a função vai para 4 à medida que (x ) se aproxima de 2, então

Vamos pensar um pouco mais sobre o que está acontecendo aqui. Vamos representar graficamente a função do último exemplo. O gráfico da função no intervalo de (x ) 's que estavam interessados ​​é mostrado abaixo.

Primeiro, observe que há um ponto aberto bastante grande em (x = 2 ). Isso existe para nos lembrar que a função (e, portanto, o gráfico) não existe em (x = 2 ).

Como estávamos inserindo valores de (x ) na função, estamos na verdade movendo ao longo do gráfico em direção ao ponto como (x = 2 ). Isso é mostrado no gráfico pelas duas setas no gráfico que se movem em direção ao ponto.

Quando estamos calculando os limites, a questão que realmente fazemos é qual valor (y ) nosso gráfico se aproxima à medida que avançamos em direção a (x = a ) em nosso gráfico. Nós somos NÃO perguntando qual valor (y ) o gráfico assume no ponto em questão. Em outras palavras, estamos perguntando o que o gráfico está fazendo em volta o ponto (x = a ). Em nosso caso, podemos ver que conforme (x ) se move em direção a 2 (de ambos os lados), a função está se aproximando de (y = 4 ), embora a própria função nem exista em (x = 2 ) Portanto, podemos dizer que o limite é de fato 4.

Então, o que aprendemos sobre limites? Limites estão perguntando o que a função está fazendo em volta (x = a ) e são não preocupado com o que a função está realmente fazendo em (x = a ). Isso é bom, pois muitas das funções que veremos nem mesmo existirão em (x = a ) como vimos em nosso último exemplo.

Vamos trabalhar outro exemplo para esclarecer esse ponto.

A primeira coisa a notar aqui é que esta é exatamente a mesma função do primeiro exemplo, com a exceção de que agora demos a ela um valor para (x = 2 ). Então, vamos primeiro notar que

No que diz respeito à estimativa do valor desse limite, nada mudou em comparação ao primeiro exemplo. Podemos construir uma tabela de valores como fizemos no primeiro exemplo ou podemos dar uma olhada rápida no gráfico da função. Qualquer um dos métodos nos dará o valor do limite.

Vamos primeiro dar uma olhada em uma tabela de valores e ver o que isso nos diz. Observe que a presença do valor para a função em (x = 2 ) não mudará nossas escolhas para (x ). Nós apenas escolhemos valores de (x ) que estão se aproximando de (x = 2 ), mas nunca escolhemos (x = 2 ). Em outras palavras, a tabela de valores que usamos no primeiro exemplo será exatamente a mesma que usaremos aqui. Então, como já baixamos uma vez, não há razão para refazer aqui.

A partir desta tabela, fica claro que o limite é,

[ mathop < lim> limits_ g left (x right) = 4 ]

O limite é NÃO 6! Lembre-se da discussão após o primeiro exemplo de que os limites não se importam com o que a função está realmente fazendo no ponto em questão. Limites estão preocupados apenas com o que está acontecendo em volta o ponto. Visto que a única coisa sobre a função que realmente mudamos foi seu comportamento em (x = 2 ), isso não mudará o limite.

Vamos também dar uma olhada rápida no gráfico desta função para ver se diz a mesma coisa.

Novamente, podemos ver que conforme avançamos em direção a (x = 2 ) em nosso gráfico, a função ainda está se aproximando de um valor (y ) de 4. Lembre-se de que estamos apenas perguntando o que a função está fazendo em volta (x = 2 ) e não nos importamos com o que a função está realmente fazendo em (x = 2 ). O gráfico, então, também apóia a conclusão de que o limite é,

[ mathop < lim> limits_ g left (x right) = 4 ]

Vamos enfatizar mais uma vez apenas para ter certeza de que entendemos. Limites são não preocupado com o que está acontecendo em (x = a ). Limites estão preocupados apenas com o que está acontecendo em volta (x = a ). Continuamos dizendo isso, mas é um conceito muito importante sobre limites que devemos sempre ter em mente. Portanto, aproveitaremos todas as oportunidades para nos lembrar dessa ideia.

Uma vez que os limites não estão preocupados com o que está realmente acontecendo em (x = a ), iremos, na ocasião, ver situações como o exemplo anterior, onde o limite em um ponto e o valor da função em um ponto são diferentes. Isso nem sempre vai acontecer, é claro. Há momentos em que o valor da função e o limite em um ponto são os mesmos e eventualmente veremos alguns exemplos deles. É importante, entretanto, não se entusiasmar com as coisas quando a função e o limite não assumem o mesmo valor em um ponto. Isso acontece às vezes, então precisaremos ser capazes de lidar com esses casos quando eles surgirem.

Vamos dar uma olhada em outro exemplo para tentar colocar essa ideia no chão.

Primeiro, não fique animado com a função ( theta ). É apenas uma letra, assim como (x ) é uma letra! É uma letra grega, mas é uma carta e você será solicitado a lidar com letras gregas de vez em quando, então é uma boa ideia começar a se acostumar com elas agora.

Agora, observe também que se inserirmos ( theta = 0 ), obteremos a divisão por zero e, portanto, a função não existe neste ponto. Na verdade, obtemos 0/0 neste ponto, mas por causa da divisão por zero, essa função não existe em ( theta = 0 ).

Então, como fizemos no primeiro exemplo, vamos pegar uma tabela de valores e ver se podemos adivinhar para qual valor a função está se dirigindo.

( theta ) (f left ( theta right) ) ( theta ) (f left ( theta right) )
1 0.45969769 -1 -0.45969769
0.1 0.04995835 -0.1 -0.04995835
0.01 0.00499996 -0.01 -0.00499996
0.001 0.00049999 -0.001 -0.00049999

Ok, parece que a função está se movendo em direção a um valor de zero conforme ( theta ) se move em direção a 0, de ambos os lados, é claro.

Portanto, vamos adivinhar que o limite tem o valor,

Então, mais uma vez, o limite tinha um valor, embora a função não existisse no ponto em que estávamos interessados.

Agora é hora de trabalhar mais alguns exemplos que nos levarão à próxima ideia sobre os limites que iremos discutir.

Vamos construir uma tabela de valores e ver o que está acontecendo com nossa função neste caso.

(t ) (f (t) ) (t ) (f (t) )
1 -1 -1 -1
0.1 1 -0.1 1
0.01 1 -0.01 1
0.001 1 -0.001 1

Agora, se tivéssemos que adivinhar o limite desta tabela, adivinharíamos que o limite é 1. No entanto, se fizéssemos essa estimativa, estaríamos errados. Considere qualquer uma das avaliações de função a seguir.

Em todas essas três avaliações de função, avaliamos a função em um número menor que 0,001 e obtivemos três números totalmente diferentes. Lembre-se de que a definição do limite com o qual estamos trabalhando requer que a função se aproxime de um único valor (nossa suposição) conforme (t ) se aproxima cada vez mais do ponto em questão. Não quer dizer que apenas alguns dos valores da função devem estar se aproximando da estimativa. Diz que todos os valores da função devem estar cada vez mais próximos de nossa suposição.

Para ver o que está acontecendo aqui, um gráfico da função seria conveniente.

A partir deste gráfico, podemos ver que, à medida que avançamos em direção a (t = 0 ), a função começa a oscilar descontroladamente e, de fato, as oscilações aumentam de velocidade quanto mais perto de (t = 0 ) chegamos. Lembre-se de nossa definição de limite que, para que exista um limite, a função deve se estabelecer em direção a um único valor à medida que nos aproximamos do ponto em questão.

Esta função claramente não se estabelece em um único número e, portanto, este limite não existe!

Este último exemplo aponta a desvantagem de apenas escolher valores da variável e usar uma tabela de valores de função para estimar o valor de um limite. Os valores da variável que escolhemos no exemplo anterior eram válidos e, na verdade, eram provavelmente valores que muitos teriam escolhido. Na verdade, eles eram exatamente os mesmos valores que usamos no problema anterior e funcionaram nesse problema!

Ao usar uma tabela de valores, sempre haverá a possibilidade de não estarmos escolhendo os valores corretos e de adivinharmos incorretamente para nosso limite. Isso é algo que devemos sempre ter em mente ao fazer isso para adivinhar o valor dos limites. Na verdade, esse é um problema tão grande que, após esta seção, nunca mais usaremos uma tabela de valores para adivinhar o valor de um limite.

Este último exemplo também nos mostrou que os limites não precisam existir. Até esse ponto, vimos apenas os limites que existiam, mas nem sempre é esse o caso.

Vamos dar uma olhada em mais um exemplo nesta seção.

Esta função é freqüentemente chamada de Heaviside ou Passo função. Poderíamos usar uma tabela de valores para estimar o limite, mas provavelmente é tão rápido neste caso usar o gráfico, então vamos fazer isso. Abaixo está o gráfico desta função.

Podemos ver no gráfico que se abordarmos (t = 0 ) do lado direito, a função está se movendo em direção a um valor (y ) de 1. Bem, na verdade, está apenas ficando em 1, mas na terminologia que que temos usado nesta seção, ele está se movendo para 1 ...

Além disso, se movermos em direção a (t = 0 ) da esquerda, a função está se movendo em direção a um valor de (y ) de 0.

De acordo com nossa definição de limite, a função precisa se mover em direção a um único valor conforme avançamos em direção a (t = a ) (de ambos os lados). Isso não está acontecendo neste caso e, portanto, neste exemplo, também diremos que o limite não existe.

Observe que o limite neste exemplo é um pouco diferente do exemplo anterior. No exemplo anterior, a função não se estabeleceu em um único número conforme avançamos em direção a (t = 0 ). Neste exemplo, entretanto, a função se estabelece em um único número como (t = 0 ) em ambos os lados. O problema é que o número é diferente em cada lado de (t = 0 ). Esta é uma ideia que examinaremos com mais detalhes na próxima seção.

Vamos resumir o que (espero) aprendemos nesta seção. Nos três primeiros exemplos, vimos que os limites não se importam com o que a função está realmente fazendo no ponto em questão. Eles só estão preocupados com o que está acontecendo em torno do ponto. Na verdade, podemos ter limites em (x = a ) mesmo se a função em si não existir nesse ponto. Da mesma forma, mesmo se uma função existir em um ponto, não há razão (neste ponto) para pensar que o limite terá o mesmo valor que a função naquele ponto. Às vezes, o limite e a função terão o mesmo valor em um ponto e outras vezes não terão o mesmo valor.

A seguir, no terceiro e quarto exemplos, vimos a principal razão para não usar uma tabela de valores para adivinhar o valor de um limite. Nesses exemplos, usamos exatamente o mesmo conjunto de valores, porém eles funcionaram apenas em um dos exemplos. Usar tabelas de valores para adivinhar o valor dos limites simplesmente não é uma boa maneira de obter o valor de um limite. Esta é a única seção em que faremos isso. As tabelas de valores devem ser sempre sua última escolha para encontrar os valores dos limites.

Os dois últimos exemplos nos mostraram que nem todos os limites existem de fato. Não devemos ficar presos à ideia de que os limites sempre existirão. Na maioria dos cursos de cálculo, trabalhamos com limites que quase sempre existem e por isso é fácil começar a pensar que limites sempre existem. Limites nem sempre existem e, portanto, não adquira o hábito de presumir que existam.

Finalmente, vimos no quarto exemplo que a única maneira de lidar com o limite era representar graficamente a função. Às vezes, essa é a única maneira, no entanto, este exemplo também ilustrou a desvantagem de usar gráficos. Para usar um gráfico para adivinhar o valor do limite, você precisa ser capaz de realmente esboçar o gráfico. Para muitas funções, isso não é fácil de fazer.

Existe outra desvantagem em usar gráficos. Mesmo se você tiver o gráfico, ele só será útil se o valor (y ) estiver se aproximando de um número inteiro. Se o valor (y ) estiver se aproximando, digamos ( frac << - 15 >> <<123>> ) não há como você ser capaz de adivinhar esse valor a partir do gráfico e nós estamos geralmente vai querer valores exatos para nossos limites.

Portanto, embora os gráficos de funções possam, ocasionalmente, tornar sua vida mais fácil ao adivinhar os valores dos limites, eles provavelmente não são a melhor maneira de obter os valores dos limites. Eles só serão úteis se você puder colocar as mãos neles e o valor do limite for um número “bom”.

A questão natural então é por que falamos sobre o uso de tabelas e / ou gráficos para estimar os limites se eles não são a melhor maneira. Houve alguns motivos.

Primeiro, eles podem nos ajudar a entender melhor o que são os limites e o que eles podem nos dizer. Se não fizermos pelo menos alguns limites desta forma, podemos não ter uma boa ideia sobre o que são os limites.

A segunda razão para fazer limites desta forma é apontar sua desvantagem para que não sejamos tentados a usá-los o tempo todo!

Acabaremos por falar sobre como realmente fazemos os limites. No entanto, há mais um tópico que precisamos discutir antes de fazer isso. Como esta seção já se estende por um tempo, falaremos sobre isso na próxima seção.


Exercícios de geometria

Instruções:Experimente os problemas de prática de geometria abaixo. As respostas são fornecidas na próxima seção. Você pode querer revisar as fórmulas e explicações na segunda parte desta página antes de fazer os exercícios.

1. Encontre as coordenadas (x, y) do ponto médio do segmento de reta em um gráfico que conecta os pontos (−4, 8) e (2, −6).

2. Encontre os pontos médios de uma linha que passa pelos pontos (1, 3) e (4, 5).

3. Quais são as interceptações xey de 9x 2 + 4y 2 = 36?

4. Qual é a equação de uma reta com inclinação 5 que passa pelo ponto (x, y) e tem interceptação y de 3?

5. Se um círculo tem raio de 4, qual é a circunferência do círculo?

6. Os ângulos que têm a mesma medida em graus são que tipo de ângulos?

7. O que é um triângulo isósceles?

8. O que é um triângulo equilátero?

9. O que é um paralelogramo?

10. Dois ângulos somam 180 graus e formam uma linha reta. Que tipo de ângulos são eles?

Respostas para os problemas de prática de geometria

7. It has two equal sides and two equal angles.

8. All 3 sides are the same length and all 3 angles are equal.

9. It is a four-sided figure that has opposite sides that are parallel and equal in length.

Explanations for the Geometry Practice Problems

1. We need to find the midpoint of (−4, 8) and (2, −6). Use the midpoint formula to solve.

2. Here we need the midpoint of (1, 3) and (4, 5).

3. We need to find the x and y intercepts of 9x 2 + 4y 2 = 36.

Substitute 0 for x to find the y intercept:

Substitute 0 for y to find the x intercept:

4. We have a line with a slope of 5 that passes through point (x,y) and has a y-intercept of 3.

Put the values in the equation of a line to solve.

5. The circle has a radius of of 4 and we need the circumference.

Use the circumference formula:

6. Angles that have the same measurement in degrees are called congruent angles.

7. An isosceles triangle has two equal sides and therefore two equal angles.

8. An equilateral triangle has three equal sides and three equal angles.

9. A parallelogram is a four-sided figure in which opposite sides are parallel and equal in length. Opposite angles will also be equal.

10. When two angles add up to 180 degrees and form a straight line, they are supplementary angles.

Geometry on the ACT

Geometry exercises and practice problems for the ACT usually include various geometrical concepts on both coordinate geometry and plane geometry.

Midpoints:

The midpoints of two points on a two-dimensional graph are calculated by using this formula:

Slope:

Here is the slope formula: y = mx + b

Remember that m is the slope, b is the y intercept (the point at which the line crosses the y axis), and x and y are points on the graph.

X and y intercepts:

Questions about x and y intercepts are asking you to find the point at which a line crosses the x or y axes of a two-dimensional graph.

Substitute 0 for x to find the y intercept.

Then substitute 0 for y to find the x intercept.

Area of a circle:
Area of a square or rectangle:
Circumference of a circle:
Rules for Angle Measurement

The sum of all three angles in any triangle must be equal to 180 degrees.

An isosceles triangle has two equal sides and two equal angles.

An equilateral triangle has three equal sides and three equal angles.

Angles that have the same measurement in degrees are called congruent angles.

Equilateral triangles are sometimes called congruent triangles.

Two angles are supplementary if they add up to 180 degrees. This means that when the two are placed together, they will form a straight line on one side.

Two angles are complementary (sometimes called adjacent angles) if they add up to 90 degrees. This means that they will form a right triangle.

When two parallel lines are cut by a transversal (a straight line that runs through both of the parallel lines), 4 pairs of opposite (non-adjacent) angles are formed and 4 pairs of corresponding angles are formed. The opposite angles will be equal in measure, and the corresponding angles will also be equal in measure.

A parallelogram is a four-sided figure in which opposite sides are parallel and equal in length. Each angle will have the same measurement as the angle opposite to it.

ACT Math Download

The download covers all of the geometry problems that you will see on the exam.

Geometry Practice Problems

The formulas you will need in order to work out ACT geometry practice problems are given above.

Please also refer to our free sample math test and our math formula sheet to see further examples and illustrations of practice math problems for geometry.

Geometry Questions on the ACT

Coordinate Geometry

You will need to know coordinate geometry for two-dimensional graphic representations of geometry problems like:

  • Calculating the slope of the line
  • Determining the midpoint between two points
  • Using the distance formula to find the distance between two points on a line

Coordinate geometry is included in the algebra section of the math test.

That is because you need to understand how to use certain algebraic principles in order to solve coordinate geometry problems.

You will also need to know plane geometry for other geometry problems.

Plane Geometry

Plane geometry includes calculations relating to geometric figures such as:

    • Triangles
    • Squares
    • Rectangles
    • Circles
    • Cones
    • Arcs
    • Chords
    • Cylinders

    More Math Practice

    Copyright © 2018-2020. Exam SAM Study Aids & Media.
    Todos os direitos reservados.

    ACT is a trademark of ACT, Inc, which is not affiliated with nor endorses this website.


    Section 1.2E: Exercises - Mathematics

    This is the final application of integral that we’ll be looking at in this course. In this section we will be looking at the amount of work that is done by a force in moving an object.

    In a first course in Physics you typically look at the work that a constant force, (F), does when moving an object over a distance of (d). In these cases the work is,

    However, most forces are not constant and will depend upon where exactly the force is acting. So, let’s suppose that the force at any (x) is given by (Fleft( x ight)). Then the work done by the force in moving an object from (x = a) to (x = b) is given by,

    To see a justification of this formula see the Proof of Various Integral Properties section of the Extras chapter.

    Notice that if the force is constant we get the correct formula for a constant force.

    where (b - a) is simply the distance moved, or (d).

    So, let’s take a look at a couple of examples of non-constant forces.

    This example will require Hooke’s Law to determine the force. Hooke’s Law tells us that the force required to stretch a spring a distance of (x) meters from its natural length is,

    where (k > 0) is called the spring constant. It is important to remember that the (x) in this formula is the distance the spring is stretched from its natural length and not the actual length of the spring.

    So, the first thing that we need to do is determine the spring constant for this spring. We can do that using the initial information. A force of 40 N is required to stretch the spring

    from its natural length. Using Hooke’s Law we have,

    [40 = 0.10khspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>,k = 400]

    So, according to Hooke’s Law the force required to hold this spring (x) meters from its natural length is,

    We want to know the work required to stretch the spring from 35cm to 38cm. First, we need to convert these into distances from the natural length in meters. Doing that gives us (x)’s of 0.15m and 0.18m.

    1. Determine the amount of work required to lift the bucket to the midpoint of the shaft.
    2. Determine the amount of work required to lift the bucket from the midpoint of the shaft to the top of the shaft.
    3. Determine the amount of work required to lift the bucket all the way up the shaft.

    Before answering either part we first need to determine the force. In this case the force will be the weight of the bucket and cable at any point in the shaft.

    To determine a formula for this we will first need to set a convention for (x). For this problem we will set (x) to be the amount of cable that has been pulled up. So at the bottom of the shaft (x = 0), at the midpoint of the shaft (x = 250) and at the top of the shaft (x = 500). Also, at any point in the shaft there is (500 - x) feet of cable still in the shaft.

    The force then for any (x) is then nothing more than the weight of the cable and bucket at that point. Isso é,

    We can now answer the questions.

    In this case we want to know the work required to move the cable and bucket/coal from (x = 0) to (x = 250). The work required is,

    In this case we want to move the cable and bucket/coal from (x = 250) to (x = 500). The work required is,

    Note that we could have instead just added the results from the first two parts and we would have gotten the same answer to the third part.

    First, we need to determine the weight per foot of the cable. This is easy enough to get,

    Next, let (x) be the distance from the ceiling to any point on the cable. Using this convention we can see that the portion of the cable in the range (10 < x le 20) will actually be lifted. The portion of the cable in the range (0 le x le 10) will not be lifted at all since once the bottom of the cable has been lifted up to the ceiling the cable will be doubled up and each portion will have a length of 10 ft. So, the upper 10 foot portion of the cable will never be lifted while the lower 10 ft portion will be lifted.

    Now, the very bottom of the cable, (x = 20), will be lifted 10 feet to get to the midpoint and then a further 10 feet to get to the ceiling. A point 2 feet from the bottom of the cable, (x = 18) will lift 8 feet to get to the midpoint and then a further 8 feet until it reaches its final position (if it is 2 feet from the bottom then its final position will be 2 feet from the ceiling). Continuing on in this fashion we can see that for any point on the lower half of the cable, ou seja, (10 le x le 20) it will be lifted a total of (2left( ight)).

    As with the previous example the force required to lift any point of the cable in this range is simply the distance that point will be lifted times the weight/foot of the cable. So, the force is then,

    Provided we can find the force, (Fleft( x ight)), for a given problem then using the above method for determining the work is (generally) pretty simple. However, there are some problems where this approach won’t easily work. Let’s take a look at one of those kinds of problems.

    Okay, in this case we cannot just determine a force function, (Fleft( x ight)) that will work for us. So, we are going to need to approach this from a different standpoint.

    Let’s first set (x = 0) to be the lower end of the tank/cone and (x = 15) to be the top of the tank/cone. With this definition of our (x)’s we can now see that the water in the tank will correspond to the interval (left[ <0,12> ight]).

    So, let’s start off by dividing (left[ <0,12> ight]) into (n) subintervals each of width (Delta x) and let’s also let (x_i^*) be any point from the (i) th subinterval where (i = 1,2, ldots n). Now, for each subinterval we will approximate the water in the tank corresponding to that interval as a cylinder of radius () and height (Delta x).

    Here is a quick sketch of the tank. Note that the sketch really isn’t to scale and we are looking at the tank from directly in front so we can see all the various quantities that we need to work with.

    The red strip in the sketch represents the “cylinder” of water in the (i) th subinterval. A quick application of similar triangles will allow us to relate () to (x_i^*) (which we’ll need in a bit) as follows.

    Okay, the mass, (), of the volume of water, (), for the (i) th subinterval is simply,

    We know the density of the water (it was given in the problem statement) and because we are approximating the water in the (i) th subinterval as a cylinder we can easily approximate the volume as,

    We can now approximate the mass of water in the (i) th subinterval,

    To raise this volume of water we need to overcome the force of gravity that is acting on the volume and that is, (F = g), where (g = 9.8,m/s^<2>) is the gravitational acceleration. The force to raise the volume of water in the (i) th subinterval is then approximately,

    Next, in order to reach to the top of the tank the water in the (i) th subinterval will need to travel approximately (15 - x_i^*) to reach the top of the tank. Because the volume of the water in the (i) th subinterval is constant the force needed to raise the water through any distance is also a constant force.

    Therefore, the work to move the volume of water in the (i) th subinterval to the top of the tank, ou seja, raise it a distance of (15 - x_i^*), is then approximately,

    The total amount of work required to raise all the water to the top of the tank is then approximately the sum of each of the () for (i = 1,2, ldots n). Or,

    To get the actual amount of work we simply need to take (n o infty ). I.e. compute the following limit,

    This limit of a summation should look somewhat familiar to you. It’s probably been some time, but recalling the definition of the definite integral we can see that this is nothing more than the following definite integral,

    As we’ve seen in the previous example we sometimes need to compute “incremental” work and then use that to determine the actual integral we need to compute. This idea does arise on occasion and we shouldn’t forget it!


    What is number Phi and how does it tie in with Fibonacci numbers?

    Here's another amazing thing about this sequence. Let's make a list of the RATIOS we get when we take a Fibonacci number divided by the previous Fibonacci number:

    1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, .

    What's so great about that? (Your students might ask this too.) The pattern is not so visible when the ratios are written as fractions. Ask the students write the decimal expansions of the above ratios. We get:

    1, 2, 1.5, 1.6666. 1.6, 1.625, 1.615384615. 1.619047619. 1.617647059. 1.618181818.

    If you continue writing more of those ratios and calculate their decimal expansions, they will keep getting closer and closer to a certain number. though they never reach it totally!

    The number that the ratios keep approaching is (&radic 5 + 1)/2, which is approximately 1.6180339887. It is IRRATIONAL and it has the name Phi.

    Here is a mathematical proof of what I just told you: The Ratio of neighbouring Fibonacci Numbers tends to Phi.


    TABE Test

    The Test for Adult Basic Education (TABE) is a diagnostic test used to determine a person’s skill levels and aptitudes. Many companies use it in hiring, promotions, or for selecting employees for training programs for skilled positions. The TABE test is also used by public service agencies who are guiding people into adult education programs, such as getting a GED, going to trade school, etc.

    TABE tests skills and aptitudes in reading, math, and English, as you’ll apply them in the workforce or classroom. Although there’s really no such thing as passing or failing the TABE test, your score can determine your eligibility for many programs that can have a positive effect on your life situation, and a huge impact on your future income. It’s important to be prepared for the test. You’ll make arrangements to take the test through the school or agency that’s requiring it. It takes about an hour and a half to complete. In the reading portion, you’ll be tested on your vocabulary and reading comprehension. The English portion will test for spelling, punctuation, grammar, sentence and paragraph structure, etc. The math section doesn’t involve much complex math — there are some questions on pre-algebra, but mostly it’s about basic math, fractions, percentages, and the decimal system. If you’re being required to take the TABE, it’s probably because you’re trying to improve your life in some manner. Doing well on the test can mean the difference between where you are now and a much brighter future.


    Section 1.2E: Exercises - Mathematics

    Welcome to the Interactive Zone &mdash the auxiliary site to our content-rich OnlineMathLearning.com! Find engaging exercises for skill-building, worksheets with auto-scoring for quick feedback, games, puzzles, simulations and other fun stuff that help you to cement math concepts into enduring skills for higher level work.

    What's New

    2015-04-14: New logic puzzle in the Fun Stuff section: Train Tracks.

    2015-04-14: New page explaining the infamous "Cheryl's Birthday" question in the Fun Stuff section.

    2013-01-20: Added Law of Sines and Law of Cosines to the Trigonometry section.

    2013-12-24: Added Remainder Theorem to the Algebra section.

    2013-12-08: Added Powers of i to the Complex Numbers section.

    2013-12-05: Added Midpoint Between Complex Numbers to the Complex Numbers section.

    2013-12-02: Added Magnitude of Complex Numbers and Distance Between Complex Numbers to the Complex Numbers section.

    2013-11-22: Added Compare Fractions (with same denominator) to the Fractions section.

    2013-11-14: Added Compare Fractions to the Fractions section.

    2013-11-05: Added Multiplication by Multiples of 10 to the Multiplication section.

    2013-10-30: Added Missing Factors to the Multiplication section.

    2013-10-24: Added Missing Addends to the Addition section.

    2013-10-10: Added Fact families found both in Addition and Subtraction sections.

    2013-09-18: Added Compare Amounts to the Numbers section.

    2013-09-05: Added Mixed Number arithmetic operations to the Fractions section.

    2013-08-31: Added Mixed Numbers and Improper Fractions to the Fractions section.

    2013-08-14: Added Reducing Fractions to the Fractions section.

    2013-08-08: Added Counting and Tally Marks to the Numbers section.

    2013-06-10: Added Greatest Common Divisor and Least Common Multiple to the Fractions section.

    2013-06-10: New section: Fractions, with arithmetic operations below 1.

    2013-04-15: New puzzle in the Fun Stuff section: Binary (Takuzu).

    2013-04-10: New puzzle in the Fun Stuff section: Haunted Mirror Maze.

    2012-11-30: Added Number Bonds to the Addition Section.

    2012-04-30: New puzzle in the Fun Stuff section: Pearls (Masyu).

    2012-03-21: Added Degrees and Radians to the Geometry section.

    2012-02-23: Added Arc Length and Sector Area - Radians to the Geometry section.

    2012-02-18: Added Arc Length and Sector Area - Degrees to the Geometry section.

    2012-01-15: New game available in the Fun Stuff section: Safecracker. Guess the code in as few moves as possible, using sums of digits as your clues!

    2011-09-20: Added Polygon Names to the Geometry section.

    2011-09-14: Added Addition Odd Or Even, Subtraction Odd Or Even, and Multiplication Odd Or Even to the Numbers section.

    2011-09-06: Added Prime Numbers to the Numbers section.

    2011-03-17: Added Range (Kurodoko) to the Fun Stuff section.

    2010-12-12: Added Metric volume conversion to the Measurements section.

    2010-12-09: Added Metric weight conversion to the Measurements section.

    2010-11-23: Added Metric Length conversion to the Measurements section.

    2010-11-07: Added Numbers To Words and Words To Numbers to the Numbers section.

    2010-10-17: Added Compare Decimal Numbers to the Decimal section.

    2010-10-12: Added Divide by 10, 100, 1000 to the Decimal section.

    2010-10-05: Added new Measurements section with Temperature conversion.

    2010-09-28: Added Exponents to the Integers section.

    2010-08-13: Added a whole bunch of logic puzzles to the Fun Stuff section!

    2010-08-08: Fixed some bugs in the complex number worksheets, and made the generated questions easier. Also added Complex number division.

    2010-08-06: Added new Mental Math section, with a few worksheets.

    2010-07-27: Added Complex number multiplication to the Complex Numbers section.

    2010-07-26: Added Complex number subtraction to the Complex Numbers section.

    2010-07-20: Added new Complex Numbers section with Complex number addition.

    2010-07-18: New game: added CellCraft to the Fun Stuff section!

    2010-06-02: Added Midpoint to the Coordinates section.

    2010-05-18: Added Integers - Mixed to the Integers section.

    2010-04-06: Added Coordinates section with Distance Formula.

    2010-02-18: Added Sines, Cosines, Tangents, and Mixed Right Triangles to the Trigonometry section.

    2010-02-09: Added Trigonometry section with Pythagorean Theorem.

    2010-02-09: Added Trapezoids to the Geometry section.

    2010-02-02: Added Cones and Square Pyramids to the Geometry section.

    2010-01-27: Added Spheres and Cylinders to the Geometry section.

    2010-01-21: Added Cubes and Cuboids to the Geometry section.

    2010-01-11: Added more options to Percentages.

    2010-01-07: Added Percentages.

    2010-01-04: Added Decimal Rounding to the Decimal section.

    2009-12-15: Added Chain Addition to the Addition section.

    2009-12-07: Added Odd and Even to the Numbers section.

    2009-11-30: Added Rounding to the Numbers section.

    2009-10-14: Changed Addition Facts and Subtraction Facts to allow for facts on a specific number.


    Challenge Exercises: Data and Graphs

    Directions: Read each question below. Select your answer by clicking on the button to the left. Feedback to your answer is provided in the RESULTS BOX. If you make a mistake, choose a different button.

    1. Mrs. Glosser's class voted on their favorite type of toy. Each student voted once. Here is the vote: doll 4, action figure 4, educational toy 3, video game 6, electronics 5, building blocks 1. Which of the following bar graphs shows all of these facts correctly? (Note that the title of each graph has been omitted.)

    2. An infant's weight was recorded in pounds for each of 7 weeks. Here is the data: Week 1: 7.5 lbs Week 2: 7.1 lbs Week 3: 7.4 lbs Week 4: 7.7 lbs Week 5: 8.2 lbs Week 6: 8.6 lbs Week 7: 9.0 lbs. Which of the following line graphs shows all of these facts correctly? (Note that the title of each graph has been omitted. Also, the value for each point has not been labeled.)

    3. The amount of time spent on daily activities is given in hours as follows: School 8, Sleep 6, Entertainment 5, Homework 3, Meals 2. Which of the following circle graphs shows all of these facts correctly? (Note that all titles have been omitted.)

    4. What kind of graph would you use to represent the speed in km per hour of the world's fastest 20 animals?
    5. What kind of graph would you use to represent the annual number of vehicle fatalities in your state for the last 10 years?
    6. What kind of graph would you use to represent the number of Internet users in 10 different countries?
    7. What kind of graph would you use to represent the percentage of students in your school by grade level?

    Refer to the line graph below to answer Exercise 8.

    8. What is wrong with the line graph above?

    Refer to the bar graph below to answer Exercise 9.

    9. What is wrong with the bar graph above?


    In geometry it is the shape made when a solid is cut through by a plane.

    Exemplo:

    The cross section of this circular cylinder is a circle

    We don't draw the rest of the object, just the shape made when you cut through.

    Exemplo:

    The cross section of a rectangular pyramid is a rectangle

    Cross sections are usually parallel to the base like above, but can be in any direction.

    Exemplo:

    O vertical cross section through the center of this torus is two circles!