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2.4.1: Transformação de equações não lineares em equações separáveis ​​(exercícios) - matemática


Q2.4.1

Dentro Exercícios 2.4.1-2.4.4 resolva a equação de Bernoulli fornecida.

1. (y '+ y = y ^ 2 )

2. ({7xy'-2y = - {x ^ 2 over y ^ 6}} )

3. (x ^ 2y '+ 2y = 2e ^ {1 / x} y ^ {1/2} )

4. ({(1 + x ^ 2) y '+ 2xy = {1 over (1 + x ^ 2) y}} )

Q2.4.2

Dentro Exercícios 2.4.5 e 2.4.6 encontre todas as soluções. Além disso, plote um campo de direção e algumas curvas integrais na região retangular indicada.

5. (y'-xy = x ^ 3y ^ 3; quad {- 3 le x le 3, 2 le y ge 2 } )

6. ({y '- {1 + x over 3x} y = y ^ 4}; quad {- 2 le x le2, -2 le y le2 } )

Q2.4.3

Dentro Exercícios 2.4.7-2.4.11 resolver o problema do valor inicial.

7. (y'-2y = xy ^ 3, quad y (0) = 2 sqrt2 )

8. (y'-xy = xy ^ {3/2}, quad y (1) = 4 )

9. (xy '+ y = x ^ 4y ^ 4, quad y (1) = 1/2 )

10. (y'-2y = 2y ^ {1/2}, quad y (0) = 1 )

11. ({y'-4y = {48x over y ^ 2}, quad y (0) = 1} )

Q2.4.4

Dentro Exercícios 2.4.12 e 2.4.13 resolva o problema do valor inicial e represente graficamente a solução.

12. (x ^ 2y '+ 2xy = y ^ 3, quad y (1) = 1 / sqrt2 )

13. (y'-y = xy ^ {1/2}, quad y (0) = 4 )

Q2.4.5

14. Você deve ter notado que a equação logística [P '= aP (1- alpha P) ] do modelo de Verhulst para o crescimento populacional pode ser escrita na forma de Bernoulli como [P'-aP = -a alpha P ^ 2. ] Isso não é particularmente interessante, uma vez que a equação logística é separável e, portanto, solucionável pelo método estudado na Seção 2.2. Portanto, vamos considerar um modelo mais complicado, onde (a ) é uma constante positiva e ( alpha ) é uma função contínua positiva de (t ) em ([0, infty) ). A equação para este modelo é [P'-aP = -a alpha (t) P ^ 2, ] uma equação de Bernoulli não separável.

  1. Supondo que (P (0) = P_0> 0 ), encontre (P ) para (t> 0 ).
  2. Verifique se o seu resultado se reduz aos resultados conhecidos para o modelo malthusiano onde ( alpha = 0 ) e o modelo Verhulst onde ( alpha ) é uma constante diferente de zero.
  3. Supondo que [ lim_ {t to infty} e ^ {- at} int_0 ^ t alpha ( tau) e ^ {a tau} , d tau = L ] existe (finito ou infinito ), encontre ( lim_ {t to infty} P (t) ).

Q2.4.6

Dentro Exercícios 2.4.15-2.4.18 resolva a equação explicitamente.

15. (y '= {y + x sobre x} )

16. (y '= {y ^ 2 + 2xy over x ^ 2} )

17. (xy ^ 3y '= y ^ 4 + x ^ 4 )

18. (y '= {y sobre x} + sec {y sobre x} )

Q2.4.7

Dentro Exercícios 2.4.19-2.4.21 resolva a equação explicitamente. Além disso, plote um campo de direção e algumas curvas integrais na região retangular indicada.

19. (x ^ 2y '= xy + x ^ 2 + y ^ 2; quad {- 8 le x le 8, -8 le y le 8 } )

20. (xyy '= x ^ 2 + 2y ^ 2; quad {- 4 le x le 4, -4 le y le 4 } )

21. (y '= {2y ^ 2 + x ^ 2e ^ {- (y / x) ^ 2} over 2xy}; quad {- 8 le x le 8, -8 le y le 8 } )

Q2.4.8

Dentro Exercícios 2.4.22-2.4.27 resolver o problema do valor inicial.

22. (y '= {xy + y ^ 2 over x ^ 2}, quad y (-1) = 2 )

23. (y '= {x ^ 3 + y ^ 3 over xy ^ 2}, quad y (1) = 3 )

24. (xyy '+ x ^ 2 + y ^ 2 = 0, quad y (1) = 2 )

25. (y '= {y ^ 2-3xy-5x ^ 2 over x ^ 2}, quad y (1) = - 1 )

26. (x ^ 2y '= 2x ^ 2 + y ^ 2 + 4xy, quad y (1) = 1 )

27. (xyy '= 3x ^ 2 + 4y ^ 2, quad y (1) = sqrt {3} )

Q2.4.9

Dentro Exercícios 2.4.28-2.4.34 resolver a equação homogênea dada implicitamente.

28. (y '= {x + y sobre x-y} )

29. ((y'x-y) ( ln | y | - ln | x |) = x )

30. (y '= {y ^ 3 + 2xy ^ 2 + x ^ 2y + x ^ 3 over x (y + x) ^ 2} )

31. (y '= {x + 2y over 2x + y} )

32. (y '= {y sobre y-2x} )

33. (y '= {xy ^ 2 + 2y ^ 3 over x ^ 3 + x ^ 2y + xy ^ 2} )

34. (y '= {x ^ 3 + x ^ 2y + 3y ^ 3 over x ^ 3 + 3xy ^ 2} )

Q2.4.10

35.

  1. Encontre uma solução para o problema do valor inicial [x ^ 2y '= y ^ 2 + xy-4x ^ 2, quad y (-1) = 0 tag {A} ] no intervalo ((- infty , 0) ). Verifique se esta solução é realmente válida em ((- infty, infty) ).
  2. Use o Teorema 2.3.1 para mostrar que (A) tem uma solução única em ((- infty, 0) ).
  3. Trace um campo de direção para a equação diferencial em (A) em um quadrado [ {- r le x le r, -r le y le r }, ] onde (r ) é qualquer positivo número. Represente graficamente a solução obtida em (a) neste campo.
  4. Represente graficamente outras soluções de (A) que são definidas em ((- infty, infty) ).
  5. Represente graficamente outras soluções de (A) que são definidas apenas em intervalos da forma ((- infty, a) ), onde é um número positivo finito.

36.

  1. Resolva a equação [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2 tag {A} ] implicitamente.
  2. Trace um campo de direção para (A) em um quadrado [ {0 le x le r, 0 le y le r } ] onde (r ) é qualquer número positivo.
  3. Seja (K ) um número inteiro positivo. (Você pode ter que tentar várias opções para (K ).) Soluções gráficas para os problemas de valor inicial [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2, quad y (r / 2) = {kr sobre K}, ] para (k = 1 ), (2 ),…, (K ). Com base em suas observações, encontre as condições nos números positivos (x_0 ) e (y_0 ) de modo que o problema do valor inicial [xyy '= x ^ 2-xy + y ^ 2, quad y (x_0) = y_0, tag {B} ] tem uma solução única (i) em ((0, infty) ) ou (ii) apenas em um intervalo ((a, infty) ), onde (a > 0 )?
  4. O que você pode dizer sobre o gráfico da solução de (B) como (x a infty )? (Novamente, suponha que (x_0> 0 ) e (y_0> 0 ).)

37.

  1. Resolva a equação [y '= {2y ^ 2-xy + 2x ^ 2 over xy + 2x ^ 2} tag {A} ] implicitamente.
  2. Trace um campo de direção para (A) em um quadrado [ {- r le x le r, -r le y le r } ] onde (r ) é qualquer número positivo. Representando graficamente as soluções de (A), determine as condições necessárias e suficientes em ((x_0, y_0) ) de modo que (A) tenha uma solução em (i) ((- infty, 0) ) ou (ii) ((0, infty) ) de modo que (y (x_0) = y_0 ).

38. Siga as instruções de Exercício 2.4.37 para a equação [y '= {xy + x ^ 2 + y ^ 2 over xy}. ]

39. Escolha qualquer equação homogênea não linear (y '= q (y / x) ) que desejar e plote os campos de direção no quadrado ( {- r le x le r, -r le y le r } ), onde (r> 0 ). O que acontece com o campo de direção conforme você varia (r )? Por quê?

40. Prove: se (ad-bc ne 0 ), a equação [y '= {ax + by + alpha over cx + dy + beta} ] pode ser transformada na equação não linear homogênea [{ dY over dX} = {aX + bY over cX + dY} ] pela substituição (x = X-X_0, y = Y-Y_0 ), onde (X_0 ) e (Y_0 ) são constantes adequadamente escolhidas.

Q2.4.11

Dentro Exercícios 2.4.21-2.4.43 use um método sugerido por Exercício 2.4.40 para resolver a equação dada implicitamente.

41. (y '= {-6x + y-3 over 2x-y-1} )

42. (y '= {2x + y + 1 over x + 2y-4} )

43. (y '= {-x + 3y-14 over x + y-2} )

Q2.4.12

Dentro Exercícios 2.4.44-2.4.51 encontre uma função (y_ {1} ) tal que a substituição (y = uy_ {1} ) transforme a equação dada em uma equação separável da forma (2.4.6). Em seguida, resolva a equação fornecida explicitamente.

44. (3xy ^ 2y '= y ^ 3 + x )

45. (xyy '= 3x ^ 6 + 6y ^ 2 )

46. ​​ (x ^ 3y '= 2 (y ^ 2 + x ^ 2y-x ^ 4) )

47. (y '= y ^ 2e ^ {- x} + 4y + 2e ^ x )

48. (y '= {y ^ 2 + y tan x + tan ^ 2 x over sin ^ 2x} )

49. (x ( ln x) ^ 2y '= - 4 ( ln x) ^ 2 + y ln x + y ^ 2 )

50. (2x (y + 2 sqrt x) y '= (y + sqrt x) ^ 2 )

51. ((y + e ^ {x ^ 2}) y '= 2x (y ^ 2 + ye ^ {x ^ 2} + e ^ {2x ^ {2}} )

Q2.4.13

52. Resolva o problema do valor inicial [y '+ {2 over x} y = {3x ^ 2y ^ 2 + 6xy + 2 over x ^ 2 (2xy + 3)}, quad y (2) = 2 . ]

53. Resolva o problema do valor inicial [y '+ {3 over x} y = {3x ^ 4y ^ 2 + 10x ^ 2y + 6 over x ^ 3 (2x ^ 2y + 5)}, quad y ( 1) = 1. ]

54. Prove: Se (y ) é uma solução de uma equação não linear homogênea (y '= q (y / x) ), então é (y_1 = y (ax) / a ), onde ( a ) é qualquer constante diferente de zero.

55. A generalizado Equação de Riccati tem a forma [y '= P (x) + Q (x) y + R (x) y ^ 2. tag {A} ] (Se (R equiv-1 ), (A) é um Equação de Riccati.) Seja (y_1 ) uma solução conhecida e (y ) uma solução arbitrária de (A). Let (z = y-y_1 ). Mostre que (z ) é uma solução de uma equação de Bernoulli com (n = 2 ).

Q2.4.14

Dentro Exercícios 2.4.56-2.4.59, dado que (y_ {1} ) é uma solução da equação dada, use o método sugerido por Exercício 2.4.55 para encontrar outras soluções.

56. (y '= 1 + x - (1 + 2x) y + xy ^ 2 ); (y_1 = 1 )

57. (y '= e ^ {2x} + (1-2e ^ x) y + y ^ 2 ); (y_1 = e ^ x )

58. (xy '= 2-x + (2x-2) y-xy ^ 2 ); (y_1 = 1 )

59. (xy '= x ^ 3 + (1-2x ^ 2) y + xy ^ 2 ); (y_1 = x )


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