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Front Matter - Matemática


Front Matter - Matemática

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Este livro o ajudará a entender matemática elementar mais profundamente, ganhar facilidade com a criação e uso de notação matemática, desenvolver o hábito de procurar razões e criar explicações matemáticas e tornar-se mais confortável explorando situações matemáticas desconhecidas.

O objetivo principal deste livro é ajudá-lo a aprender a pensar como um matemático de algumas maneiras muito específicas. Você irá:

Dê sentido aos problemas e persevere em resolvê-los. Você desenvolverá e demonstrará essa habilidade trabalhando em problemas difíceis, fazendo progressos graduais e revisando soluções para problemas à medida que aprende mais.

Raciocine de forma abstrata e quantitativa. Você demonstrará essa habilidade aprendendo a representar situações usando notação matemática (abstração), bem como criando e testando exemplos (tornando as situações mais concretas).

Construa argumentos viáveis ​​e critique o raciocínio dos outros. Espera-se que você crie explicações escritas e verbais para suas soluções de problemas. As perguntas mais importantes nesta aula são “Por que? ” e "Como você sabe que você é direito? ” Pratique fazer essas perguntas a si mesmo, ao seu professor e aos outros alunos.

Modelo com matemática. Você demonstrará essa habilidade inventando notações matemáticas e desenhos para representar situações físicas e resolver problemas.

Use as ferramentas adequadas estrategicamente. Você deverá usar computadores, calculadoras, dispositivos de medição e outras ferramentas matemáticas quando forem úteis.

Preste atenção à precisão. Você escreverá e expressará ideias matemáticas de forma clara, usando termos matemáticos de forma adequada, fornecendo definições e descrições claras de suas ideias e distinguindo entre ideias semelhantes (por exemplo, "fator" versus "múltiplo".)

Procure e faça uso da estrutura matemática. Você encontrará, descreverá e, mais importante, explicará os padrões que surgem em várias situações, incluindo problemas, tabelas de números e expressões algébricas.

Procure e expresse regularidade em raciocínios repetidos. Você demonstrará essa habilidade reconhecendo (e expressando) quando cálculos ou ideias são repetidos e como isso pode ser usado para tirar conclusões matemáticas (por exemplo, por que um decimal deve ser repetido) ou desenvolver atalhos para cálculos.

Ao longo do livro, você vai aprenda a aprender matemática sozinho lendo, trabalhando em problemas e dando sentido a novas ideias por conta própria e em colaboração com outros alunos da classe.

Este livro foi desenvolvido na University of Hawai`i em Mānoa para os cursos de Matemática 111 e 112 (Matemática para Professores Elementares I e II). Os materiais foram escritos pela Prof. Michelle Manes com grande ajuda de muitas pessoas.

Tenho uma grande dívida para com o Dr. Tristan Holmes, que ministrou os cursos por anos e ajudou muito na revisão e no formato atual do livro didático. Agradeço também aos alunos de graduação que ajudaram a projetar e desenvolver a versão original do iBook desses materiais: Amy Brandenberg, Jon Brown, Jessica Delgado, Paul Nguyen, Geoff Patterson e, especialmente, Ryan Felix. Agradeço a Monique Chyba, PI do projeto SUPER-M (bolsa NSF DGE-0841223), por apoiar este trabalho, e à Faculdade de Ciências Naturais e à Faculdade de Educação de Mānoa da UH por seu apoio também.

Agradeço também às centenas de alunos de matemática 111 e 112 que eu ensinei nos últimos dez anos. Seu entusiasmo, energia, alegria e humor é o que me faz continuar.

Agradeço a todos os meus colegas e professores, do passado e do presente, com quem aprendi muito sobre matemática e educação. Agradecimentos especiais à Dra. Carol Findell e à Dra. Suzanne Chapin da Universidade de Boston, que me deram uma perspectiva totalmente nova sobre o ensino e a aprendizagem da matemática.

Nunca poderei agradecer ao Dr. Al Cuoco o suficiente por seu apoio e liderança intelectual. Devo a ele mais do que posso dizer.

Salvo indicação em contrário, as imagens foram criadas por Michelle Manes usando LaTeX, Mathematica ou Geometer & # 8217s Sketchpad.


Front Matter - Matemática

Este livro o ajudará a entender matemática elementar mais profundamente, ganhar facilidade com a criação e uso de notação matemática, desenvolver o hábito de procurar razões e criar explicações matemáticas e tornar-se mais confortável explorando situações matemáticas desconhecidas.

O objetivo principal deste livro é ajudá-lo a aprender a pensar como um matemático de algumas maneiras muito específicas. Você irá:

Dê sentido aos problemas e persevere em resolvê-los. Você desenvolverá e demonstrará essa habilidade trabalhando em problemas difíceis, fazendo progressos graduais e revisando soluções para problemas à medida que aprende mais.

Raciocine de forma abstrata e quantitativa. Você demonstrará essa habilidade aprendendo a representar situações usando notação matemática (abstração), bem como criando e testando exemplos (tornando as situações mais concretas).

Construa argumentos viáveis ​​e critique o raciocínio dos outros. Espera-se que você crie explicações escritas e verbais para suas soluções de problemas. As perguntas mais importantes nesta aula são “Por que? ” e "Como você sabe que você é direito? ” Pratique fazer essas perguntas a si mesmo, ao seu professor e aos outros alunos.

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Use as ferramentas adequadas estrategicamente. Você deverá usar computadores, calculadoras, dispositivos de medição e outras ferramentas matemáticas quando forem úteis.

Preste atenção à precisão. Você escreverá e expressará ideias matemáticas de forma clara, usando termos matemáticos de forma adequada, fornecendo definições e descrições claras de suas ideias e distinguindo entre ideias semelhantes (por exemplo, "fator" versus "múltiplo".)

Procure e faça uso da estrutura matemática. Você encontrará, descreverá e, mais importante, explicará os padrões que surgem em várias situações, incluindo problemas, tabelas de números e expressões algébricas.

Procure e expresse regularidade em raciocínios repetidos. Você demonstrará essa habilidade reconhecendo (e expressando) quando cálculos ou ideias são repetidos e como isso pode ser usado para tirar conclusões matemáticas (por exemplo, por que um decimal deve ser repetido) ou desenvolver atalhos para cálculos.

Ao longo do livro, você vai aprenda a aprender matemática sozinho lendo, trabalhando em problemas e dando sentido a novas ideias por conta própria e em colaboração com outros alunos da classe.

Este livro foi desenvolvido na University of Hawai`i em Mānoa para os cursos de Matemática 111 e 112 (Matemática para Professores Elementares I e II). Os materiais foram escritos pela Prof. Michelle Manes com grande ajuda de muitas pessoas.

Tenho uma grande dívida para com o Dr. Tristan Holmes, que ministrou os cursos por anos e ajudou muito na revisão e no formato atual do livro didático. Agradeço também aos alunos de graduação que ajudaram a projetar e desenvolver a versão original do iBook desses materiais: Amy Brandenberg, Jon Brown, Jessica Delgado, Paul Nguyen, Geoff Patterson e, especialmente, Ryan Felix. Agradeço a Monique Chyba, PI do projeto SUPER-M (bolsa NSF DGE-0841223), por apoiar este trabalho, e ao UH Mānoa College of Natural Sciences e College of Education por seu apoio também.

Agradeço também às centenas de alunos de matemática 111 e 112 que eu ensinei nos últimos dez anos. Seu entusiasmo, energia, alegria e humor é o que me faz continuar.

Agradeço a todos os meus colegas e professores, do passado e do presente, com quem aprendi muito sobre matemática e educação. Agradecimentos especiais à Dra. Carol Findell e à Dra. Suzanne Chapin da Universidade de Boston, que me deram uma perspectiva totalmente nova sobre o ensino e a aprendizagem da matemática.

Nunca poderei agradecer ao Dr. Al Cuoco o suficiente por seu apoio e liderança intelectual. Devo a ele mais do que posso dizer.

Salvo indicação em contrário, as imagens foram criadas por Michelle Manes usando LaTeX, Mathematica ou Geometer & # 8217s Sketchpad.


Como usar este livro

Em vez disso, preste atenção aos significados por trás das palavras.

Mas, não preste atenção apenas aos significados por trás das palavras

Em vez disso, preste atenção à sua profunda experiência com esses significados.

& # 151 Tenzin Gyatso, o décimo quarto Dalai Lama

Esta citação expressa a filosofia na qual este livro se baseia. Este livro apresentará uma série de problemas. Você deve explorar cada pergunta e escrever seu pensamento de uma forma que possa ser compartilhada com outras pessoas. Ao fazer isso, você será capaz de desenvolver ideias ativamente antes de ler ou ouvir passivamente os comentários de outras pessoas. Ao trabalhar nos problemas, você deve ter a mente aberta e flexível e deixar seu pensamento vagar. Alguns problemas terão respostas curtas e razoavelmente definitivas, e outros levarão a áreas profundas de significado que podem ser investigadas quase indefinidamente. Você não deve aceitar nada só porque se lembra da escola ou porque alguma autoridade diz que é bom. Insista em compreender (ou ver) por que isso é verdade ou o que significa para você. Preste atenção à sua profunda experiência com esses significados.

  • Ajuda a construir autoconfiança.
  • Você verá quais são suas verdadeiras dificuldades.
  • Quando você vir uma solução ou prova mais tarde, é mais provável que você a veja como uma resposta a uma pergunta que você tem.

Ao longo do texto, há uma ênfase em olhar para curvas e superfícies de tantas maneiras diferentes quanto possível, mas com uma ênfase particular em abordagens intrínsecas, sem coordenadas, a fim de destacar a geometria. Para os leitores que desejam evitar as coordenadas locais podem, em geral, fazê-lo deixando de fora os problemas e seções que se referem a elas. Do início ao Problema 4.7, as coordenadas locais são usadas apenas como exemplos. Coordenadas locais e os formalismos associados são necessários de uma maneira crucial apenas no Problema 4.8 e nos problemas seguintes, 6.1.


Conteúdo

Em 1994, Miguel Alcubierre propôs um método para alterar a geometria do espaço, criando uma onda que faria com que a estrutura do espaço à frente de uma espaçonave se contraísse e o espaço atrás dela se expandisse. [5] [1] [2] A nave, então, pegaria essa onda dentro de uma região de espaço plano, conhecida como bolha de urdidura, e não se moveria dentro dessa bolha, mas, em vez disso, seria carregada conforme a própria região se move devido às ações da unidade.

A métrica de Alcubierre define o espaço-tempo do warp drive. É uma variedade Lorentziana que, se interpretada no contexto da relatividade geral, permite que uma bolha de dobra apareça em um espaço-tempo previamente plano e se afaste efetivamente mais rápido que a luz. O interior da bolha é um quadro de referência inercial e os habitantes não experimentam uma aceleração adequada. Este método de transporte não envolve objetos em movimento a velocidades mais rápidas que a da luz em relação ao conteúdo da bolha de dobra, ou seja, um feixe de luz dentro da bolha de dobra sempre se moveria mais rapidamente do que a nave. Como os objetos dentro da bolha não estão se movendo (localmente) mais rapidamente do que a luz, a formulação matemática da métrica de Alcubierre é consistente com as reivindicações convencionais das leis da relatividade (ou seja, que um objeto com massa não pode atingir ou exceder a velocidade da luz ) e os efeitos relativísticos convencionais, como a dilatação do tempo, não se aplicariam como seriam com o movimento convencional em velocidades próximas à da luz.

A unidade de Alcubierre, no entanto, permanece um conceito hipotético com problemas aparentemente difíceis, embora a quantidade de energia necessária não seja mais considerada inatingivelmente grande. [8]

Usando o formalismo ADM da relatividade geral, o espaço-tempo é descrito por uma foliação de hipersuperfícies semelhantes a espaço de tempo coordenado constante t, com a métrica assumindo a seguinte forma geral:

  • α é a função de lapso que dá o intervalo de tempo adequado entre as hipersuperfícies próximas,
  • β i é o vetor de deslocamento que relaciona os sistemas de coordenadas espaciais em diferentes hipersuperfícies,
  • γeu j é uma métrica definida positiva em cada uma das hipersuperfícies.

A forma particular que Alcubierre estudou [5] é definida por:

com parâmetros arbitrários R & gt 0 e σ & gt 0. A forma específica de Alcubierre da métrica pode, portanto, ser escrita

Com esta forma particular da métrica, pode ser mostrado que a densidade de energia medida por observadores cuja velocidade 4 é normal para as hipersuperfícies é dada por

onde g é o determinante do tensor métrico.

Assim, como a densidade de energia é negativa, é necessária matéria exótica para viajar mais rapidamente do que a velocidade da luz. [5] A existência de matéria exótica não é teoricamente descartada, no entanto, gerar e sustentar matéria exótica suficiente para realizar feitos como viagens mais rápidas do que a luz (e para manter aberta a "garganta" de um buraco de minhoca) é considerado impraticável . [ citação necessária De acordo com o escritor Robert Low, no contexto da relatividade geral, é impossível construir uma unidade de dobra na ausência de matéria exótica. [9]

O astrofísico Jamie Farnes, da Universidade de Oxford, propôs uma teoria, publicada na revista científica científica Astronomy & amp Astrophysics, que unifica a energia escura e a matéria escura em um único fluido escuro, e que pode ser testada por novos instrumentos científicos por volta de 2030 [10] Farnes descobriu que Albert Einstein explorou a ideia de massas negativas gravitacionalmente repulsivas ao desenvolver as equações da relatividade geral, uma ideia que leva a uma "bela" hipótese em que o cosmos tem quantidades iguais de qualidades positivas e negativas. A teoria de Farnes baseia-se em massas negativas que se comportam de forma idêntica à física do impulso de Alcubierre, fornecendo uma solução natural para a atual "crise na cosmologia" devido a um parâmetro de Hubble variável no tempo. [11]

Como a teoria de Farnes permite que uma massa positiva (ou seja, um navio) alcance uma velocidade igual à velocidade da luz, ela foi apelidada de "controversa". [12] Se a teoria estiver correta, que tem sido altamente debatida na literatura científica, ela explicaria a energia escura, a matéria escura, permitiria curvas fechadas tipo tempo (veja viagem no tempo) e sugeriria que um impulso de Alcubierre é fisicamente possível com matéria exótica . [13]

No que diz respeito a certos efeitos específicos da relatividade especial, como a contração de Lorentz e a dilatação do tempo, a métrica de Alcubierre possui alguns aspectos aparentemente peculiares. Em particular, Alcubierre mostrou que um navio usando um propulsor Alcubierre viaja em uma queda livre geodésica, mesmo enquanto a bolha de dobra está acelerando: sua tripulação estaria em queda livre enquanto acelerava sem experimentar as forças g de aceleração. Enormes forças de maré, entretanto, estariam presentes perto das bordas do volume do espaço plano por causa da grande curvatura do espaço ali, mas a especificação adequada da métrica manteria as forças de maré muito pequenas dentro do volume ocupado pelo navio. [5]

A métrica original do warp-drive e suas variantes simples têm a forma ADM, que é freqüentemente usada na discussão da formulação do valor inicial da relatividade geral. Isso pode explicar o equívoco generalizado de que este espaço-tempo é um solução da equação de campo da relatividade geral. [ citação necessária ] As métricas no formato ADM são adaptado a uma certa família de observadores inerciais, mas esses observadores não são realmente fisicamente distintos de outras famílias. Alcubierre interpretou sua "bolha de dobra" em termos de uma contração do espaço à frente da bolha e uma expansão atrás, mas essa interpretação pode ser enganosa, [14] uma vez que a contração e a expansão na verdade se referem ao movimento relativo de membros próximos da família de observadores ADM. [ citação necessária ]

Na relatividade geral, geralmente se especifica primeiro uma distribuição plausível de matéria e energia e, em seguida, encontra a geometria do espaço-tempo associado a ela, mas também é possível executar as equações de campo de Einstein na outra direção, primeiro especificando uma métrica e, em seguida, encontrando o tensor de energia-momento associado a ele, e isso é o que Alcubierre fez ao construir sua métrica. Essa prática significa que a solução pode violar várias condições de energia e exigir matéria exótica. A necessidade de matéria exótica levanta questões sobre se é possível distribuir a matéria em um espaço-tempo inicial que carece de uma bolha de dobra de tal forma que a bolha é criada em um momento posterior, embora alguns físicos tenham proposto modelos de espaços-tempos dinâmicos de warp-drive em em que uma bolha de urdidura é formada em um espaço previamente plano. [4] Além disso, de acordo com Serguei Krasnikov, [15] gerando uma bolha em um espaço previamente plano para um mão única A viagem FTL requer forçar a matéria exótica a se mover em velocidades locais mais rápidas do que a da luz, algo que exigiria a existência de tachyons, embora Krasnikov também observe que quando o espaço-tempo não é plano desde o início, um resultado semelhante poderia ser alcançado sem tachyons. colocando com antecedência alguns dispositivos ao longo do caminho de viagem e programando-os para entrar em operação em momentos pré-designados e para operar de maneira pré-designada. Alguns métodos sugeridos evitam o problema do movimento taquiônico, mas provavelmente gerariam uma singularidade nua na frente da bolha. [16] [17] Allen Everett e Thomas Roman comentam sobre a descoberta de Krasnikov (tubo de Krasnikov):

[A descoberta] não significa que as bolhas de Alcubierre, se fosse possível criá-las, não poderiam ser usadas como meio de viagem superluminal. Significa apenas que as ações necessárias para alterar a métrica e criar a bolha devem ser realizadas de antemão por algum observador cujo cone de luz dianteiro contém toda a trajetória da bolha. [18]

Por exemplo, se alguém quisesse viajar para Deneb (2.600 anos-luz de distância) e chegar menos de 2.600 anos no futuro de acordo com os relógios externos, seria necessário que alguém já tivesse começado a trabalhar na dobra do espaço da Terra para Deneb, pelo menos 2.600 anos atrás:

Uma nave espacial apropriadamente localizada em relação à trajetória da bolha poderia então escolher entrar na bolha, como um passageiro pegando um bonde que passa e, assim, fazer a jornada superluminal. como Krasnikov aponta, as considerações de causalidade não impedem a tripulação de uma nave espacial de organizar, por suas próprias ações, para completar um ida e volta da Terra para uma estrela distante e de volta em um tempo arbitrariamente curto, conforme medido por relógios na Terra, alterando a métrica ao longo do caminho de sua viagem de ida. [18]

A métrica desta forma tem dificuldades significativas porque todas as teorias conhecidas do espaço-tempo do warp-drive violam várias condições de energia. [19] No entanto, um impulso de dobra do tipo Alcubierre pode ser realizado explorando certos fenômenos quânticos verificados experimentalmente, como o efeito Casimir, que levam a tensores de tensão-energia que também violam as condições de energia, como massa-energia negativa, quando descrito no contexto das teorias quânticas de campo. [20] [21]

Requisito de massa-energia Editar

Se certas desigualdades quânticas conjecturadas por Ford e Roman se mantiverem, [22] os requisitos de energia para alguns motores de dobra podem ser inviáveis ​​tanto grandes quanto negativos. Por exemplo, a energia equivalente a -10 64 kg pode ser necessária [23] para transportar uma pequena nave espacial através da Via Láctea - uma quantidade ordens de magnitude maior do que a massa estimada do universo observável. Contra-argumentos para esses aparentes problemas também foram apresentados. [3]

Chris Van den Broeck, da Katholieke Universiteit Leuven, na Bélgica, em 1999, tentou abordar os problemas potenciais. [24] Ao contrair a área de superfície 3 + 1-dimensional da bolha transportada pela unidade, enquanto ao mesmo tempo expandia o volume tridimensional contido no interior, Van den Broeck foi capaz de reduzir a energia total necessária para transportar pequenos átomos a menos de três massas solares. Mais tarde, em 2003, ao modificar ligeiramente a métrica de Van den Broeck, Serguei Krasnikov reduziu a quantidade total necessária de massa negativa para alguns miligramas. [3] [19] Van den Broeck detalhou isso dizendo que a energia total pode ser reduzida drasticamente mantendo a área de superfície da bolha de dobra microscopicamente pequena, enquanto ao mesmo tempo expande o volume espacial dentro da bolha. No entanto, Van den Broeck conclui que as densidades de energia necessárias ainda são inatingíveis, assim como o pequeno tamanho (algumas ordens de magnitude acima da escala de Planck) das estruturas do espaço-tempo necessárias. [16]

Em 2012, o físico Harold White e colaboradores anunciaram que modificar a geometria da matéria exótica poderia reduzir os requisitos de massa-energia para uma nave espacial macroscópica do equivalente do planeta Júpiter ao da nave Voyager 1 (c. 700 kg) [8 ] ou menos, [25] e declararam sua intenção de realizar experimentos em pequena escala na construção de campos de dobra. [8] White propôs engrossar a parede extremamente fina da bolha de dobra, de modo que a energia seja focada em um volume maior, mas a densidade de energia de pico geral é na verdade menor. Em uma representação 2D plana, o anel de energia positiva e negativa, inicialmente muito fino, torna-se uma forma de rosca difusa maior. No entanto, como essa bolha de dobra menos energética também se adensa em direção à região interna, ela deixa menos espaço plano para abrigar a espaçonave, que precisa ser menor. [26] Além disso, se a intensidade da deformação do espaço pode ser oscilada ao longo do tempo, a energia necessária é reduzida ainda mais. [8] De acordo com White, um interferômetro Michelson-Morley modificado poderia testar a ideia: uma das pernas do interferômetro pareceria ter um comprimento ligeiramente diferente quando os dispositivos de teste fossem energizados. [25] [27] Alcubierre expressou ceticismo sobre o experimento, dizendo: "a partir do meu entendimento, não há como fazer isso, provavelmente não por séculos, se tanto". [28] [29]

Colocação da matéria Editar

Krasnikov propôs que, se a matéria taquiônica não puder ser encontrada ou usada, a solução pode ser fazer com que as massas ao longo do trajeto do navio sejam postas em movimento de modo que o campo necessário seja produzido. Mas, neste caso, a embarcação de propulsão de Alcubierre só pode percorrer rotas que, como uma ferrovia, foram primeiro equipadas com a infraestrutura necessária. O piloto dentro da bolha está causalmente desconectado de suas paredes e não pode realizar nenhuma ação fora da bolha: a bolha não pode ser usada para a primeira viagem a uma estrela distante porque o piloto não pode colocar infraestrutura à frente da bolha enquanto "em trânsito". Por exemplo, viajar para Vega (que fica a 25 anos-luz da Terra) requer arranjar tudo de forma que a bolha se movendo em direção a Vega com uma velocidade superluminal pareça que tais arranjos sempre levarão mais de 25 anos. [15]

Coule argumentou que esquemas, como o proposto por Alcubierre, são inviáveis ​​porque a matéria colocada a caminho do caminho pretendido de uma nave deve ser colocado em velocidade superluminal - que construir uma unidade de Alcubierre requer uma unidade de Alcubierre, mesmo se a métrica que permite isso é fisicamente significativa. Coule argumenta ainda que uma objeção análoga se aplicará a algum método proposto de construção de uma unidade de Alcubierre. [17]

Sobrevivência dentro da bolha Editar

Artigo de José Natário (2002) argumenta que os tripulantes não podiam controlar, dirigir ou parar o navio em sua bolha de dobra porque o navio não conseguia enviar sinais para a frente da bolha. [30]

Um artigo de Carlos Barceló, Stefano Finazzi e Stefano Liberati de 2009 usa a teoria quântica para argumentar que a movimentação de Alcubierre em velocidades mais rápidas do que a da luz é impossível principalmente porque temperaturas extremamente altas causadas pela radiação de Hawking destruiriam qualquer coisa dentro da bolha em velocidades superluminais e Para desestabilizar a própria bolha, o artigo também argumenta que esses problemas estão ausentes se a velocidade da bolha for subluminal, embora o impulso ainda exija matéria exótica. [4]

Efeito prejudicial no destino Editar

Brendan McMonigal, Geraint F. Lewis e Philip O'Byrne argumentaram que, se uma nave conduzida por Alcubierre desacelerasse da velocidade superluminal, as partículas que sua bolha reuniu em trânsito seriam liberadas em explosões energéticas semelhantes à radiação infinitamente "blueshifted" a hipótese de ocorrer no horizonte de eventos interno de um buraco negro de Kerr, as partículas voltadas para a frente seriam, portanto, energéticas o suficiente para destruir qualquer coisa no destino diretamente na frente da nave. [31] [32]

Espessura da parede Editar

A quantidade de energia negativa necessária para tal propulsão ainda não é conhecida. Pfenning e Allen Everett de Tufts afirmam que uma bolha de dobra viajando a 10 vezes a velocidade da luz deve ter uma espessura de parede de no máximo 10 −32 metros - próxima ao comprimento limite de Planck, 1,6 × 10 −35 metros. [33] Nos cálculos originais de Alcubierre, uma bolha macroscopicamente grande o suficiente para envolver um navio de 200 metros exigiria uma quantidade total de matéria exótica maior do que a massa do universo observável, e esticando a matéria exótica para uma faixa extremamente fina de 10 - 32 metros é considerado impraticável. Restrições semelhantes se aplicam ao metrô superluminal de Krasnikov. Chris Van den Broeck construiu uma modificação do modelo de Alcubierre que requer muito menos matéria exótica, mas coloca a nave em uma "garrafa" curva de espaço-tempo cujo gargalo tem cerca de 10-32 metros. [16]

Violação de causalidade e instabilidade semiclássica Editar

Cálculos do físico Allen Everett mostram que bolhas de dobra podem ser usadas para criar curvas fechadas tipo tempo na relatividade geral, o que significa que a teoria prevê que elas poderiam ser usadas para viagens no tempo para trás. [34] Embora seja possível que as leis fundamentais da física possam permitir curvas fechadas tipo tempo, a conjectura de proteção de cronologia supõe que em todos os casos onde a teoria clássica da relatividade geral permite, efeitos quânticos interviriam para eliminar a possibilidade, tornando esses espaços-tempos impossível de perceber. Um possível tipo de efeito que realizaria isso é o acúmulo de flutuações de vácuo na fronteira da região do espaço-tempo onde a viagem no tempo se tornaria possível, fazendo com que a densidade de energia se tornasse alta o suficiente para destruir o sistema que de outra forma se tornaria uma máquina do tempo . Alguns resultados na gravidade semiclássica parecem apoiar a conjectura, incluindo um cálculo que trata especificamente de efeitos quânticos em espaços-tempos de dobra que sugeriu que as bolhas de dobra seriam semiclassicamente instáveis, [4] [35] mas, em última análise, a conjectura só pode ser decidida por um teoria completa da gravidade quântica. [36]

Alcubierre discute brevemente algumas dessas questões em uma série de slides de palestras postados online, [37] onde ele escreve: "cuidado: na relatividade, qualquer método para viajar mais rápido do que a luz pode, em princípio, ser usado para viajar de volta no tempo (uma máquina do tempo ) ". No próximo slide, ele traz a conjectura de proteção de cronologia e escreve: "A conjectura não foi provada (não seria uma conjectura se tivesse), mas há bons argumentos a seu favor com base na teoria quântica de campos. A conjectura não proíbe a viagem mais rápido do que a luz. Apenas afirma que se houver um método para viajar mais rápido do que a luz, e alguém tentar usá-lo para construir uma máquina do tempo, algo dará errado: a energia acumulada explodirá ou irá criar um buraco negro. "

O Jornada nas Estrelas filmes e séries de televisão usam o termo "warp drive" para descrever seu método de viagem mais rápido que a luz. Nem a teoria de Alcubierre, nem nada semelhante, existia quando a série foi concebida - o termo "warp drive" e conceito geral originou-se com o romance de ficção científica de John W. Campbell de 1931 Ilhas do Espaço. [38] Alcubierre afirmou em um e-mail para William Shatner que sua teoria foi diretamente inspirada pelo termo usado no show [39] e cita o "impulso de dobra 'da ficção científica" em seu artigo de 1994. [40] A USS Alcubierre aparece no RPG Star Trek Star Trek Adventures (2017). [41]


Os colchetes são usados ​​após os parênteses para agrupar números e variáveis ​​também. Normalmente, você usaria os parênteses primeiro, depois os colchetes, seguidos por colchetes. Aqui está um exemplo de um problema com colchetes:

Chaves também são usadas para agrupar números e variáveis. Este exemplo de problema usa parênteses, colchetes e colchetes. Os parênteses dentro de outros parênteses (ou colchetes e colchetes) também são chamados de "parênteses aninhados". Lembre-se, quando você tem parênteses entre colchetes e colchetes, ou parênteses aninhados, sempre trabalhe de dentro para fora:


Por que as práticas matemáticas são tão importantes quanto o conteúdo

Tenho uma confissão a fazer: em algum momento deste ano, percebi que há uma diferença entre a professora que eu adoraria ser e a professora que sou atualmente.

A maioria dos professores deseja fazer projetos interdisciplinares, aprendizagem baseada em projetos e todas as outras frases educacionais com as palavras "exploração" e "projeto". Apesar das evidências em contrário, sua realidade de ter que ensinar diretamente para um teste padronizado (afetando em última análise a percepção que o município tem deles) lança uma sombra mais longa sobre eles do que mesmo os mais corajosos de nós queremos admitir.

Em matemática, a necessidade de ficar na frente da sala de aula soa particularmente verdadeira, não apenas por causa das apostas, mas por causa do longo precedente estabelecido por professores de matemática anteriores para fazer exatamente isso.

No entanto, os professores de matemática sabem simultaneamente que, para que os alunos resolvam problemas por conta própria, temos de ensinar-lhes não apenas o "o quê", mas também o "como". "O que" é igual a conteúdo, mas estou expandindo a definição de "como" além de simplesmente aprender habilidades e procedimentos. O "como" deve ser sobre como ajudar os alunos a pensar mais criticamente sobre os problemas que enfrentam.

Em outras palavras, as abordagens e usos das ferramentas que os alunos aprendem em matemática tanto quanto os tópicos e situações em que se aplicam.

Um Conjunto de Qualificações Expandido

Os Padrões Estaduais de Núcleo Comum parecem resolver isso bem com suas sete práticas matemáticas, mas se os praticantes do CCSS fizerem como fizemos no passado, perdemos outra oportunidade de fortalecer o conhecimento de matemática dos alunos. Quer estejam aprendendo frações, expoentes ou propriedades distributivas, eles precisam aprender como abordar problemas matemáticos.

Por exemplo, eu preferiria que meus alunos aprendessem como encontrar a inclinação de uma relação linear ou como dar sentido à resposta depois de descobri-la? Pode-se dizer que você não consegue entender o quociente resultante sem realmente encontrar o quociente, mas eu proponho a você que, sem dar sentido à inclinação (seja explicando-o ou mostrando outra representação), eles não saberão se o a resposta que eles obtiveram realmente fazia sentido. Os alunos devem ter as habilidades para se autocorrigir ou, pelo menos, pensar duas vezes antes de olhar para uma resposta e seguir em frente.

Simplesmente encontrar a resposta é apenas uma parte da matemática.

Agora, ao contrário dos tópicos (ou conteúdo) que ensinamos em matemática, ensinar aos alunos como abordar um problema parecerá mais uma habilidade suave para os professores, na mesma categoria de reconhecer quando uma criança precisa ir ao banheiro ou buscar um aluno a tissue five seconds before you know they'll sneeze all over the pencil you lent them. Teaching students how to disagree with another person's argument carefully (and factually) or how to move on to the next problem without constantly checking with you (I'm still working on this) demands a certain dexterity from educators, and a consistent eye on making sure those sorts of behaviors flourish.

Rather than just trying to sift through our 800-page textbooks by chapter or blaze through a curriculum map, let's focus on developing mathematicians. Many of the things we take for granted, like teaching students how to ask better questions or picking apart word problems, actually make students better at math.


Mathematics

Continuum Physics: Volume 1 — Mathematics is a collection of papers that discusses certain selected mathematical methods used in the study of continuum physics. Papers in this collection deal with developments in mathematics in continuum physics and its applications such as, group theory functional analysis, theory of invariants, and stochastic processes. Part I explains tensor analysis, including the geometry of subspaces and the geometry of Finsler. Part II discusses group theory, which also covers lattices, morphisms, and crystallographic groups. Part III reviews the theory of invariants that includes isotrophy, transverse isotrophy, and nonpolynomial invariants. Part IV explains functional analysis that also includes set theory, vector spaces, topological spaces, and topological vector spaces. Part V deals with analytic function theory and covers topics, such as Cauchy's theorem, the residue theorem, and the Plemelj formulas. Part VI reviews the elements of stochastic processes and cites some examples where stochastic theory is applied. This book can be valuable for researchers and scientists involved in nuclear physicists, students, and academicians in the field of advanced physics.

Continuum Physics: Volume 1 — Mathematics is a collection of papers that discusses certain selected mathematical methods used in the study of continuum physics. Papers in this collection deal with developments in mathematics in continuum physics and its applications such as, group theory functional analysis, theory of invariants, and stochastic processes. Part I explains tensor analysis, including the geometry of subspaces and the geometry of Finsler. Part II discusses group theory, which also covers lattices, morphisms, and crystallographic groups. Part III reviews the theory of invariants that includes isotrophy, transverse isotrophy, and nonpolynomial invariants. Part IV explains functional analysis that also includes set theory, vector spaces, topological spaces, and topological vector spaces. Part V deals with analytic function theory and covers topics, such as Cauchy's theorem, the residue theorem, and the Plemelj formulas. Part VI reviews the elements of stochastic processes and cites some examples where stochastic theory is applied. This book can be valuable for researchers and scientists involved in nuclear physicists, students, and academicians in the field of advanced physics.


Message to the Reader

In mathematics, as in any scientific research, we find two tendencies present. On the one hand, the tendency toward abstraction seeks to crystallize the logical relations inherent in the maze of material that is being studied, and to correlate the material in a systematic and orderly manner. On the other hand, the tendency toward intuitive understanding fosters a more immediate grasp of the objects one studies, a live rapport with them, so to speak, which stresses the concrete meaning of their relations.

As to geometry, in particular, the abstract tendency has here led to the magnificent systematic theories of Algebraic Geometry, of Riemannian Geometry, and of Topology these theories make extensive use of abstract reasoning and symbolic calculation in the sense of algebra. Notwithstanding this, it is still as true today as it ever was that intuitive understanding plays a major role in geometry. And such concrete intuition is of great value not only for the research worker, but also for anyone who wishes to study and appreciate the results of research in geometry.

— Da vid Hilbert[ SE: Hilbert, p. iii]

I believe that mathematics is a natural and deep part of human experience and that experiences of meaning in mathematics are accessible to everyone. Much of mathematics is not accessible through formal approaches except to those with specialized learning. However, through the use of non-formal experience and geometric imagery, many levels of meaning in mathematics can be opened up in a way that most human beings can experience and find intellectually challenging and stimulating.

Formalism contains the power of the meaning but not the meaning. It is necessary to bring the power back to the meaning.

A proof as we normally conceive of it is not the goal of mathematics — it is a tool — a means to an end. The goal is understanding. Without understanding we will never be satisfied — with understanding we want to expand that understanding and to communicate it to others.

Many formal aspects of mathematics have now been mechanized and this mechanization is widely available on personal computers or even handheld calculators, but the experience of meaning in mathematics is still a human enterprise that is necessary for creative work.

In this book I invite the reader to explore the basic ideas of geometry from a more mature standpoint. I will suggest some of the deeper meanings, larger contexts, and interrelations of the ideas. I am interested in conveying a different approach to mathematics, stimulating the reader to take a broader and deeper view of mathematics, and to experience for her- or himself a sense of mathematizing. Through an active participation with these ideas, including exploring and writing about them, people can gain a broader context and experience. This active participation is vital for anyone who wishes to understand mathematics at a deeper level, or anyone wishing to understand something in their experience through the vehicle of mathematics.

This is particularly true for teachers or prospective teachers who are approaching related topics in the school curriculum. All too often we convey to students that mathematics is a closed system, with a single answer or approach to every problem, and often without a larger context. I believe that even where there are strict curricular constraints, there is room to change the meaning and the experience of mathematics in the classroom.

Proof as Convincing Argument
That Answers — Why ?

Much of our view of the nature of mathematics is intertwined with our notion of what is a proof. This is often particularly true with geometry, which has traditionally been taught in high school in the context of "two- column" proofs. The course materials in this book are based on a view of proof as a convincing argument that answers a why-question.

Why is 3 x 2 = 2 x 3 ? To say, "It follows from the Commutative Law" does not answer the why-question. But most people will be convinced by, "I can count three 2's and then two 3's and see that they are both equal to the same six." OK, now why is 2,657,873 x 92,564 = 92,564 x 2,657,873? We cannot count this — it is too large. But is there a way to see 3 x 2 = 2 x 3 without counting? sim.

Figure 0.1 Why is 3 x 2 = 2 x 3 ?

    Conclusion 1: In order for me to be satisfied by a proof, the proof must answer my why-question and relate my meanings of the concepts involved.

As further evidence toward this conclusion, you have probably had the experience of reading a proof and following each step logically but still not being satisfied because the proof did not lead you to experience the answer to your why-question. In fact most proofs in the literature are not written out in such a way that it is possible to follow each step in a logical formal way. Even if they were so written, most proofs would be too long and complicated for a person to check each step. Furthermore, even among mathematics researchers, a formal logical proof that they can follow step-by-step is not always satisfying. For example, my shortest research paper [ " A simplicial complex whose product with any ANR is a simplicial complex, " General Topology 3 (1973), pp. 81 – 83] has a very concise simple proof that anyone who understands the terms involved can easily follow logically step-by-step. But, I have received more questions from other mathematicians about that paper than about any of my other research papers and most of the questions were of the sort: "Why is it true?" "Where did it come from?" "How did you see it?" They accepted the proof logically but were not satisfied.

Let us look at another example — the Vertical Angle Theorem: If l and l' are straight lines, then the angle a is congruent to the angle b .

Figure 0.2 Vertical Angle Theorem

    Conclusion 2: A proof that satisfies someone else may not satisfy me because their meanings and why-questions are different from mine.

You may ask, "But, at least in plane geometry, isn't an angle an angle? Don't we all agree on what an angle is?" Well, yes and no. Consider this acute angle:

Figure 0.3 Where is the angle?

The angle is somehow at the corner , yet it is difficult to express this formally. As evidence, I looked in all the plane geometry books in the university library and found their definitions for "angle." I found nine different definitions! Each expressed a different meaning or aspect of "angle" and thus, each would potentially lead to a different proof of the Vertical Angle Theorem. We will see this more when we discuss Problems 3.1 and 3.2 .

Sometimes we have legitimate why-questions even with respect to statements traditionally accepted as axioms. The Commutative Law above is one possible example. Another one is Side-Angle-Side (or SAS): If two triangles have two sides and the included angle of one congruent to two sides and the included angle of the other, then the triangles are congruent. You can find SAS listed in some geometry textbooks as an axiom to be assumed in others it is listed as a theorem to be proved and in still others as a definition of the congruency of two triangles. But clearly one can ask, "Why is SAS true in the plane?" This is especially true because SAS is false for (geodesic) triangles on the sphere. So one can naturally ask, "Why is SAS true on the plane but not on the sphere?"

    Conclusion 3: Persons who differ in terms of cultural background, race, gender are likely to have different meanings and thus have different why-questions and different proofs .

You should check this out in your own experience. We should listen carefully to meanings and proofs expressed by all persons. We should also be more critical of many of the standard histories of mathematics and mathematicians, which have a decidedly Eurocentric emphasis.

As we personally experience Conclusions 1, 2, 3 above, we are led to the following conclusion.

Conclusion 4: If I experience 1, 2, and 3, then other persons ( for example, my students ) are also likely to have similar experiences.


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