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2.9: A definição precisa de um limite - matemática


A esta altura, você já passou da definição muito informal de limite na introdução deste capítulo para a compreensão intuitiva de um limite. Compreender essa definição é a chave que abre a porta para uma melhor compreensão do cálculo.

Quantificando Proximidade

Antes de declarar a definição formal de um limite, devemos apresentar algumas idéias preliminares. Lembre-se de que a distância entre dois pontos aeb em uma reta numérica é dada por | (a − b ) |.

  • A declaração (| f (x) −L | <ε ) pode ser interpretada como: A distância entre (f (x) ) e L é menor que (ε ).
  • A declaração (0 <| x − a | <δ ) pode ser interpretada como: (x ≠ a ) e a distância entre (x ) e (a ) é menor que (δ ) .

Também é importante observar as seguintes equivalências para valor absoluto:

  • A declaração (| f (x) −L | <ε ) é equivalente à declaração (L − ε
  • A declaração (0 <| x − a | <δ ) é equivalente à declaração (a − δ

Com esses esclarecimentos, podemos afirmar o formal definição épsilon-delta do limite.

Definição: The EDefinição do Limite psilon-Delta

Seja (f (x) ) definido para todos (x ≠ a ) em um intervalo aberto contendo a. Seja L um número real. Então

[ displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ]

se, para cada (ε> 0 ), existe a (δ> 0 ), tal que se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε ).

Esta definição pode parecer bastante complexa do ponto de vista matemático, mas torna-se mais fácil de entender se dividirmos frase por frase. A declaração em si envolve algo chamado de quantificador universal (para cada (ε> 0 )), um quantificador existencial (existe um (δ> 0 )), e, por último, um afirmação condicional (se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε) ). Vamos dar uma olhada em Tabela, que divide a definição e traduz cada parte.

DefiniçãoTradução
1. Para cada (ε> 0 ),1. Para cada distância positiva (ε ) de (L ),
2. existe um (δ> 0 ),2. Há uma distância positiva (δ ) de (a ),
3. tal que3. tal que
4. se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε ).4. se x está mais próximo do que (δ ) de (a ) e (x ≠ a ), então (f (x) ) está mais próximo do que (ε ) de (L ) .

Podemos entender melhor essa definição examinando a definição geometricamente. A figura mostra os valores possíveis de (δ ) para várias escolhas de (ε> 0 ) para uma dada função (f (x) ), um número a e um limite L em a. Observe que, à medida que escolhemos valores menores de ε (a distância entre a função e o limite), podemos sempre encontrar um (δ ) pequeno o suficiente para que, se tivermos escolhido um valor x dentro de (δ ) de a, então o valor de (f (x) ) está dentro de (ε ) do limite L.

Figura ( PageIndex {1} ): Estes gráficos mostram os valores possíveis de (δ ), dadas escolhas sucessivamente menores de ε.

Notas de Álgebra

Um fato importante da álgebra para valores absolutos que você precisará para provas com a definição de limite épsilon-delta é:

(| p |

Um fato álgebra para desigualdades é:

Se (a> 0 ) e (b> 0 ) então (a frac {1} {b} )

Exemplo ( PageIndex {1} ) mostra como você pode usar esta definição para provar uma declaração sobre o limite de uma função específica em um valor especificado.

Exemplo ( PageIndex {1} ): Provando uma declaração sobre o limite de uma função específica

Prove que ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

Solução

Seja (ε> 0 ).

A primeira parte da definição começa com “Para todo (ε> 0 ).” Isso significa que devemos provar que tudo o que se segue é verdadeiro, independentemente do valor positivo de ε escolhido. Ao declarar “Let (ε> 0 ),” sinalizamos nossa intenção de fazê-lo.

Escolha (δ = frac {ε} {2} ). Por que estamos escolhendo isso? A explicação segue.

A definição continua com “existe a (δ> 0 ). ”A frase“ existe ”em uma declaração matemática é sempre um sinal para uma caça ao tesouro. Em outras palavras, devemos ir e encontrar (δ ). Então, de onde exatamente (δ = frac {ε} {2} ) veio?

Abordamos o problema de um ponto de vista algébrico. Este é o nosso "Doodle de Análise" para descobrir qual valor usar para (δ ).

Análise

Como, em última análise, queremos | ( (2x + 1) −3 | <ε ), começamos manipulando esta expressão: | ( (2x + 1) −3 ) | <ε é equivalente a | (2x− 2 | <ε ), que por sua vez é equivalente a (- ε <2x − 2 <ε ) (veja a Nota de Álgebra acima) que é equivalente a (- frac {ε} {2}

Figura ( PageIndex {2} ) demonstra nossa configuração epsilon-delta:

Figura ( PageIndex {2} ): demonstra nossa configuração epsilon-delta para ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

Depois de remover todos os comentários, aqui está uma versão final da prova:

Seja (ε> 0 ).

Escolha (δ = ε / 2 ).

Suponha que (0 <| x − 1 | <δ ).

Em outras palavras:

(0 <| x − 1 | < frac {ε} {2} ),

então (- frac {ε} {2}

então (- ε <2x − 2 <ε )

então | (2x − 2 | <ε ),

então | ( (2x + 1) −3 ) | <ε

Assim, se (0 <| x − 1 | <δ ), então | ( (2x + 1) −3 ) | <ε.

Portanto, pela definição de limite, ( displaystyle lim_ {x → 1} (2x + 1) = 3 ).

A seguinte Estratégia de Solução de Problemas resume o tipo de prova que elaboramos em Exemplo ( PageIndex {1} ).

Estratégia de resolução de problemas: provando que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) para uma função específica (f (x) )

  1. Vamos começar a prova com a seguinte afirmação: Let (ε> 0 ).
  2. A seguir, precisamos obter nossa escolha para (δ ) (use o Doodle de Análise). O Doodle de Análise é um trabalho de rascunho feito para encontrar nossa escolha para (δ ). Sempre coloque-o em uma página separada ou em uma caixa marcada "Trabalho Scratch". Faça a seguinte declaração, preenchendo o espaço em branco com nossa escolha descoberta de δ: Escolha (δ = ) _______.
  3. A próxima afirmação na prova deve ser (neste ponto, preenchemos nosso valor dado para a): Assuma (0 <| x − a | <δ ).
  4. Começando com (0 <| x − a | <δ ), use nossa escolha de (δ ) e álgebra para chegar a (| f (x) −L | <ε ), onde (f ( x) ) e L são nossa função (f (x) ) e nosso limite L.
  5. Isso mostra (e você deve declarar) se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε ).
  6. Concluímos nossa prova com a afirmação: Portanto, pela definição de limite, ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ).

Exemplo ( PageIndex {2} ): Provando uma declaração sobre um limite

Complete a prova de que ( displaystyle lim_ {x → −1} (4x + 1) = - 3 ) preenchendo os espaços em branco.

Deixar _____.

Escolha (δ = ) _______.

Suponha que (0 <) | (x ) −_______ | (<δ ).

Em outras palavras, | (x ) −_______ | (<) _______, então _______________ então ________________ então _______________ ... então __________ (<ε ).

Portanto, se ____________________________, então ________________.

Portanto, por _______________________________ _____________________________.

Solução

Começamos preenchendo os espaços em que as escolhas são especificadas pela definição. Assim, temos

Seja ε (> 0 ).


ARRANQUE DE TRABALHO:

Escolha (δ ) = ??.

Aqui está o nosso Doodle de Análise:

Queremos que (| 4x + 1 - (- 3) | ) seja menor que (ε ), se (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ )

Então, definimos (| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) e mexemos para obter (x - (- 1) ) dentro do valor absoluto.

(| 4x + 1 - (- 3) | <ε ) implica (- ε <4x + 4 <ε ) implica (- frac {ε} {4}

Assim, vemos que devemos escolher (δ = frac {ε} {4} ).

Agora, concluímos a redação final da prova:


Seja ε (> 0 ).

Escolha (δ = frac {ε} {4} ).

Suponha que (0 <) | (x - (- 1) ) | (<δ ) (ou equivalentemente, (0 <) | (x + 1 ) | (<δ ) .)

Em outras palavras:

(0 <| x + 1 | < frac {ε} {4} ),

então (- frac {ε} {4}

então (- ε <4x + 4 <ε )

então | (4x + 4 | <ε ),

então | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε

Assim, se (0 <| x - (- 1) | <δ ), então | ( (4x + 1) - (- 3) ) | <ε.

Portanto, pela definição de limite, ( displaystyle lim_ {x → -1} (4x + 1) = - 3 ).

( PageIndex {1} )

Complete a prova de que ( displaystyle lim_ {x → 2} (3x − 2) = 4 ) preenchendo os espaços em branco. (Seu Doodle de Análise NÃO está escrito na prova real.)

Deixar _______.

Escolha (δ ) = _______.

Suponha que (0 <) | (x - ) ____ | (<) ____.

Em outras palavras, | (x ) −_______ | (<) _______, então _______________ então ________________ então _______________ ... então __________ (<ε ).

Portanto, se ____________________________, então ________________.

Portanto, por _______________________________ _____________________________.

Dica

Siga o esboço da Estratégia de Solução de Problemas que elaboramos na íntegra no Exemplo ( PageIndex {2} ).

Responder

Seja ε (> 0 ); escolha (δ = frac {ε} {3} ); assuma (0 <| x − 2 | <δ ).

Em outras palavras:

(0 <| x - 2 | < frac {ε} {3} ),

então (- frac {ε} {3}

então (- ε <3x - 6 <ε )

então | (3x - 6 | <ε ),

então | ( (3x - 2) −4 ) | <ε

Assim, se (0 <| x − 2 | <δ ), então | ( (3x - 2) −4 ) | <ε.

Portanto, pela definição de limite, ( displaystyle lim_ {x → 2} 3x − 2 = 4 ).


Definições precisas para limites no infinito

Anteriormente, usamos os termos arbitrariamente próximo, arbitrariamente grande e suficientemente grande para definir limites no infinito informalmente. Embora esses termos forneçam descrições precisas de limites no infinito, eles não são matematicamente precisos. Aqui estão as definições mais formais de limites no infinito. Em seguida, veremos como usar essas definições para provar resultados que envolvem limites no infinito.

Definição: Limite no infinito (formal)

Dizemos que uma função (f ) tem um limite no infinito, se existe um número real (L ) tal que para todos (ε> 0 ), existe (N> 0 ) tal que

[| f (x) −L | <ε ]

para todos (x> N. ) nesse caso, escrevemos

[ lim_ {x → ∞} f (x) = L ]

Figura ( PageIndex {3} ): Para uma função com um limite no infinito, para todos (x> N, | f (x) −L | <ε. )

Anteriormente nesta seção, usamos evidência gráfica na Figura e evidência numérica na Tabela para concluir que ( lim_ {x → ∞} ( frac {2 + 1} {x}) = 2 ). Aqui usamos a definição formal de limite no infinito para provar este resultado com rigor.

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Use a definição formal de limite no infinito para provar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

Solução

Let (ε> 0. ) Let (N = frac {1} {ε} ). Portanto, para todos (x> N ), temos

[| 2+ frac {1} {x} −2 | = | frac {1} {x} | = frac {1} {x} < frac {1} {N} = ε ]

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → ∞} 2+ frac {1} {x} = 2 ).

( PageIndex {2} )

Use a definição formal de limite no infinito para provar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3− frac {1} {x ^ 2} = 3 ).

Dica

Seja (N = frac {1} { sqrt {ε}} ).

Responder

Let (ε> 0. ) Let (N = frac {1} { sqrt {ε}} ). Portanto, para todos os (x> N, ) temos

(∣3− frac {1} {x ^ 2} −3∣ = frac {1} {x ^ 2} < frac {1} {N ^ 2} = ε )

Portanto, ( displaystyle lim_ {x → ∞} (3− frac {1} {x ^ 2}) = 3. )

Agora voltamos nossa atenção para uma definição mais precisa para um limite infinito no infinito.

Definição: Limite infinito no infinito (formal)

Dizemos que uma função (f ) tem um limite infinito no infinito e escrever

( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) = ∞ )

se para todos (M> 0, ) existe um (N> 0 ) tal que

(f (x)> M )

para todos (x> N ) (veja a Figura).

Dizemos que uma função tem um limite infinito negativo no infinito e escrevemos

( displaystyle lim_ {x → ∞} f (x) = - ∞ )

se para todos (M <0 ), existe um (N> 0 ) tal que

(f (x)

para todos (x> N ).

Da mesma forma, podemos definir limites como (x → −∞. )

Figura ( PageIndex {4} ): Para uma função com um limite infinito no infinito, para todos (x> N, f (x)> M. )

Aqui usamos a definição formal de limite infinito no infinito para provar ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Use a definição formal de limite infinito no infinito para provar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞. )

Análise de Doodle: Para algum (M> 0 ), precisamos de um (N ) para que se (x> N ), obtenhamos (x ^ 3> M ).

Comece com (x ^ 3> M ) e resolva para (x ). (x> sqrt [3] {M} ). Portanto, contanto que (x> sqrt [3] {M} ), então (x ^ 3> M ). Portanto, escolha (N = sqrt [3] {M} ).

Prova:

Seja (M> 0. ) Escolha (N = sqrt [3] {M} ). Então, para todos (x> N ), temos

(x ^ 3> N ^ 3 = ( sqrt [3] {M}) ^ 3 = M. )

Portanto, pela definição de limite, ( displaystyle lim_ {x → ∞} x ^ 3 = ∞ ).

( PageIndex {3} )

Use a definição formal de limite infinito no infinito para provar que ( displaystyle lim_ {x → ∞} 3x ^ 2 = ∞. )

Dica

Seja (N = sqrt { frac {M} {3}} ).

Responder

Let (M> 0. ) Let (N = sqrt { frac {M} {3}}) ). Então, para todos os (x> N, ) que temos

(3x ^ 2> 3N ^ 2 = 3 ( sqrt { frac {M} {3}}) ^ 22 = frac {3M} {3} = M )


Limites unilaterais

Assim como primeiro adquirimos uma compreensão intuitiva dos limites e depois passamos para uma definição mais rigorosa de um limite, agora revisitamos os limites unilaterais. Para fazer isso, modificamos a definição épsilon-delta de um limite para fornecer definições formais épsilon-delta para os limites da direita e esquerda em um ponto. Essas definições requerem apenas pequenas modificações da definição do limite. Na definição do limite da direita, a desigualdade (0

Definição

Limite da direita: Seja (f (x) ) definido sobre um intervalo aberto da forma ((a, b) ) onde (a

[ lim_ {x → a ^ +} f (x) = L ]

se para cada (ε> 0 ), existe a (δ> 0 ), de modo que se (0

Limite da esquerda: Seja (f (x) ) definido sobre um intervalo aberto da forma ((b, c) ) onde (b

[ lim_ {x → c ^ -} f (x) = L ]

se para cada (ε> 0 ), existe um (δ> 0 ) tal que se (−δ

Exemplo ( PageIndex {5} ): Provando uma declaração sobre um limite da direita

Provar que

[lim_ {x → 4 ^ +} sqrt {x − 4} = 0. ]

Solução

Seja ε> 0.

Escolha (δ = ε ^ 2 ). Visto que, em última análise, queremos (∣ sqrt {x − 4} −0∣ <ε ), manipulamos esta desigualdade para obter ( sqrt {x − 4} <ε ) ou, equivalentemente, (0

Suponha que (0

( PageIndex {4} )

Encontre (δ ) correspondendo a (ε ) para uma prova de que ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} sqrt {1 − x} = 0 ).

Dica

Esboce o gráfico e use o Exemplo como um guia de solução.

Responder

(δ = ε ^ 2 )

Limites infinitos

Concluímos o processo de conversão de nossas idéias intuitivas de vários tipos de limites em definições formais rigorosas, buscando uma definição formal de limites infinitos. Para ter ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ), queremos que os valores da função (f (x) ) fiquem cada vez maiores à medida que x se aproxima de a. Em vez do requisito de que (| f (x) −L | <ε ) para arbitrariamente pequeno (ε ) quando (0 <| x − a | <δ ) para pequeno o suficiente (δ ), queremos (f (x)> M ) para M positivo arbitrariamente grande quando (0 <| x − a | <δ ) para pequeno o suficiente (δ ). A figura ilustra essa ideia, mostrando o valor de (δ ) para valores sucessivamente maiores de M.

Figura ( PageIndex {5} ): Esses gráficos representam os valores de (δ ) para M para mostrar que ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ).

Definição

Seja (f (x) ) definido para todos (x ≠ a ) em um intervalo aberto contendo a. Então, temos um limite infinito

[ lim_ {x → a} f (x) = + ∞ ]

se para cada (M> 0 ), existe (δ> 0 ) tal que se (0 <| x − a | <δ ), então (f (x)> M ).

Seja (f (x) ) definido para todos (x ≠ a ) em um intervalo aberto contendo a. Então, temos um limite infinito negativo

[ lim_ {x → a} f (x) = - ∞ ]

se para cada (M> 0 ), existe (δ> 0 ) tal que se (0 <| x − a | <δ ), então (f (x) <- M ).

Tópicos Avançados

Aqui estão alguns problemas mais complexos usando a definição precisa de limite. Sinta-se à vontade para examinar isso; entretanto, você não é obrigado a conhecer os tópicos restantes nesta seção.


Nos exemplos ( PageIndex {1} ) e ( PageIndex {2} ), as provas foram bastante diretas, uma vez que as funções com as quais estávamos trabalhando eram lineares. No exemplo, vemos como modificar a prova para acomodar uma função não linear.

Exemplo ( PageIndex {6} ): Provando uma declaração sobre o limite de uma função quadrática

Prove que ( displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. )

Solução

Vamos usar nosso esboço da Estratégia de Solução de Problemas:

1. Seja (ε> 0 ).

2. Escolha (δ = min ) { (1, ε / 5 )}. Esta escolha de (δ ) pode parecer estranha à primeira vista, mas foi obtida dando uma olhada em nossa desigualdade desejada final: ∣ ((x ^ 2−2x + 3) −6 ) ∣ (<ε ). Essa desigualdade é equivalente a (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <ε ). Neste ponto, a tentação de simplesmente escolher (δ = frac {ε} {x − 3} ) é muito forte. Infelizmente, nossa escolha de (δ ) deve depender apenas de ε e de nenhuma outra variável. Se pudermos substituir (| x − 3 | ) por um valor numérico, nosso problema pode ser resolvido. Este é o lugar onde assumir que (δ≤1 ) entra em jogo. A escolha de (δ≤1 ) aqui é arbitrária. Poderíamos ter usado qualquer outro número positivo com a mesma facilidade. Em algumas provas, maior cuidado nessa escolha pode ser necessário. Agora, como (δ≤1 ) e (| x + 1 | <δ≤1 ), podemos mostrar que (| x − 3 | <5 ). Conseqüentemente, (| x + 1 | ⋅ | x − 3 | <| x + 1 | ⋅5 ). Nesse ponto, percebemos que também precisamos de (δ≤ε / 5 ). Assim, escolhemos (δ = min ) { (1, ε / 5 )}.

3. Suponha que (0 <| x + 1 | <δ ). Desse modo,

[| x + 1 | <1 ] e [| x + 1 | < frac {ε} {5}. ]

Como (| x + 1 | <1 ), podemos concluir que (- 1

[∣ (x ^ 2−2x + 3) −6∣ = | x + 1 | ⋅ | x − 3 | < frac {ε} {5} ⋅5 = ε. ]

Portanto,

[ displaystyle lim_ {x → −1} (x ^ 2−2x + 3) = 6. ]

( PageIndex {5} )

Conclua a prova de que ( displaystyle lim_ {x → 1} x ^ 2 = 1 ).

Let (ε> 0 ); escolha (δ = min ) { (1, ε / 3 )}; assuma (0 <| x − 1 | <δ ).

Como (| x − 1 | <1 ), podemos concluir que (- 1

Dica

Use o exemplo como um guia.

Responder

(∣x ^ 2−1∣ = | x − 1 | ⋅ | x + 1 | <ε / 3⋅3 = ε )

Leis de limite de prova

Agora demonstramos como usar a definição épsilon-delta de um limite para construir uma prova rigorosa de uma das leis de limite. O desigualdade triangular é usado em um ponto-chave da prova, portanto, primeiro revisamos essa propriedade-chave do valor absoluto.

Definição

O desigualdade triangular afirma que se aeb são quaisquer números reais, então (| a + b | ≤ | a | + | b | ).

prova

Provamos a seguinte lei limite: Se ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) e ( displaystyle lim_ {x → a} g (x) = M ), então ( displaystyle lim_ {x → a} (f (x) + g (x)) = L + M ).

Seja (ε> 0 ).

Escolha (δ_1> 0 ) de forma que se (0 <| x − a | <δ_1 ), então (| f (x) −L | <ε / 2 ).

Escolha (δ_2> 0 ) de forma que se (0 <| x − a | <δ_2 ), então (| g (x) −M | <ε / 2 ).

Escolha (δ = min ) { (δ_1, δ_2 )}.

Suponha que (0 <| x − a | <δ ).

Desse modo,

(0 <| x − a | <δ_1 ) e (0 <| x − a | <δ_2 ).

Por isso,

(| (f (x) + g (x)) - (L + M) | = | (f (x) −L) + (g (x) −M) | )

(≤ | f (x) −L | + | g (x) −M | )

(< frac {ε} {2} + frac {ε} {2} = ε ).

Agora exploramos o que significa não existir um limite. O limite ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) não existe se não houver um número real L para o qual ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) . Assim, para todos os números reais L, ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ≠ L ). Para entender o que isso significa, examinamos cada parte da definição de ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) junto com seu oposto. Uma tradução da definição é fornecida na Tabela.

DefiniçãoOposto
1. Existe (ε> 0 ) para que
2. existe um (δ> 0 ), de modo que2. para cada (δ> 0 ),
3. se (0 <| x − a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε ).3. Existe um x que satisfaz (0 <| x − a | <δ ) de forma que (| f (x) −L | ≥ε ).

Finalmente, podemos afirmar o que significa não existir um limite. O limite ( displaystyle lim_ {x → a} f (x) ) não existe se para cada número real L, existe um número real (ε> 0 ) de forma que para todos (δ> 0 ), existe um x que satisfaz (0 <| x − a | <δ ), de modo que (| f (x) −L | ≥ε ). Vamos aplicar isso no exemplo para mostrar que não existe um limite.

Exemplo ( PageIndex {7} ): Mostrando que um limite não existe

Mostre que ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ) não existe. O gráfico de (f (x) = | x | / x ) é mostrado aqui:

Solução

Suponha que L seja um candidato a um limite. Escolha (ε = 1/2 ).

Seja (δ> 0 ). Tanto (L≥0 ) ou (L <0 ). Se (L≥0 ), então seja (x = −δ / 2 ).

Desse modo,

(| x − 0 | = ∣− frac {δ} {2} −0∣ = frac {δ} {2} <δ )

e

(∣ frac {∣− frac {δ} {2} ∣} {- frac {δ} {2}} - L∣ = | −1 − L | = L + 1≥1> frac {1 } {2} = ε ).

Por outro lado, se (L <0 ), então seja (x = δ / 2 ). Desse modo,

(| x − 0 | = ∣ frac {δ} {2} −0∣ = frac {δ} {2} <δ )

e

(∣ frac {∣ frac {δ} {2} ∣} { frac {δ} {2}} - L∣ = | 1 − L | = | L | + 1≥1> frac {1} {2} = ε ).

Assim, para qualquer valor de L, ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {| x |} {x} ≠ L. )

Conceitos chave

  • A noção intuitiva de um limite pode ser convertida em uma definição matemática rigorosa conhecida como definição épsilon-delta do limite.
  • A definição épsilon-delta pode ser usada para provar afirmações sobre limites.
  • A definição epsilon-delta de um limite pode ser modificada para definir limites unilaterais.

Glossário

definição épsilon-delta do limite
( displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) se para cada (ε> 0 ), existe um (δ> 0 ) tal que se (0 <| x− a | <δ ), então (| f (x) −L | <ε )
desigualdade triangular
Se aeb são quaisquer números reais, então (| a + b | ≤ | a | + | b | )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Assista o vídeo: Limite Aula 3: Demonstração da existência do Limite pela Definição formal (Novembro 2021).