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7.11.E: Problemas nas Coberturas Vitali - Matemática


Exercício ( PageIndex {1} )

Prove o Teorema 1 para globos, preenchendo todos os detalhes.
[Dica: use o Problema 16 em §8.]

Exercício ( PageIndex {2} )

( Rightarrow ) Mostre que qualquer (mesmo incontável) união de globos ou cubos não degenerados (J_ {i} subconjunto E ^ {n} ) é L-mensurável.
[Dica: inclua em ( mathcal {K} ) cada globo (cubo) que se encontra em algum (J_ {i}. ) Então o Teorema 1 representa ( cup J_ {I} ) como uma união contável mais um conjunto nulo.]

Exercício ( PageIndex {3} )

Suplemente o Teorema 1 provando que
[m ^ {*} left (A- bigcup I_ {k} ^ {o} right) = 0 ]
e
[m ^ {*} A = m ^ {*} left (A cap bigcup I_ {k} ^ {o} right); ]
aqui (I ^ {o} = ) interior de (I ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Preencha todos os detalhes da prova nos Lemas 1 e 2. Faça isso também para ( overline { mathcal {K}} = ) {globos}.

Exercício ( PageIndex {5} )

Dados (m Z = 0 ) e ( varepsilon> 0, ) provar que existem globos abertos
[G_ {k} ^ {*} subseteq E ^ {n}, ]
com
[Z subset bigcup_ {k = 1} ^ { infty} G_ {k} ^ {*} ]
e
[ sum_ {k = 1} ^ { infty} m G_ {k} ^ {*} < varepsilon. ]
[Dica: use o Problema 3 (f) em §5 e o Problema 16 (iii) de §8.]

Exercício ( PageIndex {6} )

Faça o Problema 3 em §5 para
(i) ( mathcal {C} ^ { prime} = { text {globos abertos} }, ) e
(ii) ( mathcal {C} ^ { prime} = left { text {todos os globos em} E ^ {n} right } ).
[Dicas para (i): Seja (m ^ { prime} = ) medida externa induzida por (v ^ { prime}: mathcal {C} ^ { prime} rightarrow E ^ {1}. ) Do Problema 3 (e) em §5, mostre que
[ left ( forall A subseteq E ^ {n} right) quad m ^ { prime} A geq m ^ {*} A. ]
Para provar (m ^ { prime} A leq m ^ {*} A ) também, fixe ( varepsilon> 0 ) e um conjunto aberto (G supseteq A ) com
[m ^ {*} A + varepsilon geq m G text {(Teorema 3 do §8).} ]
Globos dentro de (G ) cobrem (A ) no sentido (V ) - (por quê?); tão
[A subseteq Z cup bigcup G_ {k} text {(disjunto)} ]
para alguns globos (G_ {k} ) e conjunto nulo (Z. ) Com (G_ {k} ^ {*} ) como no Problema 5,
[m ^ { prime} A leq sum left (m G_ {k} + m G_ {k} ^ {*} right) leq m G + varejpsilon leq m ^ {*} A + 2 varejpsilon.] ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Suponha que (f: E ^ {n} stackrel { text {onto}} { longleftrightarrow} E ^ {n} ) seja uma isometria, ou seja, satisfaz
[| f ( overline {x}) - f ( overline {y}) | = | overline {x} - overline {y} | quad text {for} overline {x}, overline {y} in E ^ {n}. ]
Provar que
(i) ( left ( forall A subseteq E ^ {n} right) m ^ {*} A = m ^ {*} f [A], ) e
(ii) (A in mathcal {M} ^ {*} ) iff (f [A] in mathcal {M} ^ {*} ).
[Dicas: Se (A ) é um globo de raio (r, ), então é (f [A] ) (verifique!); assim, os Problemas 14 e 16 em §8 se aplicam. No caso geral, argumente como no Teorema 4 de §8, substituindo intervalos por globos (ver Problema 6). Observe que (f ^ {- 1} ) também é uma isometria.]

Exercício ( PageIndex {7 '} )

Do Problema 7, inferir que a medida de Lebesgue em (E ^ {n} ) é invariante de rotação. (Uma rotação em torno de ( overline {p} ) é uma isometria (f ) tal que (f ( overline {p}) = overline {p} ).)

Exercício ( PageIndex {8} )

A (V ) - cobrindo ( mathcal {K} ) de (A subseteq E ^ {n} ) é chamado normal iff
(i) (( forall I in K) 0 (ii) para cada ( overline {p} in A, ) há algum (c in (0, infty) ) e uma sequência
[I_ {k} rightarrow overline {p} quad left ( left {I_ {k} right } subseteq mathcal {K} right) ]
de tal modo que
[( forall k) left ( exists text {cubo} J_ {k} supseteq I_ {k} right) quad c cdot m ^ {*} I_ {k} geq m J_ {k }. ]
(Dizemos então que ( overline {p} ) e ( left {I_ {k} right } ) são normais; especificamente, (c ) - normal.)
Prove os Teoremas 1 e 2 para qualquer ( mathcal {K} ) normal.
[Dicas: Pelo Problema 21 do Capítulo 3, §16, (d I = d overline {I} ).
Primeiro, suponha que ( mathcal {K} ) seja uniformemente normal, ou seja, todos ( overline {p} in A ) são (c ) - normais para o mesmo (c. )
No caso geral, deixe
[A_ {i} = { overline {x} in A | overline {x} text {is} i text {-normal} }, quad i = 1,2, ldots; ]
então ( mathcal {K} ) é uniforme para (A_ {i}. ) Verifique se (A_ {i} nearrow A ).
Em seguida, selecione, passo a passo, como no Teorema 1, uma sequência disjunta ( left {I_ {k} right } subseteq mathcal {K} ) e naturais (n_ {1} [( forall i) quad m ^ {*} left (A_ {i} - bigcup_ {k = 1} ^ {n_ {i}} I_ {k} right) < frac {1} { eu}.]
Deixar
[U = bigcup_ {k = 1} ^ { infty} I_ {k}. ]
Então
[( forall i) quad m ^ {*} left (A_ {i} -U right) < frac {1} {i} ]
e
[A_ {i} -U nearrow A-U. ]
(Por quê?) Assim, pelos Problemas 7 e 8 no §6,
[m ^ {*} (A-U) leq lim _ {i rightarrow infty} frac {1} {i} = 0.] ]

Exercício ( PageIndex {9} )

A (V ) - cobrindo ( overline {K} ^ {*} ) de (E ^ {n} ) é chamado universal iff
(i) (( forall I in overline { mathcal {K}} ^ {*} right) 0 (ii) sempre que uma subfamília ( mathcal {K} subseteq overline { mathcal {K}} ^ {*} ) cobre um conjunto (A subseteq E ^ {n} ) no (V ) - sentido, nós temos
[m ^ {*} left (A- bigcup I_ {k} right) = 0 ]
para uma sequência disjunta
[ left {I_ {k} right } subseteq mathcal {K}. ]
Mostre o seguinte.
(a) ( overline { mathcal {K}} ^ {*} subseteq mathcal {M} ^ {*} ).
(b) Lemas 1 e 2 são verdadeiros com ( overline { mathcal {K}} ) substituído por qualquer ( overline { mathcal {K}} ^ {*}. ) (neste caso, escreva ( underline {D} ^ {*} s ) e ( overline {D} ^ {*} s ) para os análogos de ( underline {D} s ) e ( overline { D} _ {s} ).)
(c) ( underline {D s} = underline {D} ^ {*} s = overline {D} ^ {*} s = overline {D} s ) a.e.
[Dicas: (a) Por (i), (I = overline {I} ) menos um conjunto nulo (Z subseteq overline {I} -I ^ {o} ).
(c) Argumente como no Lema 2, mas defina
[Q = J left ( underline {D} ^ {*} s> u> v> underline {D} s right) ]
e
[ mathcal {K} ^ { prime} = left {I in overline { mathcal {K}} ^ {*} | I subseteq G ^ { prime}, frac {s I} {m I}> v right } ]
para provar a.e. que ( underline {D} ^ {*} s leq underline {D} s; ) similarmente para ( underline {D} s leq D ^ {*} s ).
Em toda parte, assuma que (s: mathcal {M} ^ { prime} rightarrow E ^ {*} left ( mathcal {M} ^ { prime} supseteq overline { mathcal {K}} cup overline { mathcal {K}} ^ {*} right) ) é uma medida em (E ^ {n}, ) finito em ( overline { mathcal {K}} cup overline { mathcal {K}} ^ {*} ).]

Exercício ( PageIndex {10} )

Problemas contínuos 8 e 9, verifique se
(a) ( overline { mathcal {K}} = { text {cubos não degenerados } } ) é um normal e universal (V ) - cobertura de (E ^ {n} ) ;
(b) também é ( overline { mathcal {K}} ^ {o} = left { text {todos os globos em} E ^ {n} right } );
(c) ( overline { mathcal {C}} = { text {intervalos não degenerados} } ) é normal.
Observe que ( overline { mathcal {C}} ) não é universal.

Exercício ( PageIndex {11} )

Continuando a Definição 3, chamamos (q ) uma derivada de (s, ) e escrevemos (q sim D s ( overline {p}), ) iff
[q = lim _ {k rightarrow infty} frac {s I_ {k}} {m I_ {k}} ]
para alguma sequência (I_ {k} rightarrow overline {p}, ) com (I_ {k} in overline { mathcal {K}} ).
Definir
[D _ { overline {p}} = left {q in E ^ {*} | q sim D s ( overline {p}) right } ]
e provar isso
[ underline {D} s ( overline {p}) = min D _ { overline {p}} text {e} overline {D} s ( overline {p}) = max D _ { overline {p}}. ]

Exercício ( PageIndex {12} )

Seja ( mathcal {K} ^ {*} ) um (V ) normal - cobrindo de (E ^ {n} ) (veja o Problema 8). Dada uma medida (s ) em (E ^ {n}, ) finito em ( mathcal {K} ^ {*} cup overline { mathcal {K}}, ) escrever
[q sim D ^ {*} s ( overline {p}) ]
sse
[q = lim _ {k rightarrow infty} frac {s I_ {k}} {m I_ {k}} ]
para alguma sequência normal (I_ {k} rightarrow overline {p}, ) com (I_ {k} in mathcal {K} ^ {*} ).
Definir
[D _ { overline {p}} ^ {*} = left {q in E ^ {*} | q sim D ^ {*} s ( overline {p}) right }, ]
e depois
[ underline {D} ^ {*} s ( overline {p}) = inf D _ { overline {p}} ^ {*} text {and} overline {D} ^ {*} s ( overline {p}) = sup D _ { overline {p}} ^ {*}. ]
Provar que
[ underline {D} s = underline {D} ^ {*} s = overline {D} ^ {*} s = overline {D} s text {a.e. em} E ^ {n}. ]
[Dica: (E ^ {n} = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} E_ {i}, ) onde
[E_ {i} = left { overline {x} in E ^ {n} | overline {x} text {is} i text {-normal} right }. ]
Em cada (E_ {i}, mathcal {K} ^ {*} ) é uniformemente normal. Para provar ( underline {D} s = underline {D} ^ {*} s ) a.e. em (E_ {i}, ) "imitar" o Problema 9 (c). Continuar.]


Precisa de ajuda com o Vitali Covering Lemma.

Minha preocupação é com a seleção de [B_n]. Eles dizem para escolhê-lo de forma que o raio seja maior que 1/2 desse supremo. É claro que esse valor é finito. Minha preocupação é apenas que a definição de uma cobertura de Vitali não me dá nenhuma razão clara para acreditar que podemos encontrar intervalos maiores do que qualquer comprimento, apenas menores do que qualquer comprimento. Alguma ideia?

Por que você está tomando esse jantar? Se sup for, digamos, 14, então você tem bolas que satisfazem a propriedade dada com raio arbitrariamente próximo a 14. Em particular, você pode escolher uma com raio de pelo menos 7.

Meu problema era quando o sup era na verdade máximo e não havia nada perto dele. Parecia estar esquecendo o fato de que, nesse caso, você poderia simplesmente tirar o máximo. Foi mal.

i & # x27m não está claro sobre a confusão, mas uma vez que tomamos o sup sobre os raios de [B in mathcal ] s.t. [B] é disjunto para a união dos outros conjuntos já escolhidos (esta é uma prova indutiva). e escolher [B_n] para ser aquele que é pelo menos metade desse sup, claro que se houver algumas bolas que estão disjuntas à união, podemos escolher uma bola entre elas que sejam pelo menos metade do sup sobre essas bolas.

Por que é esse o caso? Por que você não poderia ter um intervalo de comprimento 2 e os demais são menores do que 1/2? Não parece que a definição de uma capa da Vitali impediria que isso acontecesse. Então você apenas seleciona o mais alto e isso resolve o problema que eu estava tendo, por algum motivo eu estava pensando que você estava restrito a não incluir aquele conjunto, eu acho. Obrigado por tomar o tempo para responder!


Coberturas: Variações em um resultado de Rogers e no teorema da rede Epsilon de Haussler e Welzl

Consideramos quatro problemas. Rogers provou que para qualquer corpo convexo K, podemos cobrir R d por translações de K de densidade muito aproximadamente d ln d. Em primeiro lugar, estendemos este resultado mostrando que, se nos é dada uma família de homotetos positivos de K de volume total infinito, então podemos encontrar vetores de tradução apropriados para cada homoteto dado para cobrir R d com o mesmo (ou, em certos casos , menor) densidade.

Em segundo lugar, estendemos o resultado de Rogers a múltiplas coberturas de espaço por translados de um corpo convexo: damos um limite superior não trivial na densidade da cobertura mais econômica, onde cada ponto é coberto por pelo menos um certo número de translados.

Terceiro, mostramos que para qualquer n suficientemente grande, a esfera S 2 pode ser coberta por n faixas de largura 20 n ∕ ln n, onde nenhum ponto é coberto muitas vezes.

Finalmente, damos outra prova do resultado anterior com base em uma observação combinatória: uma extensão do Teorema da rede Epsilon de Haussler e Welzl. Mostramos que para um hipergrafo de dimensão Vapnik – Chervonenkis limitada, em que cada aresta tem uma certa medida, existe um conjunto transversal não muito grande que não cruza nenhuma aresta muitas vezes.


Referências

* Besicovitch, A. S., Sobre as propriedades geométricas fundamentais de conjuntos de pontos planos linearmente mensuráveis ​​(II). Matemática. Ann. 115 (1938), 295-329. Lema 2 estabelece o princípio para m = 1 e n = 2, mas o mesmo argumento é aplicável para qualquer n e m & lt n.CrossRefGoogle Scholar

* Sempre assumimos que Ξ contém todos os conjuntos do Borel.

* Para o caso de conjuntos lineares, a desigualdade é provada com k = 1 em meu artigo “On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions.” Matemática. Ann. 101 (1929), pp. 161-193 Google Scholar. Pode ser generalizado para o caso de conjuntos em nespaço -dimensional.

† Dizemos que uma família Γ de conjuntos fechados cobre um conjunto UMA no sentido de Vitali se a qualquer ponto x de UMA corresponde um número α = α(x) & gt 0 e uma sequência <c n(x)> de conjuntos de Γ satisfazendo as condições


7.11.E: Problemas nas Coberturas Vitali - Matemática

Tarefas de casa. Os exercícios dados após a descrição de cada palestra abaixo são exercícios sugeridos para fazer por conta própria. Claro que darei dicas e responderei perguntas em sala ou fora da aula sobre qualquer um deles. Um subconjunto de cada conjunto desses exercícios será coletado de acordo com o cronograma fornecido abaixo das descrições das aulas. Vou pedir que essas soluções de exercícios sejam digitadas usando algum tipo de software matemático, de preferência TeX de algum sabor. Qualquer software capaz de reproduzir símbolos matemáticos é aceitável. Entre em contato se tiver alguma dúvida sobre isso.

Prazos. Esteja ciente de todos os prazos relevantes

Notas e exercícios de aula.

Aula 1 Esta aula cobre certos fatos básicos da Análise Real de graduação, a saber, definições básicas, o Teorema de Heine-Borel, o Teorema dos Conjuntos Aninhados e sua equivalência com o Axioma da Completude para os números reais. Exercícios: Capítulo 1, 3, 6, 12-14, 17, 23, 25.

Aula 2 Sigma Álgebras e Conjuntos de Borel. Sigma álgebras e em particular a álgebra sigma dos conjuntos de Borel são definidas. O Problema 44 da Seção 1.5 é trabalhado em antecipação à definição do conjunto Cantor mais tarde. Exercícios: Capítulo 1, 30-32, 35-39, 43, 47, 48, 50, 51, 56, 57.

Aula 3 Medida Externa e Mensurabilidade. Definimos as propriedades básicas que exigimos de uma medida, então definimos a medida externa e provamos algumas de suas propriedades básicas. Em seguida, definimos a mensurabilidade e mostramos que a coleção de conjuntos mensuráveis ​​é uma álgebra sigma. Capítulo 2, 6-10, 14, 15.

Aula 4 Caracterização Alternativa da Mensurabilidade. Damos uma caracterização alternativa da mensurabilidade com base na aproximação de conjuntos por conjuntos abertos de fora e aproximabilidade por conjuntos fechados de dentro. Em seguida, definimos a medida de Lebesgue e mostramos que ela é contávelmente aditiva e que possui uma propriedade de continuidade. Exercícios: Capítulo 2, 17, 18, 20, 21, 25, 26, 28.

Aula 5 Conjuntos não mensuráveis, conjunto Cantor e função Cantor-Lebesgue. Estas notas seguem essencialmente as Seções 2.5 e 2.6 do livro. Exercícios: Capítulo 2, 29, 30, 33, 37, 38, 40, 44, 46.

Aula 6 Funções mensuráveis. Definição e propriedades básicas de funções mensuráveis. Estas notas seguem essencialmente o conteúdo das Seções 3.1 e 3.2. Exercícios: 1, 3-8, 10, 12, 14-16, 21.

Palestra 7 Os três princípios de Littlewood. Essas notas seguem a Seção 3.3 do texto. Exercícios: 27-31.

Aula 8 Lebesgue Integral. Estas notas seguem as Seções 4.1 e 4.2 do texto. Exercícios: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 16.

Palestra 9 Teoremas de Convergência. Estas notas cobrem tópicos das Seções 4.3-4.6 do texto. Exercícios: 17, 19, 20, 22, 27, 28, 30, 32, 33, 38, 43, 44.

Aula 10 Teoremas de Convergência de Vitali. Estas notas cobrem tópicos das Seções 4.6 e 5.1 no texto. Exercícios: Capítulo 4 50, 51, 52, Capítulo 5 1, 4, 5.

Aula 11 Convergência em Medida. Estas notas cobrem tópicos das Seções 5.2 e 5.3 do texto. Exercícios: 11, 12, 13, 14.

Aula 12 O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Os exercícios são dados abaixo na Tarefa de Casa nº 8.

Aula 13 O Lema da Cobertura de Vitali e o Teorema da Diferenciação de Lebesgue. Estas notas cobrem as Seções 6.1 e 6.2 do texto. Exercícios: 9, 10, 12, 13, 15, 24.

Aula 14 O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2. Estas notas cobrem as Seções 6.3-6.5 do texto. Exercícios: 26, 27, 29, 33, 35, 38, 39, 40, 52, 55, 60.

Aula 15 Espaços de medida geral. Estas notas cobrem as Seções 17.1 e 17.2 do texto. Exercícios: 1, 2, 4, 7, 8, 12, 13, 14, 16.

Aula 16 Integração em Espaços Gerais de Medida e o Teorema Radon-Nikodym. Estas notas cobrem as Seções 18.1-18.4 do texto. Exercícios: 2, 3, 18, 19, 25, 26, 44, 45, 49, 52, 53, 54, 60.

Aula 17 Os Teoremas de Fubini e Tonelli. Estas notas cobrem as Seções 20.1 e 20.2 do texto. Exercícios: 5, 6, 10, 11, 12.

Lição de casa nº 1 (vencimento em 07 de fevereiro): Capítulo 1, Exercícios 3, 17, 23, 36, 38, 39, 50, 51.

Lição de casa nº 2 (entrega em 14 de fevereiro): Capítulo 2, Exercícios 14, 15, 20, 21, 26, 29, 33.

Lição de casa nº 3 (entrega em 21 de fevereiro): Capítulo 2, Exercícios 38, 44. Capítulo 3, Exercícios 5-8.

Lição de casa nº 4 (vencimento em 28 de fevereiro): Capítulo 3, Exercícios 14-16, 27, 28, 31.

Lição de casa # 5 (entrega em 07 de março): Capítulo 4, Exercícios 4, 5, 12, 16.

Lição de casa # 6 (entrega em 21 de março): Capítulo 4, Exercícios 17, 22, 27, 30, 33, 38, 44.

Lição de casa nº 7 (entrega em 28 de março): Capítulo 4, Exercício 52, Capítulo 5, Exercícios 1, 11, 13, 14.

Lição de casa nº 8 (entrega em 11 de abril): 776s11HW8.pdf

Lição de casa # 9 (entrega em 18 de abril): Capítulo 6, Exercícios 29, 35, 39, 40, 55, 60.

Lição de casa # 10 (entrega em 25 de abril): Capítulo 17, 1, 2, 8, 13, 16.

Trabalho de casa nº 11 (vencimento em 2 de maio): Capítulo 18, 25, 26, 44, 45, 52, 54.


7.11.E: Problemas nas Coberturas Vitali - Matemática

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ISSN 1088-6850 (online) ISSN 0002-9947 (impresso)

Conteúdo do Volume 96, Número 2

Todos os artigos desta edição são acessíveis gratuitamente.

Diferenciação de funções de conjunto usando coberturas Vitali W. E. Hartnett e A. H. Kruse.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 185-209
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Revisão do MathSciNet: 0121457 Uma identidade de operador bidimensional com aplicação para a mudança de sinal em somas de variáveis ​​aleatórias Glen Baxter.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 210-221
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Revisão do MathSciNet: 0119231 Propriedades elementares dos grupos abelianos ordenados Abraham Robinson e Elias Zakon.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 222-236
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Revisão MathSciNet: 0114855 Sobre uniformização de conjuntos em espaços topológicos Maurice Sion.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 237-245
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Revisão do MathSciNet: 0131506 Nota sobre o grau de aproximação por funções analíticas limitadas: Problema $ beta $ J. L. Walsh.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 246-258
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Revisão do MathSciNet: 0120386 Alguns espaços de Hilbert de funções inteiras Louis de Branges.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 259-295
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Revisão do MathSciNet: 0133455 Critérios de oscilação para equações diferenciais lineares de quarta ordem. Henry Howard.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 296-311
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Revisão do MathSciNet: 0117379 Uma nova classe de expansões de fração contínuas para as proporções das funções Heine. III Evelyn Frank.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 312-321
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Revisão do MathSciNet: 0116106 A caracterização das melhores aproximações não lineares de Tchebycheff John R. Rice.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 322-340
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Revisão do MathSciNet: 0117490 Sobre conjuntos analíticos em espaços topológicos Maurice Sion.
Trans. Amer. Matemática. Soc. 96 (1960), 341-354
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Revisão da MathSciNet: 0131507


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Valdivia, M .: On Nikodým boundedness property. Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. RACSAM 107, 355–372 (2013)


Análise Matemática Real

Com base em um curso de honra ministrado pelo autor na UC Berkeley, esta introdução à análise real de graduação dá uma ênfase diferente ao enfatizar a importância das imagens e dos problemas difíceis. Os tópicos incluem: uma construção natural dos números reais, visualização quadridimensional, topologia de conjunto de pontos básicos, espaços de funções, cálculo multivariável por meio de formas diferenciais (levando a uma prova simples do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer) e um tratamento pictórico de Lebesgue teoria. Mais de 150 ilustrações detalhadas elucidam conceitos abstratos e pontos salientes em provas. A exposição é informal e descontraída, com muitos apartes úteis, exemplos, algumas piadas e comentários ocasionais de matemáticos, como Littlewood, Dieudonné e Osserman. Este livro, portanto, consegue ser mais abrangente, mais compreensível e mais agradável do que as introduções padrão à análise.

Novo na segunda edição de Análise Matemática Real é uma apresentação da integração de Lebesgue feita quase inteiramente usando a abordagem underraph de Burkill. As recompensas incluem: provas de imagem concisas dos Teoremas de Convergência Monótona e Dominada, uma prova de uma linha / uma imagem do teorema de Fubini do Princípio de Cavalieri e, em muitos casos, a capacidade de Vejo um resultado integral da teoria da medida. A apresentação inclui o Lema da Cobertura de Vitali, pontos de densidade - que raramente são tratados em livros neste nível - e a diferenciabilidade de funções monótonas em quase todos os lugares. Vários novos exercícios agora se juntam a uma coleção de mais de 500 exercícios que apresentam desafios interessantes e apresentam tópicos especiais para o aluno interessado em dominar este belo assunto.

Charles C. Pugh é professor emérito da Universidade da Califórnia, Berkeley. Seus interesses de pesquisa incluem geometria e topologia, sistemas dinâmicos e hiperbolicidade normal.


Teorema de cobertura de Vitali para subconjuntos arbitrários de espaços métricos duplicados

Eu estive pensando hoje em torno do seguinte exercício nas "Lectures on Analysis on Metric Spaces" de J.Heinonen (veja abaixo a terminologia): provar que a afirmação do Teorema de Cobertura de Vitali para subconjuntos limitados $ A subconjunto X $ implica a afirmação de todos os subconjuntos $ A subconjunto X $.

Aqui $ X $ é um espaço métrico equipado com uma medida externa regular do Borel $ mu $ que está dobrando (as bolas têm medida finita e dobrar o raio de uma bola aumenta sua medida no máximo por um fator constante).

Deixe-me relembrar rapidamente a afirmação real do teorema: em um espaço métrico de duplicação $ (X, mu) $ com $ mu $ Borel regular, qualquer família $ mathcal$ de bolas fechadas centradas em um conjunto $ A subset X $ com a propriedade de que a cada $ a em A $ existem elementos em $ mathcal$ de raios arbitrariamente pequenos admite uma subfamília contável desconexa $ mathcal$ cobrindo quase todos os $ A $.

A prova real de Heinonen funciona para conjuntos de medidas finitas. A conclusão para conjuntos ilimitados é trivial para a medida de Lebesgue em $ mathbb^ n $, e sempre que os limites das bolas têm medida zero (então podemos a.e particionar $ A $ por subconjuntos, admitindo a conclusão de Vitali por famílias mutuamente disjuntas). Se os limites das bolas não forem desprezíveis (pelo menos para alguma família de bolas concêntricas com raios que vão até o infinito), não consigo encontrar o argumento que me leve até lá para subconjuntos arbitrários.

Eu vi algumas referências: Wikipedia (ok, talvez não a melhor) trabalha com medida de Lebesgue, e Evans "Teoria da Medida e Propriedades Finas de Funções" faz isso para Medidas de Radon em $ mathbb^ n $, mas apenas em conjuntos de medidas finitas.

Portanto, antes de prosseguir com a tentativa do problema. Você sabe se isso é verdade ou tem uma dica para prová-lo?


Críticas e recomendações de amplificadores

Revisão da edição anterior: '... introdução completa a uma ampla variedade de tópicos de nível de pós-graduação do primeiro ano em análise ... acessível a qualquer pessoa com uma sólida formação de graduação em cálculo, álgebra linear e análise real.' Zentralblatt MATH

Revisão da edição anterior: 'O autor realmente cobre uma ampla gama de tópicos ... As provas são escritas de uma maneira muito organizada e detalhada ... Acredito que este seja um ótimo livro para auto-estudo, bem como para uso no curso. O livro é ideal para futuros probabilistas, bem como estatísticos, e pode servir como uma boa introdução para matemáticos interessados ​​na teoria da medida. ' Ita Cirovic Donev, MAA Comentários

Revisão da edição anterior: '… consegue lidar com os aspectos técnicos da teoria da medida, que é tradicionalmente considerada seca e inacessível aos alunos (e, eu acho, o material mais difícil que ensinei na graduação) com um leve toque. O livro é eminentemente adequado para um curso (ou dois) para bons alunos de pós-graduação do último ano ou do primeiro ano e tem o potencial de revitalizar a maneira como a teoria da medida é ensinada. ' N. H. Bingham, Jornal da Royal Statistical Society

Resenha da edição anterior: 'Este livro permanecerá uma boa referência sobre o assunto nos próximos anos.' Peter Eichelsbacher, Mathematical Reviews

Revisão da edição anterior: '... este livro bem escrito e cuidadosamente estruturado é uma excelente escolha para um curso de graduação em teoria de medida e integração. A maioria dos bons livros sobre medida e integração são livros de pós-graduação e, portanto, não são ideais para cursos de graduação ... Este livro é voltado para (futuros) analistas e (futuros) probabilistas e, portanto, é adequado para alunos de ambos os grupos. ' Filip Lindskog, Royal Institute of Technology, Journal of the American Statistical Association


Assista o vídeo: Cobertura de brancos. (Novembro 2021).