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11.1: Use o Sistema de Coordenadas Retangulares (Parte 1) - Matemática


Habilidades para desenvolver

  • Plotar pontos em um sistema de coordenadas retangular
  • Identifique pontos em um gráfico
  • Verifique as soluções para uma equação em duas variáveis
  • Complete uma tabela de soluções para uma equação linear
  • Encontre soluções para equações lineares em duas variáveis

esteja preparado!

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

  1. Avalie: x + 3 quando x = −1. Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 3.4.10.
  2. Avalie: 2x - 5y quando x = 3, y = −2. Se você não percebeu esse problema, revise o Exemplo 3.8.106.
  3. Resolva para y: 40 - 4y = 20. Se você não percebeu este problema, revise o Exemplo 8.4.1.

Plotar pontos em um sistema de coordenadas retangulares

Muitos mapas, como o Mapa do campus mostrado na Figura ( PageIndex {1} ), usam um sistema de grade para identificar os locais. Você vê os números 1, 2, 3 e 4 nas partes superior e inferior do mapa e as letras A, B, C e D nas laterais? Cada local no mapa pode ser identificado por um número e uma letra.

Por exemplo, o Centro de Alunos está na seção 2B. Ele está localizado na seção da grade acima do número 2 e ao lado da letra B. Em que seção da grade está o Estádio? O estádio está na seção 4D.

Figura ( PageIndex {1} )

Exemplo ( PageIndex {1} ):

Use o mapa na Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encontre a seção de grade dos residenciais. (b) O que está localizado na seção 4C da rede?

Solução

(a) Leia o número abaixo de Residências, 4, e a letra ao lado, A. Portanto, as Residências estão na seção 4A da grade.

(b) Encontre 4 na parte inferior do mapa e C na lateral. Olhe abaixo do 4 e próximo ao C. Tiger Field está na seção 4C da grade.

Exercício ( PageIndex {1} ):

Use o mapa na Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encontre a seção da grade de Taylor Hall. (b) O que está localizado na seção 3B?

Responder a

1C

Resposta b

Edifício de Engenharia

Exercício ( PageIndex {1} ):

Use o mapa na Figura ( PageIndex {1} ). (a) Encontre a seção da grade da garagem de estacionamento. (b) O que está localizado na seção 2C?

Responder a

1A

Resposta b

Biblioteca

Assim como os mapas usam um sistema de grade para identificar localizações, um sistema de grade é usado em álgebra para mostrar uma relação entre duas variáveis ​​em um sistema de coordenadas retangular. Para criar um sistema de coordenadas retangular, comece com uma linha numérica horizontal. Mostre os números positivos e negativos como você fez antes, usando uma unidade de escala conveniente. Esta linha numérica horizontal é chamada de eixo x.

Agora, faça uma reta numérica vertical passando pelo eixo x em 0. Coloque os números positivos acima de 0 e os números negativos abaixo de 0. Veja a Figura ( PageIndex {2} ). Esta linha vertical é chamada de eixo y.

As linhas de grade verticais passam pelos inteiros marcados no eixo x. As linhas de grade horizontais passam pelos inteiros marcados no eixo y. A grade resultante é o sistema de coordenadas retangular.

O sistema de coordenadas retangulares também é chamado de plano x-y, plano de coordenadas ou sistema de coordenadas cartesianas (já que foi desenvolvido por um matemático chamado René Descartes).

Figura ( PageIndex {2} ) - O sistema de coordenadas retangulares.

O eixo xe o eixo y formam o sistema de coordenadas retangular. Esses eixos dividem um plano em quatro áreas, chamadas quadrantes. Os quadrantes são identificados por algarismos romanos, começando no canto superior direito e prosseguindo no sentido anti-horário. Veja a Figura ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ) - Os quatro quadrantes do sistema de coordenadas retangulares.

No sistema de coordenadas retangulares, cada ponto é representado por um par ordenado. O primeiro número no par ordenado é a coordenada x do ponto e o segundo número é a coordenada y do ponto.

Definição: par ordenado

Um par ordenado, (x, y) fornece as coordenadas de um ponto em um sistema de coordenadas retangular. O primeiro número é a coordenada x. O segundo número é a coordenada y.

Então, como as coordenadas de um ponto ajudam a localizar um ponto no plano x-y?

Vamos tentar localizar o ponto (2, 5). Neste par ordenado, a coordenada x é 2 e a coordenada y é 5.

Começamos localizando o valor x, 2, no eixo x. Em seguida, esboçamos levemente uma linha vertical através de x = 2, como mostrado na Figura ( PageIndex {4} )

Figura ( PageIndex {4} )

Agora localizamos o valor de y, 5, no eixo y e esboçamos uma linha horizontal através de y = 5. O ponto onde essas duas linhas se encontram é o ponto com coordenadas (2, 5). Traçamos o ponto lá, como mostrado na Figura ( PageIndex {5} ).

Figura ( PageIndex {5} )

Exemplo ( PageIndex {2} ):

Plote (1, 3) e (3, 1) no mesmo sistema de coordenadas retangulares.

Solução

Os valores das coordenadas são iguais para ambos os pontos, mas os valores xey são invertidos. Vamos começar com o ponto (1, 3). A coordenada x é 1, então encontre 1 no eixo xe esboce uma linha vertical através de x = 1. A coordenada y é 3, então encontramos 3 no eixo y e desenhamos uma linha horizontal através de y = 3. Onde as duas linhas se encontram, traçamos o ponto (1, 3).

Para plotar o ponto (3, 1), começamos localizando 3 no eixo x e esboçamos uma linha vertical através de x = 3. Em seguida, encontramos 1 no eixo y e esboçamos uma linha horizontal através de y = 1. Onde as duas linhas se encontram, traçamos o ponto (3, 1).

Observe que a ordem das coordenadas importa, portanto, (1, 3) não é o mesmo ponto que (3, 1).

Exercício ( PageIndex {3} ):

Trace cada ponto no mesmo sistema de coordenadas retangulares: (2, 5), (5, 2).

Responder

Exercício ( PageIndex {4} ):

Trace cada ponto no mesmo sistema de coordenadas retangulares: (4, 2), (2, 4).

Responder

Exemplo ( PageIndex {3} ):

Plote cada ponto no sistema de coordenadas retangulares e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado: (a) (−1, 3) (b) (−3, −4) (c) (2, −3) (d) ( left (3, dfrac {5} {2} right) )

Solução

O primeiro número do par de coordenadas é a coordenada x, e o segundo número é a coordenada y.

  1. Como x = −1, y = 3, o ponto (−1, 3) está no Quadrante II.
  2. Como x = −3, y = −4, o ponto (−3, −4) está no Quadrante III.
  3. Como x = 2, y = −1, o ponto (2, −1) está no quadrante lV.
  4. Como x = 3, y = ( dfrac {5} {2} ), o ponto ( left (3, dfrac {5} {2} right) ) está no Quadrante I. Pode ser útil escrever ( dfrac {5} {2} ) como o número misto, (2 dfrac {1} {2} ), ou decimal, 2,5. Então sabemos que o ponto está a meio caminho entre 2 e 3 no eixo y.

Exercício ( PageIndex {5} ):

Trace cada ponto no sistema de coordenadas retangulares e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado: (a) (−2, 1) (b) (−3, −1) (c) (4, −4) (d) ( left (-4, dfrac {3} {2} right) )

Responder

Exercício ( PageIndex {6} ):

Plote cada ponto no sistema de coordenadas retangulares e identifique o quadrante no qual o ponto está localizado: (a) (−4, 1) (b) (−2, 3) (c) (2, −5) (d) ( left (-3, dfrac {5} {2} right) )

Responder

Como os sinais afetam a localização dos pontos?

Exemplo ( PageIndex {4} ):

Trace cada ponto: (a) (−5, 2) (b) (−5, −2) (c) (5, 2) (d) (5, −2)

Solução

Conforme localizamos a coordenada xe a coordenada y, devemos ter cuidado com os sinais.

Exercício ( PageIndex {7} ):

Trace cada ponto: (a) (4, −3) (b) (4, 3) (c) (−4, −3) (d) (−4, 3)

Responder

Exercício ( PageIndex {8} ):

Trace cada ponto: (a) (−1, 4) (b) (1, 4) (c) (1, −4) (d) (−1, −4)

Responder

Você deve ter notado alguns padrões ao representar graficamente os pontos nos dois exemplos anteriores.

Para cada ponto no quadrante IV, o que você nota sobre os sinais das coordenadas?

E quanto aos sinais das coordenadas dos pontos do terceiro quadrante? O segundo quadrante? O primeiro quadrante?

Você pode dizer apenas olhando para as coordenadas em qual quadrante o ponto (−2, 5) está localizado? Em que quadrante (2, −5) está localizado?

Podemos resumir os padrões de sinais dos quadrantes da seguinte maneira. Veja também a Figura ( PageIndex {6} ).

Tabela ( PageIndex {1} )
Quadrante IQuadrante IIQuadrante IIIQuadrante IV
(x, y)(x, y)(x, y)(x, y)
(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)

Figura ( PageIndex {6} )

E se uma coordenada for zero? Onde o ponto (0, 4) está localizado? Onde o ponto (-2, 0) está localizado? O ponto (0, 4) está no eixo y e o ponto (- 2, 0) está no eixo x.

Definição: pontos nos eixos

Os pontos com uma coordenada y igual a 0 estão no eixo x e têm coordenadas (a, 0).

Os pontos com uma coordenada x igual a 0 estão no eixo y e têm coordenadas (0, b).

Qual é o par ordenado do ponto onde os eixos se cruzam? Nesse ponto, ambas as coordenadas são zero, então seu par ordenado é (0, 0). O ponto tem um nome especial. É chamado de origem.

Definição: a origem

O ponto (0, 0) é chamado de origem. É o ponto onde os eixos xey se cruzam.

Exemplo ( PageIndex {5} ):

Trace cada ponto em uma grade de coordenadas: (a) (0, 5) (b) (4, 0) (c) (−3, 0) (d) (0, 0) (e) (0, −1)

Solução

  1. Como x = 0, o ponto cujas coordenadas são (0, 5) está no eixo y.
  2. Como y = 0, o ponto cujas coordenadas são (4, 0) está no eixo x.
  3. Como y = 0, o ponto cujas coordenadas são (−3, 0) está no eixo x.
  4. Como x = 0 ey = 0, o ponto cujas coordenadas são (0, 0) é a origem.
  5. Como x = 0, o ponto cujas coordenadas são (0, −1) está no eixo y.

Exercício ( PageIndex {9} ):

Trace cada ponto em uma grade de coordenadas: (a) (4, 0) (b) (−2, 0) (c) (0, 0) (d) (0, 2) (e) (0, −3)

Responder

Exercício ( PageIndex {10} ):

Trace cada ponto em uma grade de coordenadas: (a) (−5, 0) (b) (3, 0) (c) (0, 0) (d) (0, −1) (e) (0, 4)

Responder

Identificar pontos em um gráfico

Em álgebra, ser capaz de identificar as coordenadas de um ponto mostrado em um gráfico é tão importante quanto ser capaz de plotar pontos. Para identificar a coordenada x de um ponto em um gráfico, leia o número no eixo x diretamente acima ou abaixo do ponto. Para identificar a coordenada y de um ponto, leia o número no eixo y diretamente à esquerda ou direita do ponto. Lembre-se de escrever o par ordenado usando a ordem correta (x, y).

Exemplo ( PageIndex {6} ):

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Solução

O ponto A está acima de −3 no eixo x, então a coordenada x do ponto é −3. O ponto está à esquerda de 3 no eixo y, então a coordenada y do ponto é 3. As coordenadas do ponto são (−3, 3).

O ponto B está abaixo de −1 no eixo x, então a coordenada x do ponto é −1. O ponto está à esquerda de −3 no eixo y, portanto, a coordenada y do ponto é −3. As coordenadas do ponto são (−1, −3).

O ponto C está acima de 2 no eixo x, então a coordenada x do ponto é 2. O ponto está à direita de 4 no eixo y, então a coordenada y do ponto é 4. As coordenadas de o ponto é (2, 4).

O ponto D está abaixo de 4 no eixo x, então a coordenada x do ponto é 4. O ponto está à direita de −4 no eixo y, então a coordenada y do ponto é −4. As coordenadas do ponto são (4, −4)

Exercício ( PageIndex {11} ):

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Responder
A: (5,1), B: (−2,4), C: (−5, −1), D: (3, −2)

Exercício ( PageIndex {12} ):

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Responder
A: (4,2), B: (−2,3), C: (−4, −4), D: (3, −5)

Exemplo ( PageIndex {7} ):

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Solução

O ponto A está no eixo x em x = - 4.As coordenadas do ponto A são (- 4, 0).
O ponto B está no eixo y em y = - 2.As coordenadas do ponto B são (0, - 2).
O ponto C está no eixo x em x = 3.As coordenadas do ponto C são (3, 0).
O ponto D está no eixo y em y = 1.As coordenadas do ponto D são (0, 1).

Exercício ( PageIndex {13} ):

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Responder
A: (4,0), B: (0,3), C: (−3,0), D: (0, −5)

Exercício ( PageIndex {14} ):

Nomeie o par ordenado de cada ponto mostrado:

Responder
A: (−3,0), B: (0, −3), C: (5,0), D: (0,2)

11.1: Use o Sistema de Coordenadas Retangulares (Parte 1) - Matemática

Uma velha história descreve como o filósofo / matemático do século XVII René Descartes inventou o sistema que se tornou a base da álgebra quando estava doente na cama. De acordo com a história, Descartes estava olhando para uma mosca rastejando no teto quando percebeu que poderia descrever a localização da mosca em relação às linhas perpendiculares formadas pelas paredes adjacentes de seu quarto. Ele viu as linhas perpendiculares como eixos horizontais e verticais. Além disso, ao dividir cada eixo em comprimentos unitários iguais, Descartes viu que era possível localizar qualquer objeto em um plano bidimensional usando apenas dois números - o deslocamento do eixo horizontal e o deslocamento do eixo vertical.

Embora haja evidências de que ideias semelhantes ao sistema de grade de Descartes existiam séculos antes, foi Descartes quem introduziu os componentes que compõem o Sistema de coordenada cartesiana, um sistema de grade com eixos perpendiculares. Descartes chamou o eixo horizontal de x-eixo e o eixo vertical o y-eixo.

O sistema de coordenadas cartesianas, também chamado de sistema de coordenadas retangulares, é baseado em um plano bidimensional que consiste no x-eixo e o y-eixo. Perpendiculares entre si, os eixos dividem o plano em quatro seções. Cada seção é chamada de quadrante os quadrantes são numerados no sentido anti-horário, conforme mostrado na figura abaixo.

O sistema de coordenadas cartesianas com todos os quatro quadrantes rotulados.

Tente

O centro do plano é o ponto em que os dois eixos se cruzam. É conhecido como o origem ou ponto [latex] left (0,0 right) [/ latex]. A partir da origem, cada eixo é dividido em unidades iguais: números crescentes e positivos à direita no x-eixo e para cima o y-eixo decrescente, números negativos à esquerda no x-eixo e para baixo o y-eixo. Os eixos se estendem até o infinito positivo e negativo, conforme mostrado pelas pontas de seta na figura abaixo.

Cada ponto no plano é identificado por seu x-coordenada, ou deslocamento horizontal da origem, e seu y-coordenada, ou deslocamento vertical da origem. Juntos, nós os escrevemos como um par ordenado indicando a distância combinada da origem na forma [latex] left (x, y right) [/ latex]. Um par ordenado também é conhecido como um par de coordenadas porque consiste em x e y-coordenadas. Por exemplo, podemos representar o ponto [latex] left (3, -1 right) [/ latex] no plano movendo três unidades para a direita da origem na direção horizontal e uma unidade para baixo na direção vertical .

Uma ilustração de como plotar o ponto (3, -1).

Ao dividir os eixos em incrementos igualmente espaçados, observe que o x-eixo pode ser considerado separadamente do y-eixo. Em outras palavras, enquanto o x-eixo pode ser dividido e rotulado de acordo com inteiros consecutivos, o y-o eixo pode ser dividido e rotulado por incrementos de 2, 10 ou 100. Na verdade, os eixos podem representar outras unidades, como anos contra o saldo de uma conta de poupança ou quantidade contra custo. Considere o sistema de coordenadas retangulares principalmente como um método para mostrar a relação entre duas quantidades.

Uma Nota Geral: Sistema de Coordenadas Cartesianas

Um plano bidimensional onde o

Um ponto no plano é definido como um par ordenado, [latex] left (x, y right) [/ latex], de modo que x é determinado por sua distância horizontal da origem e y é determinado por sua distância vertical da origem.

Exemplo: Pontos de plotagem em um sistema de coordenadas retangulares

Trace os pontos [latex] left (-2,4 right) [/ latex], [latex] left (3,3 right) [/ latex] e [latex] left (0, -3 direita) [/ latex] no plano de coordenadas.

Para plotar o ponto [latex] left (-2,4 right) [/ latex], comece na origem. O x-coordenada é –2, então mova duas unidades para a esquerda. O y-coordenada é 4, então mova quatro unidades para cima no positivo y direção.

Para plotar o ponto [latex] left (3,3 right) [/ latex], comece novamente na origem. O x-coordenada é 3, então mova três unidades para a direita. O y-coordenada também é 3, então mova três unidades para cima no positivo y direção.

Para plotar o ponto [latex] left (0, -3 right) [/ latex], comece novamente na origem. O x-coordenada é 0. Isso nos diz para não nos movermos em nenhuma direção ao longo do x-eixo. O y-coordenada é –3, então mova três unidades para baixo no negativo y direção.

Análise da Solução

Observe que quando qualquer coordenada é zero, o ponto deve estar em um eixo. Se o x-coordenada é zero, o ponto está no y-eixo. Se o y-coordenada é zero, o ponto está no x-eixo.

Tente

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3.1: Sistema de Coordenadas Retangulares

Sistema de Coordenadas Retangulares O sistema de coordenadas retangulares consiste de duas linhas de número real que se cruzam em um ângulo reto. A reta numérica horizontal é chamada de eixo x, e a reta numérica vertical é chamada de eixo y.

2.1: Os Sistemas de Coordenadas Retangulares e Gráficos

  • O Sistema de coordenada cartesiana, também chamado de sistema de coordenadas retangulares, é baseado em um plano bidimensional que consiste no eixo (x ) e no eixo (y )
  • Perpendiculares entre si, os eixos dividem o plano em quatro seções.

O sistema de coordenadas retangulares

  • Sistema de Coordenadas Retangulares Em Álgebra, costumamos usar o sistema de coordenadas retangulares para representar graficamente linhas, parábolas e outras fórmulas
  • Termos importantes para se familiarizar incluem o eixo y, o eixo x, coordenadas y, coordenadas xe pontos. O sistema de coordenadas retangulares também pode ser chamado de sistema de coordenadas ou eixo xy.

Use o sistema de coordenadas retangulares - Prealgebra

Opentextbc.ca DA: 13 PA: 50 MOZ Rank: 66

  • O sistema de coordenadas retangulares também é chamado de plano, plano de coordenadas ou Sistema de coordenada cartesiana (uma vez que foi desenvolvido por um matemático chamado Ren & # 233 Descartes.) O sistema de coordenadas retangulares
  • O e o formam o sistema de coordenadas retangular
  • Esses eixos dividem um plano em quatro áreas, chamadas quadrantes.

Definição de coordenadas retangulares de Retangular

Dictionary.com DA: 18 PA: 32 MOZ Rank: 54

  • Definição de coordenadas retangulares no Dictionary.com, um dicionário online gratuito com pronúncia, sinônimos e tradução

Pontos de plotagem em sistema de coordenadas retangulares

Analyzemath.com DA: 19 PA: 49 Classificação MOZ: 73

  • Definição de Sistema de Coordenadas Retangulares Um retangulador sistema de coordenadas, ou cartesiano plano, é um conjunto de dois eixos perpendiculares e que se cruzam formando um plano xy
  • Os eixos horizontais geralmente são rotulados como eixo x e os eixos verticais geralmente são rotulados como eixo y.

O que são coordenadas cartesianas (coordenadas retangulares

cartesiano coordenadas, também chamado coordenadas retangulares, fornecem um método de renderização de gráficos e indicação das posições de pontos em uma superfície bidimensional (2D) ou em um espaço tridimensional (3D).

O sistema de coordenadas retangulares e plotagem de pontos - TSI

  • O sistema de coordenadas retangulares também é conhecido como o Sistema de coordenada cartesiana depois de Rene Descartes
  • O sistema de coordenadas retangulares é baseado em uma grade, e cada ponto no plano pode ser identificado por x e y exclusivos coordenadas, assim como qualquer ponto da Terra pode ser identificado fornecendo sua latitude e longitude.

Use o Sistema de Coordenadas Retangulares - Álgebra Elementar

Opentextbc.ca DA: 13 PA: 50 Classificação MOZ: 71

  • Pontos de plotagem em um Sistema de Coordenadas Retangulares
  • Assim como os mapas usam uma grade sistema para identificar locais, uma grade sistema é usado em álgebra para mostrar uma relação entre duas variáveis ​​em um sistema de coordenadas retangulares.O sistema de coordenadas retangulares também é chamado de plano xy ou 'coordenada plano'.
  • A linha de número horizontal é chamada de eixo x.

Saiba mais sobre o sistema de coordenadas retangulares Chegg.com

Chegg.com DA: 13 PA: 50 MOZ Rank: 72

Definição do Sistema de Coordenadas Retangulares É um sistema de duas linhas retas perpendiculares em um plano que são usadas como linha de referência para especificar a localização de um ...

O que são exemplos de sistemas de coordenadas cartesianas resolvidos

Byjus.com DA: 9 PA: 41 Classificação MOZ: 60

  • Para entender a necessidade do sistema de coordenadas, vamos considerar um exemplo, suponha que Rina seja uma menina da sua classe e ela se sente na 3ª coluna e na 5ª linha
  • Então, esta posição pode ser representada como (3, 5)
  • Dois eixos - eixo vertical e eixo perpendicular são linhas de referência de um sistema retangular a partir do qual as distâncias são medidas.

Álgebra de início do sistema de coordenadas retangulares

O sistema de coordenadas cartesianas (retangulares)

Coolmath.com DA: 16 PA: 50 MOZ Rank: 78

  • O cartesiano (Retangular) Sistema de coordenadas
  • Esta é apenas uma grade que você desenhará todos os tipos de coisas legais matemática coisas em - como linhas
  • Lembra-se de nossa antiga linha numérica? Bem, agora vamos fazer isso em duas direções - duas dimensões! Confira: pense nele como um piso - um plano bidimensional em que você pode desenhar coisas

* Sistema de Coordenadas (Matemática)

En.mimi.hu DA: 10 PA: 35 Classificação MOZ: 58

  • UMA sistema de coordenadas é uma linha numérica bidimensional, por exemplo, duas linhas ou eixos numéricos perpendiculares
  • UMA Co-ordenar sistema permite colocar pontos em um plano de maneira precisa
  • Em outras palavras, cada ponto no plano é ...

Coordenadas matemáticas: Definição e amp Concept Study.com

Study.com DA: 9 PA: 50 MOZ Rank: 73

  • Um sistema de coordenadas cartesianas é um conjunto de duas linhas numéricas perpendiculares que se cruzam em 0 em ambas
  • Este ponto de interseção é (0, 0), e é chamado de origem

Sistema de Coordenadas Tridimensionais

Math24.net DA: 14 PA: 36 MOZ Rank: 65


Parte II. Aplicações Cristalográficas

As ferramentas matemáticas que foram desenvolvidas nos dois primeiros capítulos da Parte I terão aplicações úteis aqui na Parte II, uma vez que os estudos cristalográficos requerem tanto tratamento analítico quanto visualização geométrica. Modelos geométricos, desenhos em perspectiva ou projeções de quadros de simetria, de estruturas cristalinas e de moléculas complicadas são muito instrutivos. No entanto, frequentemente os modelos são difíceis de construir, os desenhos em perspectiva tornam-se confusos e as projeções sofrem com a perda de informações. Além disso, distâncias e ângulos podem ser distorcidos e às vezes não é fácil ver as relações geométricas importantes.

Métodos analíticos, por exemplo. o formalismo de matriz, fornece instrumentos que muitas vezes são apenas ligeiramente dependentes ou mesmo independentes da complexidade do assunto. Em muitos casos, eles podem ser aplicados por meio de computadores. Além disso, existem testes internos que permitem ao usuário verificar os resultados dos cálculos quanto à consistência interna. Esses métodos são indispensáveis, em particular na determinação e avaliação da estrutura cristalina. Somente estruturas cristalinas muito simples podem ser consideradas sem eles.

A simetria cristalográfica e suas aplicações foram investigadas e desenvolvidas por mineralogistas, matemáticos, físicos e químicos de diferentes países ao longo de vários séculos. O resultado é a bela e ainda crescente árvore da cristalografia contemporânea. Porém, não é necessário conhecer todo esse campo do conhecimento para aplicá-lo e aproveitá-lo. As ferramentas cristalográficas necessárias para a exploração da matéria e para a pesquisa do estado sólido podem ser retiradas dos volumes do Tabelas Internacionais para Cristalografia Series. A simetria é descrita no Vol. A desta série. Com o manuscrito em mãos, o leitor deve ser capaz de usar e explorar o conteúdo desse volume A, abreviado como IT A neste manuscrito.


3 respostas 3

Vamos tentar entender isso usando a resposta que você mencionou.

Em primeiro lugar, parece que você resolveu a primeira parte e acertou a resposta. Conforme mencionado em sua solução, sejam $ X_1, X_2, X_3 $ os vetores de posição dos mastros da bandeira e $ h_1, h_2, h_3 $ suas respectivas alturas.

De acordo com sua solução, se $ X_1 = (0,0) $ e $ X_2 = (d, 0) $ então o vetor posição do centro do círculo correspondente formado é $ v_ <12> = left ( frac^2><^2 - ^ 2>, 0 right) $. Assim, a razão entre a distância de $ X_1 $ e $ v_ <12> $, e a distância entre $ X_2 $ e $ v_ <12> $ é $ frac <^2><^2 - ^ 2>: frac <-^2><^2 - ^ 2> $ Isto pode ser calculado tomando a diferença dos vetores de posição correspondentes e tomando a proporção das coordenadas. Observe que a proporção não depende de $ d $, como você parece ter indicado em seu cálculo de $ (x_ <12>, y_ <12>) $. O sinal negativo na proporção indica apenas que o ponto $ v_$ não está ENTRE os pontos $ X_i $ e $ X_j $, mas ainda na linha que os une. Especialmente, isso não torna nossos cálculos errados.

A observação sobre a razão pode ser estendida aos outros dois pares também, alterando as variáveis ​​de forma adequada. Denotando o (vetor de posição do) centro do círculo correspondendo a $ X_i $ e $ X_j $ por $ v_$, obtemos que a proporção correspondente entre as distâncias para $ v_$ é $ m_1: m_2 = frac <^2><^2 - ^ 2>: frac <-^2><^2 - ^2>$

Portanto, $^2 (^2 - ^ 2) v_ = ^2 ^ 2 X_j - ^2 ^ 2 X_i $ Somando os índices apropriados $ i, j $ e $ k $, concluímos que todos os termos corretos são cancelados. $ h_3 ^ 2 (h_1 ^ 2-h_2 ^ 2) v_ <12> + h_1 ^ 2 (h_2 ^ 2-h_3 ^ 2) v_ <23> + h_2 ^ 2 (h_3 ^ 2-h_1 ^ 2) v_ <31 > = 0 $ A equação necessária é a coordenada $ X $ de LHS. Da mesma forma, usando as coordenadas Y em vez disso, obtemos a equação correspondente em coordenadas $ Y $.

Agora, para notar que os três centros estão em uma linha reta, observe que $ v_ <12> $ é o ponto que divide a linha que une $ v_ <23> $ e $ v_ <13> $ na proporção $^2 (^2 - ^2) :^2 (^2 - ^ 2) $ usando a (s) equação (ões) que acabamos de obter. Isso significa que os três centros estão em linha reta.

O que vamos mostrar: Se elevarmos ao quadrado as alturas dos mastros, então a linha solicitada no problema é a linha onde o plano que contém os três novo topos de mastros encontram o chão.

Embargo: Esta solução claramente não é a pretendida pelo autor do problema e não segue a grande equação dada no problema. Ele nem mesmo usa nenhum sistema de coordenadas específico.

Parte 1: o soldado marcha em círculo

Vamos começar confirmando que os soldados marcham em círculos. Assumiremos que todos os mastros têm alturas desiguais.

Se o mastro $ A $ é duas vezes mais alto que o mastro $ B $, então o soldado $ S $ deve estar duas vezes mais longe de $ A $ do que $ B $ para que os mastros pareçam ter a mesma altura (o que significa que os ângulos de elevação até o topo de $ A $ e $ B $ são iguais).

De maneira mais geral, se o mastro $ A $ tiver altura $ a $ e o mastro B tiver altura $ b $, escreveremos $ overline$ para a distância de $ S $ a $ A $, então temos $ overline, / , a = overline, / , b $,

Quadrando isso, temos $ overline^ 2 , / , a ^ 2 = overline^ 2 , / , b ^ 2 $. Podemos pensar em $ overline^ 2 $ em função de $ S $, que, se o representarmos graficamente, é um parabolóide centrado em $ A $.

Lembre-se de algumas coisas triviais fatos parabolóides: Os parabolóides são quadráticos com o mesmo coeficiente para $ x ^ 2 $ que para $ y ^ 2 $, portanto, se adicionarmos ou subtrairmos dois parabolóides, obteremos outro parabolóide. (Ou um plano, se o coeficiente quadrático resultante for zero.) Além disso, multiplicar um parabolóide por uma constante produz outro parabolóide. Se o coeficiente quadrático for negativo, as curvas parabolóides baixam em vez de subir. (Se você estiver familiarizado com pontos de massa, os parabolóides (ignorando seu termo constante) são como pontos de massa, em relação à adição e multiplicação.)

Se reescrevermos nossa equação como $ frac <1> overline^ 2 - frac <1> overline^ 2 = 0 $, vemos que o lado esquerdo é um parabolóide. (Não é um plano, uma vez que $ a ≠ b $.) O lugar geométrico desejado dos pontos são aqueles pontos $ S $ para os quais este parabolóide é igual a zero. Como os parabolóides são circularmente simétricos, cada plano de nível de um parabolóide é um círculo, então isso confirma que o soldado marcha em um círculo.

Parte 2: Onde está o centro do círculo?

Por simetria, quando adicionamos dois parabolóides $ G $ e $ H $, o centro de $ G + H $ deve estar na linha que conecta os centros de $ G $ e $ H $. Onde vai ficar nesta linha?

Se olharmos para a altura do parabolóide ao longo desta linha, é a soma da contribuição de $ G $ (que é uma parábola) e a contribuição de $ H $ (outra parábola), então a soma também é uma parábola. O centro de $ G + H $ está no ponto extremo dessa parábola.

Se olharmos para a linha $ AB $ então $ B $ está à direita de $ A $, podemos considerar a inclinação da parábola somada $ frac <1> overline^ 2 - frac <1> overline^ 2 $, de modo a encontrar seu ponto extremo encontrando onde a inclinação é zero.

No ponto $ A $, a contribuição da parábola de $ A $ tem inclinação 0, então a inclinação da soma é determinada pela parábola de $ B $, cuja inclinação é $ frac <2 overline>$. Da mesma forma, em $ B $, a inclinação é $ frac <2 overline>$. Podemos extrapolar linearmente a partir dessas duas inclinações para encontrar o extremo, uma vez que a inclinação de uma parábola varia linearmente. O extremo cede o centro do círculo onde o soldado está marchando.

(Novamente, se você estiver familiarizado com os pontos de massa, este diagrama mostra apenas a adição regular de pontos de massa 1-D de uma massa negativa $ frac <-b ^ 2> <2 overline> $ em $ A $ e uma massa positiva $ frac<2 overline> $ em $ B $.)

Esta figura dá a impressão de ser mais um diagrama de dois mastros! Multiplicando o eixo y por $ frac<2 overline> $ torna a altura acima de $ A $ $ a ^ 2 $ e torna a altura acima de $ B $ $ b ^ 2 $, enquanto deixa o centro do círculo (a interceptação x) inalterado.

Parte 3: Colinearidade dos centros do círculo

Isso segue imediatamente. Se elevarmos ao quadrado as alturas dos três mastros, o centro de cada círculo fica no ponto $ S $ a partir do qual os novos topos dos mastros aparecem (para o soldado) coincidindo, como no diagrama acima. Portanto, a linha solicitada no problema é a linha onde o avião contendo os três novos topos do mastro encontra o solo.


Conteúdo

Grécia Antiga Editar

O matemático grego Menaechmus resolveu problemas e provou teoremas usando um método que tinha uma forte semelhança com o uso de coordenadas e algumas vezes foi sustentado que ele havia introduzido a geometria analítica. [1]

Apolônio de Perga, em Na Seção Determinada, lidou com problemas de uma maneira que pode ser chamada de geometria analítica de uma dimensão com a questão de encontrar pontos em uma linha que estavam em proporção com as outras. [2] Apolônio na Cônicas além disso, desenvolveu um método que é tão semelhante à geometria analítica que às vezes se pensa que seu trabalho antecipou o trabalho de Descartes em cerca de 1.800 anos. Sua aplicação de linhas de referência, um diâmetro e uma tangente não é essencialmente diferente do nosso uso moderno de um quadro de coordenadas, onde as distâncias medidas ao longo do diâmetro do ponto de tangência são as abscissas e os segmentos paralelos à tangente e interceptados entre o eixo e a curva são as ordenadas. Ele desenvolveu ainda mais relações entre as abscissas e as ordenadas correspondentes que são equivalentes a equações retóricas de curvas. No entanto, embora Apolônio tenha chegado perto de desenvolver a geometria analítica, ele não conseguiu fazê-lo, pois não levou em consideração as magnitudes negativas e em todos os casos o sistema de coordenadas foi sobreposto a uma dada curva. a posteriori em vez de a priori. Ou seja, as equações foram determinadas por curvas, mas as curvas não foram determinadas por equações. Coordenadas, variáveis ​​e equações eram noções subsidiárias aplicadas a uma situação geométrica específica. [3]

Persia Edit

O matemático persa do século 11 Omar Khayyam viu uma forte relação entre geometria e álgebra e estava se movendo na direção certa quando ajudou a fechar a lacuna entre álgebra numérica e geométrica [4] com sua solução geométrica das equações cúbicas gerais, [5] mas o passo decisivo veio depois com Descartes. [4] Omar Khayyam is credited with identifying the foundations of algebraic geometry, and his book Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), which laid down the principles of analytic geometry, is part of the body of Persian mathematics that was eventually transmitted to Europe. [6] Because of his thoroughgoing geometrical approach to algebraic equations, Khayyam can be considered a precursor to Descartes in the invention of analytic geometry. [7] : 248

Western Europe Edit

Analytic geometry was independently invented by René Descartes and Pierre de Fermat, [8] [9] although Descartes is sometimes given sole credit. [10] [11] Cartesian geometry, the alternative term used for analytic geometry, is named after Descartes.

Descartes made significant progress with the methods in an essay titled La Geometrie (Geometry), one of the three accompanying essays (appendices) published in 1637 together with his Discourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciences, commonly referred to as Discourse on Method. La Geometrie, written in his native French tongue, and its philosophical principles, provided a foundation for calculus in Europe. Initially the work was not well received, due, in part, to the many gaps in arguments and complicated equations. Only after the translation into Latin and the addition of commentary by van Schooten in 1649 (and further work thereafter) did Descartes's masterpiece receive due recognition. [12]

Pierre de Fermat also pioneered the development of analytic geometry. Although not published in his lifetime, a manuscript form of Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to Plane and Solid Loci) was circulating in Paris in 1637, just prior to the publication of Descartes' Discourse. [13] [14] [15] Clearly written and well received, the Introdução also laid the groundwork for analytical geometry. The key difference between Fermat's and Descartes' treatments is a matter of viewpoint: Fermat always started with an algebraic equation and then described the geometric curve that satisfied it, whereas Descartes started with geometric curves and produced their equations as one of several properties of the curves. [12] As a consequence of this approach, Descartes had to deal with more complicated equations and he had to develop the methods to work with polynomial equations of higher degree. It was Leonhard Euler who first applied the coordinate method in a systematic study of space curves and surfaces.

In analytic geometry, the plane is given a coordinate system, by which every point has a pair of real number coordinates. Similarly, Euclidean space is given coordinates where every point has three coordinates. The value of the coordinates depends on the choice of the initial point of origin. There are a variety of coordinate systems used, but the most common are the following: [16]

Cartesian coordinates (in a plane or space) Edit

The most common coordinate system to use is the Cartesian coordinate system, where each point has an x-coordinate representing its horizontal position, and a y-coordinate representing its vertical position. These are typically written as an ordered pair (x, y) This system can also be used for three-dimensional geometry, where every point in Euclidean space is represented by an ordered triple of coordinates (x, y, z).

Polar coordinates (in a plane) Edit

In polar coordinates, every point of the plane is represented by its distance r from the origin and its angle θ, with θ normally measured counterclockwise from the positive x-axis. Using this notation, points are typically written as an ordered pair (r, θ) One may transform back and forth between two-dimensional Cartesian and polar coordinates by using these formulae: x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ r = x 2 + y 2 , θ = arctan ⁡ ( y / x ) +y^<2>>>,, heta =arctan(y/x)> . This system may be generalized to three-dimensional space through the use of cylindrical or spherical coordinates.

Cylindrical coordinates (in a space) Edit

In cylindrical coordinates, every point of space is represented by its height z, its radius r from the z-axis and the angle θ its projection on the xy-plane makes with respect to the horizontal axis.

Spherical coordinates (in a space) Edit

In spherical coordinates, every point in space is represented by its distance ρ from the origin, the angle θ its projection on the xy-plane makes with respect to the horizontal axis, and the angle φ that it makes with respect to the z-axis. The names of the angles are often reversed in physics. [16]

In analytic geometry, any equation involving the coordinates specifies a subset of the plane, namely the solution set for the equation, or locus. For example, the equation y = x corresponds to the set of all the points on the plane whose x-coordinate and y-coordinate are equal. These points form a line, and y = x is said to be the equation for this line. In general, linear equations involving x e y specify lines, quadratic equations specify conic sections, and more complicated equations describe more complicated figures. [17]

Usually, a single equation corresponds to a curve on the plane. This is not always the case: the trivial equation x = x specifies the entire plane, and the equation x 2 + y 2 = 0 specifies only the single point (0, 0). In three dimensions, a single equation usually gives a surface, and a curve must be specified as the intersection of two surfaces (see below), or as a system of parametric equations. [18] The equation x 2 + y 2 = r 2 is the equation for any circle centered at the origin (0, 0) with a radius of r.

Lines and planes Edit

Lines in a Cartesian plane, or more generally, in affine coordinates, can be described algebraically by linear equations. In two dimensions, the equation for non-vertical lines is often given in the slope-intercept form:

m is the slope or gradient of the line. b is the y-intercept of the line. x is the independent variable of the function y = f(x).

In a manner analogous to the way lines in a two-dimensional space are described using a point-slope form for their equations, planes in a three dimensional space have a natural description using a point in the plane and a vector orthogonal to it (the normal vector) to indicate its "inclination".

(The dot here means a dot product, not scalar multiplication.) Expanded this becomes

which is the point-normal form of the equation of a plane. [19] This is just a linear equation:

Conversely, it is easily shown that if uma, b, c e d are constants and uma, b, e c are not all zero, then the graph of the equation

is a plane having the vector n = ( a , b , c ) =(a,b,c)> as a normal. [20] This familiar equation for a plane is called the general form of the equation of the plane. [21]

In three dimensions, lines can não be described by a single linear equation, so they are frequently described by parametric equations:

x, y, e z are all functions of the independent variable t which ranges over the real numbers. (x0, y0, z0) is any point on the line. uma, b, e c are related to the slope of the line, such that the vector (uma, b, c) is parallel to the line.

Conic sections Edit

In the Cartesian coordinate system, the graph of a quadratic equation in two variables is always a conic section – though it may be degenerate, and all conic sections arise in this way. The equation will be of the form

As scaling all six constants yields the same locus of zeros, one can consider conics as points in the five-dimensional projective space P 5 . ^<5>.>

The conic sections described by this equation can be classified using the discriminant [22]

If the conic is non-degenerate, then:

  • if B 2 − 4 A C < 0 -4AC<0> , the equation represents an ellipse
    • if A = C and B = 0 , the equation represents a circle, which is a special case of an ellipse
    • if we also have A + C = 0 , the equation represents a rectangular hyperbola.

    Quadric surfaces Edit

    UMA quadric, ou quadric surface, is a 2-dimensional surface in 3-dimensional space defined as the locus of zeros of a quadratic polynomial. In coordinates x1, x2,x3 , the general quadric is defined by the algebraic equation [23]

    In analytic geometry, geometric notions such as distance and angle measure are defined using formulas. These definitions are designed to be consistent with the underlying Euclidean geometry. For example, using Cartesian coordinates on the plane, the distance between two points (x1, y1) e (x2, y2) is defined by the formula

    which can be viewed as a version of the Pythagorean theorem. Similarly, the angle that a line makes with the horizontal can be defined by the formula

    Onde m is the slope of the line.

    In three dimensions, distance is given by the generalization of the Pythagorean theorem:

    while the angle between two vectors is given by the dot product. The dot product of two Euclidean vectors UMA e B is defined by [24]

    where θ is the angle between UMA e B.

    Transformations are applied to a parent function to turn it into a new function with similar characteristics.

    There are other standard transformation not typically studied in elementary analytic geometry because the transformations change the shape of objects in ways not usually considered. Skewing is an example of a transformation not usually considered. For more information, consult the Wikipedia article on affine transformations.

    Transformations can be applied to any geometric equation whether or not the equation represents a function. Transformations can be considered as individual transactions or in combinations.

    is the relation that describes the unit circle.

    Traditional methods for finding intersections include substitution and elimination.

    So our intersection has two points:

    So our intersection has two points:

    For conic sections, as many as 4 points might be in the intersection.

    Finding intercepts Edit

    One type of intersection which is widely studied is the intersection of a geometric object with the x and y coordinate axes.

    Tangent lines and planes Edit

    In geometry, the tangent line (or simply tangent) to a plane curve at a given point is the straight line that "just touches" the curve at that point. Informally, it is a line through a pair of infinitely close points on the curve. More precisely, a straight line is said to be a tangent of a curve y = f(x) at a point x = c on the curve if the line passes through the point (c, f(c)) on the curve and has slope f ' (c) Onde f ' is the derivative of f. A similar definition applies to space curves and curves in n-dimensional Euclidean space.

    As it passes through the point where the tangent line and the curve meet, called the point of tangency, the tangent line is "going in the same direction" as the curve, and is thus the best straight-line approximation to the curve at that point.

    Similarly, the tangent plane to a surface at a given point is the plane that "just touches" the surface at that point. The concept of a tangent is one of the most fundamental notions in differential geometry and has been extensively generalized see Tangent space.

    Normal line and vector Edit

    In geometry, a normal is an object such as a line or vector that is perpendicular to a given object. For example, in the two-dimensional case, the normal line to a curve at a given point is the line perpendicular to the tangent line to the curve at the point.

    In the three-dimensional case a surface normal, or simply normal, to a surface at a point P is a vector that is perpendicular to the tangent plane to that surface at P. The word "normal" is also used as an adjective: a line normal to a plane, the normal component of a force, the normal vector, etc. The concept of normality generalizes to orthogonality.


    16.7 Adding More Layers: Facets

    Because our primary question involves comparing overweight individuals to normal weight individuals, we can stratify the scatterplot of PM2.5 and nocturnal symptoms by the BMI category ( bmicat ) variable, which indicates whether an individual is overweight or now. To visualize this we can add a facet_grid() , which takes a formula argument. Here we want one row and two columns, one column for each weight category. So we specify bmicat on the right hand side of the forumla passed to facet_grid() .

    Figure 16.4: Scatterplot of PM2.5 and nocturnal symptoms by BMI category

    Now it seems clear that the relationship between PM2.5 and nocturnal symptoms is relatively flat amongst normal weight individuals, while the relationship is increasing amongst overweight individuals. This plot suggests that overweight individuals may be more susceptible to the effects of PM2.5.

    There are a variety of annotations you can add to a plot, including different kinds of labels. You can use xlab() for x-axis labels, ylab() for y-axis labels, and ggtitle() for specifying plot titles. The labs() function is generic and can be used to modify multiple types of labels at once.

    For things that only make sense globally, use theme() , i.e. theme(legend.position = "none") . Two standard appearance themes are included

    theme_gray() : The default theme (gray background)

    theme_bw() : More stark/plain


    1 resposta 1

    Assuming that the region in question is small enough compared to the Earth that it can be considered flat, the conversion from polar to Cartesian is egin x &=& rcos heta y &=& rsin heta end

    However, as you noticed in your third question, if your data is a grid in $r$ and $ heta$, this will not give you a grid in $x$ and $y$. If this is a problem (perhaps because your image program requires a grid), you'll have to interpolate this data set to a grid. There should be software libraries that can do this more effectively than anything you can write. If for some reason you must write your own, you should be able to code up a simple plane interpolation between the three nearest data points.

    As for your second question, if you are given a set of points bounded by a circle in terms of polar coordinates whose origin is not the center of the circle, I would ask whoever's taking the data what on earth he was thinking. The solution is to transform to Cartesian, then apply the translation by subtracting off the coordinates of the center.

    EDIT: It appears the question was about transforming latitude and longitude data into Cartesian, which changes the answer to my question considerably.

    For a small, circular area of the Earth, you'll want to use an azimuthal projection. Although any of them will probably work fine for small areas, I'd recommend either the gnomonic projection, the unique projection that maps great circles to straight lines, or the stereographic projection, which is locally shape-preserving. The formulas for the transforms can be found in the links.


    • what party did the grange evolve into
    • what is celebrated at la calle ocho
    • the phosphorus cycle differs from the biogeochemical cycles in that

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