Artigos

13.1E: Funções de Variáveis ​​Múltiplas (Exercícios) - Matemática


13.1: Funções de múltiplas variáveis

Para os exercícios a seguir, avalie cada função nos valores indicados.

1) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2. ) Encontre (W (2, −1), W (−3,6) ).

Responder:
(W (2, −1) = 17, quad W (−3,6) = 72 )

2) (W (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 ). Encontre (W (2 + h, 3 + h). )

3) O volume de um cilindro circular direito é calculado por uma função de duas variáveis, (V (x, y) = πx ^ 2y, ) onde (x ) é o raio do cilindro circular direito e ( y ) representa a altura do cilindro. Avalie (V (2,5) ) e explique o que isso significa.

Responder:
(V (2,5) = 20π , text {unidades} ^ 3 ) Este é o volume quando o raio é (2 ) e a altura é (5 ).

4) Um tanque de oxigênio é construído com um cilindro direito de altura (y ) e raio (x ) com dois hemisférios de raio (x ) montados na parte superior e inferior do cilindro. Expresse o volume do cilindro como uma função de duas variáveis, (x ) e (y ), encontre (V (10,2) ) e explique o que isso significa.

Para os exercícios 5 - 10, encontre o domínio e o intervalo da função dada. Indique o domínio na notação set-builder e o intervalo na notação de intervalo.

5) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x in rm I ! R, y in rm I ! R } ) Ou seja, todos os pontos no plano (xy )
Intervalo: ([0, infty) )

6) (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2−4} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x ^ 2 + y ^ 2 ge 4 } )
Intervalo: ([0, infty) )

7) (f (x, y) = 4 ln (y ^ 2 − x) )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x Intervalo: ((- infty, infty) )

8) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} le 1 } )
Intervalo: ([0, 4] )

9) (z = arccos (y − x) )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x - 1 le y le x + 1 } ) Ou seja, todos os pontos entre os gráficos de (y = x -1 ) e (y = x +1 ).
Intervalo: ([0, pi] )

10) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | x neq 0 } )
Intervalo: ((- infty, infty) )

Encontre a gama de funções.

11) (g (x, y) = sqrt {16−4x ^ 2 − y ^ 2} )

Responder:
( {z | 0≤z≤4 } )

12) (V (x, y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

13) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

Responder:
O conjunto ( rm I ! R )

Nos exercícios 14 - 29, encontre as curvas de nível de cada função nos valores indicados de (c ) para visualizar a função dada. Esboce um gráfico de contorno para os exercícios em que são solicitados mais de 3 valores de (c ).

14) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 1 )

15) (z (x, y) = y ^ 2 − x ^ 2, quad c = 4 )

Responder:
(y ^ 2 − x ^ 2 = 4, ) uma hipérbole

16) (g (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2; quad c = 0, 1, 2, 3, 4, 9 )

17) (g (x, y) = 4 − x − y; quad c = 0,1, 2, 3, 4 )

Responder:
As curvas de nível são linhas com (y = -x + (4 - c) ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = 0: , y = -x + 4 ),
(c = 1: , y = -x + 3 ),
(c = 2: , y = -x + 2 ),
(c = 3: , y = -x + 1 ),
(c = 4: , y = -x ).
O gráfico de contorno consiste em uma série de linhas paralelas.

18) (f (x, y) = xy; c = 1; quad c = −1 )

19) (h (x, y) = 2x − y; quad c = -2,0,2 )

Responder:
(2x − y = 0,2x − y = −2,2x − y = 2; ) três linhas

20) (f (x, y) = x ^ 2 − y; quad c = 1,2 )

21) (g (x, y) = dfrac {x} {x + y}; c = −1,0,1,2 )

Responder:
As curvas de nível são linhas com a forma (y = x left ( frac {1-c} {c} right) ). Em (c = 0 ), resolvemos diretamente da equação ( dfrac {x} {x + y} = 0 ) para obter (x = 0 ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = -1: , y = -2x ),
(c = 0: , x = 0, text {com} y ne 0 ),
(c = 1: , y = 0, text {com} x ne 0 ),
(c = 2: , y = - frac {1} {2} x ).

22) (g (x, y) = x ^ 3 − y; quad c = −1,0,2 )

23) (g (x, y) = e ^ {xy}; quad c = frac {1} {2}, 3 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma, (y = frac { ln c} {x} ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = frac {1} {2}: , y = frac { ln frac {1} {2}} {x} ) que pode ser reescrito como, (y = - frac { ln 2} {x} )
(c = 3: , y = frac { ln 3} {x} ).

24) (f (x, y) = x ^ 2; quad c = 4,9 )

25) (f (x, y) = xy − x; quad c = −2,0,2 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma: (y = frac {c} {x} + 1 ).
Aqui (y = frac {-2} {x} + 1, quad y = 1, quad y = frac {2} {x} + 1 ) ou (xy − x = −2, , xy − x = 0, , xy − x = 2 )

26) (h (x, y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2); quad c = −1,0,1 )

27) (g (x, y) = ln ( frac {y} {x ^ 2}); quad c = −2,0,2 )

Responder:
As curvas de nível têm a forma, (y = e ^ c x ^ 2 ).
Para cada valor de (c ) são:
(c = -2: , y = e ^ {- 2} x ^ 2 ),
(c = 0: , y = x ^ 2 ),
(c = 2: , y = e ^ {2} x ^ 2 ).

28) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad c = 3 )

29) (f (x, y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2}, quad c = ) qualquer constante

Responder:
As curvas de nível são parábolas da forma (y = cx ^ 2−2, text {com} x ne 0 ).

Nos exercícios 30-32, encontre os traços verticais das funções nos valores indicados de (x ) e (y ) e plote os traços.

30) (z = 4 − x − y, quad x = 2 )

31) (f (x, y) = 3x + y ^ 3, quad x = 1 )

Responder:

(z = 3 + y ^ 3, ) uma curva no (zy ) - plano com regras paralelas ao eixo (x )

32) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad x = 1 )

Nos exercícios 33 - 38, encontre o domínio e a amplitude de cada função.

33) (z = sqrt {100−4x ^ 2−25y ^ 2} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y) | frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {4} ≤1 } )
Intervalo: ([0, 10] )

34) (z = ln (x − y ^ 2) )

35) (f (x, y, z) = dfrac {1} { sqrt {36−4x ^ 2−9y ^ 2 − z ^ 2}} )

Responder:
Domínio: ( {(x, y, z) | frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {36} <1 } )
Intervalo: ([ frac {1} {6}, infty) )

36) (f (x, y, z) = sqrt {49 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

37) (f (x, y, z) = sqrt [3] {16 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

Responder:
Domínio: Todos os pontos em (xyz ) - espaço
Intervalo: ( big (- infty, sqrt [3] {16} big] )

38) (f (x, y) = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Nos exercícios 39-40, trace um gráfico da função.

39) (z = f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

40) (z = x ^ 2 + y ^ 2 )

41) Use a tecnologia para representar graficamente (z = x ^ 2y. )

Responder:

Nos exercícios 42-46, esboce a função encontrando suas curvas de nível. Verifique o gráfico usando tecnologia, como CalcPlot3D.

42) (f (x, y) = sqrt {4 − x ^ 2 − y ^ 2} )

43) (f (x, y) = 2− sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

44) (z = 1 + e ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

45) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

Responder:

46) (z = y ^ 2 − x ^ 2 )

47) Descreva as linhas de contorno para vários valores de (c ) para (z = x ^ 2 + y ^ 2−2x − 2y. )

Responder:
As linhas de contorno são círculos concêntricos centrados no ponto, ((1, 1) ).
Você pode ver isso completando o quadrado após definir esta função igual a (c ).
Ou seja, escrevemos (x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2−2y + 1 = c + 2 ) que pode ser reescrito como, ((x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = c + 2 ).
Isso nos dá círculos centralizados no ponto, ((1, 1) ), cada um com um raio de ( sqrt {c + 2} ).

Nos exercícios 48 - 52, encontre a superfície nivelada para o valor dado de (c ) para cada função de três variáveis ​​e descreva-a.

48) (w (x, y, z) = x − 2y + z, quad c = 4 )

49) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, quad c = 9 )

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ), uma esfera de raio (3 )

50) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = −4 )

51) (w (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2, quad c = 4 )

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 4, ) um hiperbolóide de uma folha

52) (w (x, y, z) = 9x ^ 2−4y ^ 2 + 36z ^ 2, quad c = 0 )

Nos exercícios 53 - 55, encontre uma equação da curva de nível de (f ) que contém o ponto (P ).

53) (f (x, y) = 1−4x ^ 2 − y ^ 2, quad P (0,1) )

Responder:
(4x ^ 2 + y ^ 2 = 1, )

54) (g (x, y) = y ^ 2 arctan x, quad P (1,2) )

55) (g (x, y) = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2), quad P (1,0) )

Responder:
(1 = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2) )

56) A força (E ) de um campo elétrico no ponto ((x, y, z) ) resultante de um fio carregado infinitamente longo ao longo do eixo (y ) é dada por (E ( x, y, z) = k / sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), onde (k ) é uma constante positiva. Para simplificar, deixe (k = 1 ) e encontre as equações das superfícies de nível para (E = 10 ) e (E = 100. )

57) Uma placa fina de ferro está localizada no plano (xy ) - A temperatura (T ) em graus Celsius em um ponto (P (x, y) ) é inversamente proporcional ao quadrado de seu distância da origem. Expresse (T ) como uma função de (x ) e (y ).

Responder:
(T (x, y) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2} )

58) Consulte o problema anterior. Usando a função de temperatura encontrada lá, determine a constante de proporcionalidade se a temperatura no ponto (P (1,2) ) é (50 ° C. ) Use esta constante para determinar a temperatura no ponto (Q (3, 4). )

59) Consulte o problema anterior. Encontre as curvas de nível para (T = 40 ° C ) e (T = 100 ° C, ) e descreva o que as curvas de nível representam.

Responder:
(x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {40}, quad x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {100} ). As curvas de nível representam círculos de raios ( sqrt {10k} / 20 ) e ( sqrt {k} / 10 )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) editou o LaTeX e adicionou gráficos de contorno às respostas para os problemas 17, 21 e 29.