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7.7: Sistemas de Medição (Parte 2) - Matemática


Use unidades de medida mistas no sistema métrico

Realizar operações aritméticas em medidas com unidades mistas de medidas no sistema métrico requer o mesmo cuidado que usamos nos Estados Unidos. Mas pode ser mais fácil por causa da relação das unidades com as potências de 10. Ainda devemos ter certeza de adicionar ou subtrair unidades semelhantes.

Exemplo ( PageIndex {10} ):

Ryland tem 1,6 metros de altura. Seu irmão mais novo tem 85 centímetros de altura. Quanto mais alto é Ryland que seu irmão mais novo?

Solução

Vamos subtrair os comprimentos em metros. Converta 85 centímetros em metros movendo as casas decimais 2 para a esquerda; 85 cm é igual a 0,85 m.

Agora que ambas as medidas estão em metros, subtraia para descobrir o quanto Ryland é mais alto que seu irmão.

[ begin {split} 1,60 ; & m - ; 0,85 ; & m hline 0,75 ; & m end {split} ]

Ryland é 0,75 metros mais alto que seu irmão.

Exercício ( PageIndex {19} ):

Mariella tem 1,58 metros de altura. Sua filha tem 75 centímetros de altura. Quanto mais alta é Mariella do que sua filha? Escreva a resposta em centímetros.

Responder

83 cm

Exercício ( PageIndex {20} ):

A cerca ao redor do quintal de Hank tem 2 metros de altura. Hank tem 96 centímetros de altura. Quanto mais curto do que a cerca é Hank? Escreva a resposta em metros.

Responder

1,04 m

Exemplo ( PageIndex {11} ):

A receita de Dena para sopa de lentilha pede 150 mililitros de azeite de oliva. Dena quer triplicar a receita. Quantos litros de azeite ela vai precisar?

Solução

Encontraremos a quantidade de azeite em mililitros e depois converteremos em litros.

Traduza para álgebra.3 • 150 mL
Multiplicar.450 mL
Converta em litros.$$ 450 ; mL ; cdot dfrac {0,001 ; L} {1 ; mL} $$
Simplificar.0,45 L

Dena precisa de 0,45 litro de azeite.

Exercício ( PageIndex {21} ):

Uma receita de molho Alfredo pede 250 mililitros de leite. Renata está fazendo macarrão com molho Alfredo para uma grande festa e precisa multiplicar os valores da receita por 8. Quantos litros de leite ela vai precisar?

Responder

2 L

Exercício ( PageIndex {22} ):

Para fazer uma panela de baklava, Dorothea precisa de 400 gramas de massa filo. Se Dorothea planeja fazer 6 panelas de baklava, de quantos quilos de massa filo ela precisará?

Responder

2,4 kg

Converta entre os sistemas de medição dos EUA e métricos

Muitas medições nos Estados Unidos são feitas em unidades métricas. Uma bebida pode vir em garrafas de 2 litros, o cálcio pode vir em cápsulas de 500 mg e podemos correr uma corrida de 5-K. Para trabalhar facilmente em ambos os sistemas, precisamos ser capazes de converter entre os dois sistemas. A Tabela ( PageIndex {3} ) mostra algumas das conversões mais comuns.

Tabela ( PageIndex {3} )
Fatores de conversão entre os sistemas americanos e métricos
ComprimentoPesoVolume

1 in = 2,54 cm

1 pé = 0,305 m

1 jarda = 0,914 m

1 mi = 1,61 km

1 lb = 0,45 kg

1 oz = 28 g

1 qt = 0,95 L

1 fl oz = 30 mL

1 m = 3,28 pés1 kg = 2,2 lb1 L = 1,06 qt

Fazemos conversões entre os sistemas da mesma forma que fazemos dentro dos sistemas - multiplicando por fatores de conversão de unidades.

Exemplo ( PageIndex {12} ):

A garrafa de água de Lee contém 500 mL de água. Quantas onças fluidas tem a garrafa? Arredonde para o décimo de onça mais próximo.

Solução

Multiplique por um fator de conversão de unidade em mL e onças.$$ 500 ; mL ; cdot dfrac {1 ; fl ; oz} {30 ; mL} tag {7.5.29} $$
Simplificar.$$ dfrac {500 ; fl ; oz} {30} tag {7.5.30} $$
Dividir.16,7 fl. onça

A garrafa de água contém 16,7 onças fluidas.

Exercício ( PageIndex {23} ):

Quantos litros de refrigerante tem uma garrafa de 2 litros?

Responder

2,12 quartos

Exercício ( PageIndex {24} ):

Quantos litros existem em 4 litros de leite?

Responder

3,8 litros

Os fatores de conversão na Tabela ( PageIndex {3} ) não são exatos, mas as aproximações que eles fornecem são próximas o suficiente para fins do dia-a-dia. Em Exemplo ( PageIndex {12} ), arredondamos o número de onças fluidas para o décimo mais próximo.

Exemplo ( PageIndex {13} ):

Soleil mora em Minnesota, mas costuma viajar para o Canadá a trabalho. Enquanto dirigia em uma rodovia canadense, ela passa por uma placa que diz que a próxima parada de descanso é em 100 quilômetros. Quantas milhas até a próxima parada de descanso? Arredonde sua resposta para a milha mais próxima.

Solução

Multiplique por um fator de conversão de unidade relativo a quilômetros e milhas.$$ 100 ; quilômetros ; cdot dfrac {1 ; milha} {1,61 ; quilômetros} tag {7.5.31} $$
Simplificar.$$ 100 cdot dfrac {1 ; mi} {1,61 ; km} tag {7.5.32} $$
Dividir.62 mi

São cerca de 62 milhas até a próxima parada de descanso.

Exercício ( PageIndex {25} ):

A altura do Monte Kilimanjaro é de 5.895 metros. Converta a altura em pés. Arredonde até o pé mais próximo.

Responder

19.328 pés

Exercício ( PageIndex {26} ):

A distância do voo de Nova York a Londres é de 5.586 quilômetros. Converta a distância em milhas. Arredonde para a milha mais próxima.

Responder

3.470 mi

Converter entre temperaturas Fahrenheit e Celsius

Você já esteve em um país estrangeiro e ouviu a previsão do tempo? Se a previsão for de 22 ° C. O que isso significa?

Os sistemas americano e métrico usam escalas diferentes para medir a temperatura. O sistema dos EUA usa graus Fahrenheit, escritos ° F. O sistema métrico usa graus Celsius, escritos em ° C. A Figura ( PageIndex {5} ) mostra a relação entre os dois sistemas.

Figura ( PageIndex {5} ) - Uma temperatura de 37 ° C é equivalente a 98,6 ° F.

Se conhecermos a temperatura em um sistema, podemos usar uma fórmula para convertê-la para o outro sistema.

Definição: Conversão de Temperatura

Para converter a temperatura Fahrenheit, F, para a temperatura Celsius, C, use a fórmula

[C = dfrac {5} {9} (F - 32) tag {7.5.33} ]

Para converter a temperatura Celsius, C, para a temperatura Fahrenheit, F, use a fórmula

[F = dfrac {9} {5} C + 32 tag {7.5.34} ]

Exemplo ( PageIndex {14} ):

Converta 50 ° F em graus Celsius.

Solução

Substituiremos 50 ° F na fórmula para encontrar C.

Use a fórmula para converter ° F em ° C$$ C = dfrac {5} {9} (F - 32) tag {7.5.35} $$
Substitua ( textcolor {red} {50} ) por F.$$ C = dfrac {5} {9} ( textcolor {red} {50} - 32) tag {7.5.36} $$
Simplifique entre parênteses.$$ C = dfrac {5} {9} (18) tag {7.5.37} $$
Multiplicar.$$ C = 10 tag {7.5.38} $$

Uma temperatura de 50 ° F é equivalente a 10 ° C.

Exercício ( PageIndex {27} ):

Converta as temperaturas em Fahrenheit para graus Celsius: 59 ° F.

Responder

15 ° C

Exercício ( PageIndex {28} ):

Converta as temperaturas Fahrenheit em graus Celsius: 41 ° F.

Responder

5 ° C

Exemplo ( PageIndex {15} ):

A previsão do tempo para Paris prevê uma alta de 20 ° C. Converta a temperatura em graus Fahrenheit.

Solução

Substituiremos 20 ° C na fórmula para encontrar F.

Use a fórmula para converter ° F em ° C$$ F = dfrac {9} {5} C + 32 tag {7.5.39} $$
Substituir ( textcolor {red} {20} )$$ F = dfrac {9} {5} ( textcolor {red} {20}) + 32 tag {7.5.40} $$
Multiplicar.$$ F = 36 + 32 tag {7.5.41} $$
Adicionar.$$ F = 68 tag {7.5.42} $$

Portanto, 20 ° C é equivalente a 68 ° F.

Exercício ( PageIndex {29} ):

Converta as temperaturas Celsius em graus Fahrenheit: A temperatura em Helsinque, Finlândia, era de 15 ° C.

Responder

59 ° F

Exercício ( PageIndex {30} ):

Converta as temperaturas Celsius em graus Fahrenheit: A temperatura em Sydney, Austrália, era de 10 ° C.

Responder

50 ° F

A prática leva à perfeição

Faça conversões de unidades no sistema dos EUA

Nos exercícios a seguir, converta as unidades.

  1. Um banco de parque tem 6 pés de comprimento. Converta o comprimento em polegadas.
  2. O piso tem 60 cm de largura. Converta a largura em polegadas.
  3. Uma fita tem 18 polegadas de comprimento. Converta o comprimento em pés.
  4. Carson tem 45 centímetros de altura. Converta sua altura em pés.
  5. Jon tem 6 pés e 4 polegadas de altura. Converta sua altura em polegadas.
  6. Faye tem 1,2 m de altura. Converta sua altura em polegadas.
  7. Um campo de futebol tem 160 pés de largura. Converta a largura em jardas.
  8. Em um campo de beisebol, a distância do home plate até a primeira base é de 30 jardas. Converta a distância em pés.
  9. Ulises mora a 2,4 km da escola. Converta a distância em pés.
  10. Denver, Colorado, está a 5.183 pés acima do nível do mar. Converta a altura em milhas.
  11. Uma baleia assassina pesa 4,6 toneladas. Converta o peso em libras.
  12. As baleias azuis podem pesar até 150 toneladas. Converta o peso em libras.
  13. Um ônibus vazio pesa 35.000 libras. Converta o peso em toneladas.
  14. Na decolagem, um avião pesa 220.000 libras. Converta o peso em toneladas.
  15. A viagem do Mayflower durou 2 meses e 5 dias. Converta o tempo em dias.
  16. O cruzeiro de Lynn durou 6 dias e 18 horas. Converta o tempo em horas.
  17. Rocco esperou (1 dfrac {1} {2} ) horas pelo seu compromisso. Converta o tempo em segundos.
  18. A cirurgia de Misty durou (2 dfrac {1} {4} ) horas. Converta o tempo em segundos.
  19. Quantas colheres de chá tem um litro?
  20. Quantas colheres de sopa tem um galão?
  21. O gato de JJ, Posy, pesa 14 libras. Converta seu peso em onças.
  22. O cachorro de April, Beans, pesa 3,6 kg. Converta seu peso em onças.
  23. O bebê Preston pesava 7 libras e 3 onças ao nascer. Converta seu peso em onças.
  24. A bebê Audrey pesava 6 libras e 15 onças ao nascer. Converta o peso dela em onças.
  25. Crista servirá 20 xícaras de suco na festa de seu filho. Converta o volume em galões.
  26. Lance precisa de 500 copos de água para os corredores em uma corrida. Converta o volume em galões.

Use unidades de medida mistas no sistema dos EUA

Nos exercícios a seguir, resolva e escreva sua resposta em unidades mistas.

  1. Eli pegou três peixes. Os pesos dos peixes eram de 2 libras e 4 onças, 1 libra e 11 onças e 4 libras e 14 onças. Qual foi o peso total dos três peixes?
  2. Judy comprou 1 libra 6 onças de amêndoas, 2 libras e 3 onças de nozes e 8 onças de cajus. Qual foi o peso total das nozes?
  3. Um dia, Anya registrou quantos minutos ela passava dirigindo. Ela gravou viagens de 45, 10, 8, 65, 20 e 35 minutos. Quanto tempo (em horas e minutos) Anya passou dirigindo?
  4. No ano passado, Eric fez 6 viagens de negócios. O número de dias de cada um foi 5, 2, 8, 12, 6 e 3. Quanto tempo (em semanas e dias) Eric gastou em viagens de negócios no ano passado?
  5. Renee conectou um cabo de extensão de 6 pés-6 polegadas ao cabo de alimentação de 3 pés-8 polegadas de seu computador. Qual foi o comprimento total das cordas?
  6. O SUV de Fawzi tem 6 pés e 4 polegadas de altura. Se ele colocar uma caixa de 2 pés e 10 polegadas em cima de seu SUV, qual é a altura total do SUV e da caixa?
  7. Leilani quer fazer 8 jogos americanos. Para cada jogo de mesa, ela precisa de 18 polegadas de tecido. De quantos metros de tecido ela precisará para os 8 jogos americanos?
  8. Mireille precisa cortar 60 centímetros de fita para cada uma das 12 meninas em sua aula de dança. De quantos metros de fita ela precisará no total?

Faça conversões de unidades no sistema métrico

Nos exercícios a seguir, converta as unidades.

  1. Ghalib correu 5 quilômetros. Converta o comprimento em metros.
  2. Kitaka caminhou 8 quilômetros. Converta o comprimento em metros.
  3. Estrella tem 1,55 metros de altura. Converta sua altura em centímetros.
  4. A largura da piscina rasa é de 2,45 metros. Converta a largura em centímetros.
  5. O Monte Whitney tem 3.072 metros de altura. Converta a altura em quilômetros.
  6. A profundidade da Fossa Mariana é de 10.911 metros. Converta a profundidade em quilômetros.
  7. O multivitamínico de June contém 1.500 miligramas de cálcio. Converta isso em gramas.
  8. Um colibri de garganta rubi típico pesa 3 gramas. Converta isso para miligramas.
  9. Um pedaço de manteiga contém 91,6 gramas de gordura. Converta isso para miligramas.
  10. Uma porção de sorvete gourmet contém 25 gramas de gordura. Converta isso para miligramas.
  11. A massa máxima de uma carta por correio aéreo é de 2 kg. Converta isso em gramas.
  12. A filha de Dimitri pesava 3,8 kg ao nascer. Converta isso em gramas.
  13. Uma garrafa de vinho continha 750 mililitros. Converta isso para litros.
  14. Um frasco de remédio continha 300 mililitros. Converta isso para litros.

Use unidades de medida mistas no sistema métrico

Nos exercícios a seguir, resolva e escreva sua resposta em unidades mistas.

  1. Matthias tem 1,8 metros de altura. Seu filho tem 89 centímetros de altura. Quanto mais alto, em centímetros, Matthias é o filho?
  2. Stavros tem 1,6 metros de altura. Sua irmã tem 95 centímetros de altura. Quanto mais alto, em centímetros, Stavros é que sua irmã?
  3. Uma pomba típica pesa 345 gramas. Um pato típico pesa 1,2 kg. Qual é a diferença, em gramas, dos pesos de um pato e de uma pomba?
  4. Concetta tinha um saco de farinha de 2 quilos. Ela usou 180 gramas de farinha para fazer biscoitos. Quantos quilos de farinha restam no saco?
  5. Harry enviou pelo correio 5 pacotes que pesavam 420 gramas cada. Qual foi o peso total das embalagens em quilos?
  6. Um copo de suco de laranja fornece 560 miligramas de potássio. Linda bebe um copo de suco de laranja todas as manhãs. Quantos gramas de potássio Linda obtém de seu suco de laranja em 30 dias?
  7. Jonas bebe 200 mililitros de água 8 vezes ao dia. Quantos litros de água Jonas bebe por dia?
  8. Uma porção de pão integral integral fornece 6 gramas de proteína. Quantos miligramas de proteína são fornecidos por 7 porções de pão integral integral?

Converter entre os sistemas americanos e métricos

Nos exercícios a seguir, faça as conversões de unidades. Arredonde para o décimo mais próximo.

  1. Bill tem 75 centímetros de altura. Converta sua altura em centímetros.
  2. Frankie tem 42 centímetros de altura. Converta sua altura em centímetros.
  3. Marcus passou por uma bola de futebol de 24 jardas. Converta o comprimento do passe em metros.
  4. Connie comprou 9 metros de tecido para fazer cortinas. Converta o comprimento do tecido em metros.
  5. Cada americano joga fora uma média de 1.650 libras de lixo por ano. Converta esse peso em quilogramas.
  6. Um americano médio joga fora 36.000 quilos de lixo ao longo de sua vida. Converta esse peso em quilogramas.
  7. Uma corrida de 5 km tem 5 quilômetros de extensão. Converta este comprimento em milhas.
  8. Kathryn tem 1,6 metros de altura. Converta sua altura em pés.
  9. A mala de Dawn pesava 20 quilos. Converta o peso em libras.
  10. A mochila de Jackson pesa 15 quilos. Converta o peso em libras.
  11. Ozzie colocou 14 galões de gasolina em seu caminhão. Converta o volume em litros.
  12. Bernard comprou 8 galões de tinta. Converta o volume em litros.

Converter entre Fahrenheit e Celsius

Nos exercícios a seguir, converta a temperatura Fahrenheit em graus Celsius. Arredonde para o décimo mais próximo.

  1. 86 ° F
  2. 77 ° F
  3. 104 ° F
  4. 14 ° F
  5. 72 ° F
  6. 4 ° F
  7. 0 ° F
  8. 120 ° F

Nos exercícios a seguir, converta as temperaturas Celsius em graus Fahrenheit. Arredonde para o décimo mais próximo.

  1. 5 ° C
  2. 25 ° C
  3. −10 ° C
  4. −15 ° C
  5. 22 ° C
  6. 8 ° C
  7. 43 ° C
  8. 16 ° C

Matemática cotidiana

  1. Nutrição Julian bebe uma lata de refrigerante todos os dias. Cada lata de refrigerante contém 40 gramas de açúcar. Quantos quilos de açúcar Julian obtém de refrigerante em 1 ano?
  2. Refletores Os refletores em cada faixa de marcação de faixa em uma rodovia estão separados por 16 jardas. Quantos refletores são necessários para um trecho de uma milha de rodovia?

Exercícios de escrita

  1. Algumas pessoas pensam que 65 ° a 75 ° Fahrenheit é a faixa de temperatura ideal.
    1. Qual é a sua faixa de temperatura ideal? Porque você acha isso?
    2. Converta suas temperaturas ideais de Fahrenheit para Celsius.
  2. (a) Você cresceu usando o costume dos EUA ou o sistema métrico de medição? (b) Descreva dois exemplos em sua vida quando você teve que fazer uma conversão entre sistemas de medição. (c) Qual sistema você acha que é mais fácil de usar? Explique.

Auto-verificação

(a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

(b) De modo geral, depois de examinar a lista de verificação, você acha que está bem preparado para o próximo capítulo? Por que ou por que não?


Ideias espartanas

Portanto, esta é a versão final da série & # 8220On medição quântica & # 8221. Você pode ter chegado aqui lendo todas as partes anteriores de uma só vez (eu ouvi falar de tais feitos nos comentários). Esta é a apoteose: o que todos esses posts vêm se preparando. Se, por algum motivo que só a Internet sabe, você chegou aqui sem o benefício das seis primeiras parcelas, eu lhe fornecerei o link da primeira parcela, mas não vou resumir todas as postagens, a partir de deferência a todos os leitores que aqui chegaram da forma convencional.

A Interpretação de Copenhague da mecânica quântica, como tenho certeza de que todos vocês que chegaram à Parte 7 estão cientes, é uma visão do significado da mecânica quântica promulgada principalmente pelo físico dinamarquês Niels Bohr, e codificada na década de 1920, que é, o & # 8220heydays & # 8221 da física quântica. A mecânica quântica pode ser desconcertante, com certeza, e há várias tentativas de enquadrar o que observamos experimentalmente com nosso bom senso. A Interpretação de Copenhagen é uma visão extrema (na minha opinião) de como dar sentido ao reflexo do mundo quântico em nossos dispositivos de medição clássicos. Assim, em sua essência, a Interpretação de Copenhagen reflete sobre a relação do clássico com o mundo quântico.

Como um jovem estudante de mecânica quântica no início dos anos 80, fiquei um pouco perplexo com isso.Quando a verdadeira física subjacente é quântica (pensei) e, portanto, o mundo clássico é apenas uma aproximação do quântico, como podemos ter & # 8220 teoremas & # 8221 que codificam a relação entre os sistemas quântico e clássico?

Não vou escrever um tratado aqui sobre a Interpretação de Copenhagen. Eu já criei um link para o artigo da Wikipedia sobre isso, o que deve deixar aqueles de vocês que ainda não estão reclamando de tudo. Vou apenas listar as duas coisas centrais & # 8220 & # 8221 que são ensinadas em quase todos os lugares onde a mecânica quântica é ensinada, e que podem ser diretamente rastreados até a escola de Bohr & # 8217s.

1. Os sistemas físicos não têm propriedades definidas antes de serem medidos, mas, em vez disso, devem ser descritos por um conjunto de probabilidades
2. O ato de medição muda o sistema quântico, de modo que assume apenas uma das possibilidades anteriores (colapso ou redução da função de onda)

Sim, o entendimento geral da Interpretação de Copenhagen é mais multifacetado, mas para o propósito desta postagem, vou me concentrar no colapso da função de onda. Quando eu entendi totalmente o que isso significava, ficou imediatamente claro para mim que isso era apenas um monte de besteira. Eu não conhecia nenhuma lei da física que pudesse engendrar tal colapso, e ela violava tudo em que acreditava (como a conservação de probabilidades). Você que lê este blog com tanto ardor já sabe disso: não faz sentido do ponto de vista da teoria da informação.

Agora, a teoria da informação quântica não existia na época de Bohr (e Heisenberg, que deve carregar parte da culpa pela Interpretação de Copenhagen). E talvez os dois devessem ser aprovados por este motivo simples, exceto pelo fato de que John von Neumann, como já salientei em outro post), já tinha os fundamentos da teoria da informação quântica elaborados em 1932, dois anos após o primeiro O tratado & # 8220definitivo & # 8221 sobre o & # 8220Copenhagen spirit & # 8221 foi publicado por Heisenberg.

Então você, leitor fiel, venha até este post bem preparado. Você já sabe que Hans Bethe disse a mim e ao meu colega Nicolas Cerf que mostramos que as funções de onda não entram em colapso, você sabe que John von Neumann quase descobriu a teoria da informação quântica nos anos 30, que a medição quântica é muito diferente de sua contraparte clássica porque copiar não é permitido no mundo quântico. Você sabe de onde vem a regra de Born & # 8217 e ponderou sobre a utilidade dos diagramas quânticos de Venn. Foi prometido a você uma discussão sobre o gato Schrödinger & # 8217s, mas isso nunca se materializou. Em vez disso, você teve uma discussão sobre a borracha quântica. Sem dúvida, esse é um sistema mais interessante, mas entendo se você ficar irritado. Mas para compensar, agora chegamos ao avô quântico de todos eles. Mostrarei a vocês que a interpretação de Copenhague não é apenas torrada teoricamente, mas que é possível projetar experimentos que demonstrem isso. Ou eles vão mostrar que estou cheio da porcaria acima mencionada. De qualquer forma, será emocionante.

Neste post, vou revelar a você a beleza matemática e a elegância de medições consecutivas realizadas no mesmo sistema quântico. Também vou mostrar como olhar para três medições em uma linha (mas não duas), vai revelar a você que a Interpretação de Copenhagen agora é história, pronta para o monte de lixo de conceitos mal concebidos na física teórica. Tudo o que vou contar a vocês é uma extensão da imagem sobre a qual Nicolas Cerf e eu escrevemos em 1996 e que Bethe entendeu imediatamente depois de lhe mostrarmos nossos resultados, enquanto levamos seis meses para entender o que ele nos contou . Mas é uma extensão que levou algum tempo para ser esclarecida, de modo que a acusação de Bohr (e implicitamente de Heisenberg) e o quadro de colapso da medição são inequívocos e, o mais importante, verificáveis ​​experimentalmente.

Vamos direto ao ponto. Mas começar pode realmente ser a coisa mais difícil aqui. Digamos que você queira medir um sistema quântico. Mas você não sabe absolutamente nada sobre isso. Como você escreve esse sistema quântico?

Em geral, as pessoas escrevem estados quânticos arbitrários como este: (| Q rangle = sum_i alpha_i | i rangle ), com coeficientes complexos αi que satisfazem (| Q rangle = sum_i alpha_i | i rangle ). Mas você pode perguntar: & # 8220Quem lhe disse em que base escrever esse estado quântico? Os estados básicos ( alpha_i ), quero dizer & # 8221. Afinal, as amplitudes ( alpha_i ) só fazem sentido com relação a um determinado sistema de base (se você transformar essa base em outra, como faremos muito neste post) ela altera os coeficientes. & # 8220Assim, você já presumiu muito ao escrever o estado quântico assim? & # 8221 (Você deve se lembrar de perguntas como essa em um post de blog sobre informações clássicas, e isso não é por acaso).

Se você pensar um pouco sobre esse problema, perceberá que, de fato, os coeficientes e a base escolhida são cruciais. Assim como na teoria da informação clássica, onde eu disse a você que a entropia de um sistema era indefinida e determinada apenas pelo dispositivo de medição que você estava prestes a usar para aprender sobre ela, o estado de um sistema quântico arbitrário só faz sentido em relação ao estados quânticos do detector que você está prestes a usar para medi-lo. Isso é, essencialmente, o que está no cerne do formalismo & # 8220 estado relativo & # 8221 da mecânica quântica, devido a Everett, é claro. Aquele sujeito, Hugh Everett, não recebe tanto reconhecimento quanto merece, então deixarei que você olhe para ele por um tempo.

H. Everitt III (1930-1982) Fonte: Wikimedia

Ele inventou sua teoria como estudante de graduação, mas como ninguém acreditava em sua teoria na época, ele deixou a física quântica e se tornou um analista de defesa.

Você pode esperar que eu inicie uma descrição e discussão da interpretação & # 8220muitos mundos & # 8221 da mecânica quântica, que se tornou uma moda passageira na década de 1970, mas não consegui. É tolice chamar a imagem do estado relativo de uma interpretação & # 8220muitos mundos & # 8221, porque ela não propõe de forma alguma que em cada evento de medição quântica o universo se divide em tantos mundos quanto existem estados ortogonais. Na verdade, isso é mais do que tolo (também não foi defendido por Everett), e as pessoas que inventaram esses termos deveriam ter vergonha de si mesmas (mas não vou citá-los aqui). Minha reafirmação da teoria de Everett & # 8217s na linguagem moderna da teoria da informação quântica pode ser lida aqui e, em qualquer caso, Zeh (em 1973) e Deutsch (em 1985) antes de mim tinham entendido muito sobre a teoria de Everett & # 8217s sem imaginar algum vodu de muitos mundos.

Portanto, vamos realmente falar sobre um estado quântico, escrevendo-o em termos dos estados básicos do dispositivo de medição com o qual vamos examiná-lo. Porque isso é tudo o que podemos fazer, sempre. Assim como aprendemos nas primeiras seis parcelas desta série, mediremos o estado quântico usando uma ancilla A, com estados de base ortogonal (| i rangle_A ) Eu escrevi o & # 8216A & # 8217 como um subscrito para distinguir a partir dos estados quânticos, mas mais tarde irei abandonar o subscrito assim que você estiver acostumado com a notação.

Agora veja o que acontece se eu medir (| Q rangle = sum_i alpha_i | a_i rangle ) com A (para distinguir os estados quânticos, escritos em termos de A & # 8217s base do espaço A Hilbert, nós simplesmente escrevemos como (| a_i rangle )). A probabilidade de observar o estado quântico no estado eu é (você se lembra, é claro, da Parte 4)

Agora veja só: você deve medir um estado aleatório, mas a distribuição de probabilidade obtida não é aleatória, mas dada pela distribuição de probabilidade pi, que não é uniforme. Isso não faz sentido algum. Se (| Q rangle ) fosse verdadeiramente arbitrário, então em média você deveria ver (p_i = 1 / d ) (a distribuição uniforme), onde d é a dimensão do espaço de Hilbert. Portanto, um estado quântico desconhecido arbitrário, escrito em termos dos estados básicos do aparelho no qual iremos medi-lo, deve ser (e deve ser) escrito como

Agora, cada resultado i é igualmente provável, como deveria ser se você estiver medindo um estado que ninguém preparado de antemão. Um estado aleatório. Com entropia máxima.

Então, agora deixamos isso fora do caminho: sabemos como escrever o estado a ser medido. Exceto que assumimos que o sistema Q nunca interagiu com nada (ou foi medido por nada) antes. Essa também é uma suposição sem sentido. Todos os estados quânticos estão emaranhados: não existe um sistema quântico & # 8220pristino & # 8221. Felizmente, sabemos exatamente como descrever isso: podemos escrever a função de onda quântica de modo que ela seja emaranhada com um estado arbitrário de & # 8220reference & # 8221 R:

Você pode pensar em R como todos os dispositivos de medição com os quais Q interagiu no passado: quem somos nós para dizer que A é realmente o primeiro? Agora não sabemos realmente o que são todos esses estados R, então apenas os rastreamos, de modo que a matriz de densidade Q seja o familiar

( rho_Q = frac1d sum_i | a_i rangle langle a_i |. )

Depois de medirmos o estado com A, o estado conjunto de QRA é agora (as postagens anteriores mostram como fazer isso)

Não se preocupe muito com o sistema R: a matriz de densidade Q ainda é a mesma que a anterior, e tenho que pular o motivo para isso aqui. Você pode ler sobre isso no jornal. Oh sim, há um papel. Leia.

Afinal, este é o post sobre medições consecutivas, então mediremos Q novamente, mas desta vez com ancilla B, que não está na mesma base de A. (Se fosse, o resultado seria trivial: você & # 8217d obtém o mesmo resultado repetidamente: é como se todas as peças do dispositivo de medição A concordassem com o resultado).

Então, diremos que os auto-estados B são em um ângulo com os estados próprios A:

Isso significa apenas que o que é zero ou um em um dos dispositivos de medição (se estivermos medindo qubits) será uma sobreposição na outra base. U é uma matriz unitária. Para qubits, um U típico ficará assim:

onde θ é o ângulo entre as bases. (Sim, é um caso especial, mas bastará.)

Para medir Q com B (depois de medi-lo com A, é claro), temos que escrever Q em termos de estados próprios de B & # 8217 e, em seguida, medir. O que você obtém é uma função de onda que tem Q emaranhado não apenas com seu passado (R), mas com A e B também:

Você pode pensar que isso parece muito complicado, mas o resultado é realmente muito simples. E está de acordo com tudo o que foi escrito sobre medições consecutivas até agora, sejam elas defendendo uma imagem de colapso ou uma imagem unitária & # 8220 estado relativo & # 8221. Por exemplo, a matriz de densidade conjunta de apenas dois detectores, ( rho_), é apenas

( rho_= frac1d sum_i | i rangle langle i | otimes sum_j | U_| ^ 2 | j rangle langle j |. )

Que este é o resultado & # 8220 padrão & # 8221 irá aparecer quando você perceber que (| U_| ^ 2 ) é a probabilidade condicional para medir o resultado j com B dado que a medição anterior (com A) deu o resultado eu (com probabilidade (1 / d ), é claro).

É um aviso justo que, se você não entendeu esse resultado, provavelmente não deve continuar lendo. Continue, se necessário, mas lembre-se de voltar a este resultado.

Além disso, lembre-se de que, de agora em diante, usarei o índice eu para o sistema A, o índice j para o sistema B, e mais tarde irei usar k para o sistema C. E não irei indicar continuamente o estado com um subscrito incômodo como (| i rangle_A ). Porque é assim que eu rolo.

Então aqui está o que alcançamos. Nós escrevemos a física de medições quânticas consecutivas realizadas no mesmo sistema em um formalismo manifestamente unitário, onde as funções de onda não entram em colapso, e a função de onda conjunta do sistema quântico, emaranhada com tudo as medidas que precederam nossas medidas, junto com nossas tentativas recentes com A e B, existe em uma sobreposição, todas as possibilidades (realizadas ou não) ainda presentes. E a matriz de densidade resultante, juntamente com todas as probabilidades, concorda precisamente com o que se sabe desde Bohr, mais ou menos.

E os sussurros de & # 8220Chris, que outras maneiras você conhece de perder seu tempo, além de, quero dizer, blogando? & # 8221 estão ficando mais altos.

Mas espere. Existe a medição com C que anunciei. Você pode pensar (possivelmente com qualquer pessoa que já contemplou esse cálculo) & # 8220Por que as coisas mudariam? & # 8221 Mas irão. A terceira medição mostrará uma diferença dramática e, assim que terminarmos, você saberá o motivo.

Primeiro, fazemos a matemática chata. Você poderia fazer isso sozinho (desde que tenha seguido o suficiente para conseguir derivar as Eqs. (1) e (2). Você apenas usa um U unitário ′ para codificar o ângulo entre o sistema de medição C e o sistema B (apenas como U descreveu a rotação entre os sistemas A e B), e o resultado (depois de traçar o sistema quântico Q e o sistema de referência R, uma vez que ninguém está olhando para eles) parece inócuo o suficiente:

Exceto depois de examinar esta fórmula algumas vezes, você aperta os olhos. E então você vai & # 8220 Espere, espere & # 8221.

& # 8220A medição B! & # 8221, você expira. Depois de medir com B, o dispositivo era diagonal na base de medição (isso significa que a matriz de densidade era como (| j rangle langle j | )). Mas agora você mediu Q novamente, e agora B não é mais diagonal (agora é como (| j rangle langle j & # 8217 | )). Como isso é possível?

Bem, é a lei, é tudo o que posso dizer. A mecânica quântica exige isso. Afinal, as matrizes de densidade contam apenas uma parte da história (já que você está rastreando toda a história das medições). Essa história pode estar cheia de mentiras, e aqui está o que realmente está acontecendo.

É o durar medição que dá uma matriz de densidade diagonal na base de medições, sempre. Ah, e o primeiro, se você medir um estado desconhecido arbitrário. São dois. Para ver que as coisas podem ser diferentes, você precisa de um terceiro. O que está no meio.

Para ver essa Eq. (3) não é nada parecido com o que você está acostumado, vamos ver o que uma imagem recolhida lhe proporcionaria. Um cálculo detalhado usando o formalismo convencional levará a (o sobrescrito & # 8220coll & # 8221) é para lembrá-lo de que este NÃO é o resultado de um cálculo unitário

( rho_^ << rm coll >> = frac1d sum_i | i rangle langle i | otimes sum_j | U_| ^ 2 | j rangle langle j | otimes sum_k | U & # 8217_| ^ 2 | k rangle langle k |. ) (4)

A diferença entre (3) e (4) deve ser imediatamente óbvia para você. Você obtém (4) de (3) se definir j = j ′, ou seja, se remover os termos fora da diagonal que existem em (3). Mas, você vê, não há nenhuma lei da física que permite apenas pegar alguns termos fora da diagonal e arrancá-los da matriz. Isso significa que (3) é uma consequência da mecânica quântica e (4) não é derivado de nada. É realmente apenas um pensamento positivo.

& # 8220Assim & # 8221, posso ouvir você murmurar à distância, & # 8220 você pode fazer uma medição que apóie uma ou outra das abordagens? Os experimentos podem dizer a diferença entre as duas maneiras de entender a medição quântica? & # 8221

Essa, detetive, é a pergunta certa.

Como podemos saber a diferença entre duas matrizes de densidade? Vamos nos concentrar nos qubits aqui (d = 2). E, apenas para tornar as coisas mais tangíveis, vamos corrigir os ângulos entre as medições consecutivas.

A medida A é a primeira medida, portanto, não há ângulo. Na verdade, A define o cenário e todas as medições subsequentes serão relativas a isso. Vamos levar B a 45 graus para A. Isso significa que B terá uma chance de 50/50 de registrar 0 ou 1, não importa se A registrou 0 ou 1. Observe que A também registrará 0 ou 1 na metade do tempo, pois deveria no estado inicial ser aleatório e desconhecido.

Tomaremos C para medir em um ângulo de 45 graus em relação a B também, de modo que a entropia de C & # 8217 também seja um bit. Portanto, a entropia de todos os três detectores deve ser um bit. Isso será verdade, aliás, tanto na imagem unitária quanto na de colapso. Os estados relativos entre os três detectores são, no entanto, bastante diferentes entre as duas descrições. Abaixo você pode ver o diagrama quântico de Venn para a imagem unitária à esquerda e a imagem recolhida à direita.

A gente meio que sabia que tinha que ser assim, por causa dos ângulos π / 4 e tudo. Sim, os dois diagramas parecem muito diferentes. Por exemplo, observe o detector B. Se eu der A e C, o estado de B é perfeitamente conhecido como S (B | AC) = 0). Isso não é verdade na imagem do colapso: dar A ou C não faz nada para B.

Isso por si só parece um toque de morte para a imagem unitária: como pode ser que um passado e um experimento futuro possam determinar totalmente o estado quântico no presente? Acontece que essas perguntas já foram feitas antes! Aharonov, Bergmann e Lebowitz (ABL) mostraram em 1964 que é possível configurar uma medida de forma que conhecer os resultados de A e C permitirá prever com certeza o que B teria registrado [1]. Como você pode ver pelo título do artigo, a ABL estava preocupada com a aparente assimetria na medição quântica.

Claro que existe uma assimetria! uma medição pode falar sobre o passado, mas não pode dizer sobre o futuro! Que assimetria!

Calma aí. Essa não é uma comparação justa. Afinal, a causalidade governa sobre todos nós: o que não aconteceu é diferente do que aconteceu. A verdadeira questão é se, depois de todas as coisas serem ditas e feitas, existe uma assimetria entre o que foi e o que poderia ter sido. Na linguagem da medição quântica, devemos, em vez disso, fazer a pergunta: Se as medições anteriores influenciam o que posso registrar no futuro, as medições futuras restringem o que antes era, de maneira igual? Ou dito de outra forma, as medições de hoje podem me dizer tanto sobre o estado em que foram realizadas, quanto saber o estado de hoje pode dizer sobre medições futuras?

Em certa medida, a ABL respondeu a esta pergunta afirmativamente. Para um cenário de medição bastante elaborado, eles mostraram que se você me der o registro de medição do passado, bem como o que foi medido no futuro, posso dizer o que é você devo mediram no presente. Em outras palavras, eles disseram que o passado e o futuro, tomados em conjunto, irão predizer o presente perfeitamente.

Não creio que todos que leram aquele artigo em 1964 estavam cientes das ramificações dessa descoberta. Acho que as pessoas não estão agora. O que mostramos em nosso artigo é que o que ABL mostrou é válido em uma situação bastante artificial; na verdade, é válido universalmente, o tempo todo.

& # 8220 Qual papel? & # 8221, você pergunta. & # 8220Venha já limpo! & # 8221

Não dá para esperar mais um pouco? Prometo que estará no final do blog. Você pode avançar, se necessário.

Na verdade, mostramos que o resultado ABL é apenas um caso especial que se aplica de maneira bastante geral.Para qualquer sequência de medições do mesmo sistema quântico, Jennifer Glick e eu provamos que apenas a primeira e a última medição são incertas. Todas essas medidas intermediárias são perfeitamente previsíveis. (Isso vale apenas para o caso de medição de estados quânticos despreparados.) Isso faz sentido do ponto de vista que acabei de defender: você não pode saber totalmente a última medição porque o futuro ainda não aconteceu. E você não pode saber a primeira medição porque não há nada em seu passado. Todo o resto é perfeitamente cognoscível.

Agora, & # 8220conhecível & # 8221 não significa & # 8220 conhecido & # 8221, porque em geral você não pode usar os resultados das medições individuais para fazer as previsões sobre os detectores intermediários: você precisa de alguns dos termos fora da diagonal da matriz de densidade , o que significa que você precisa realizar medições mais complexas das juntas. Mas você só precisa dos dispositivos de medição, nada mais.

Mostramos uma série de outras coisas bastante incomuns para sequências de medições quânticas no artigo apropriadamente intitulado & # 8220Mecânica quântica de medições consecutivas & # 8221, que você pode ler no arXiv aqui. Por exemplo, mostramos que a sequência de medições faz não formar uma cadeia de Markov, como é esperado para uma imagem colapsada. Também mostramos que a matriz de densidade de algum par de detectores nessa cadeia sequencial é & # 8220clássico & # 8221, que identificamos aqui com & # 8220 diagonal na base do produto detector & # 8221. Existem vários resultados mais gerais lá: certifique-se de ler o Material Suplementar, onde estão todas as provas.

& # 8220Assim, sua matemática diz que as funções de onda não entram em colapso. Você pode provar isso experimentalmente? & # 8221

Essa também é uma excelente pergunta. Afinal, a matemática é apenas um substituto que nos ajuda a entender as leis da natureza. O que estamos dizendo é que as leis da natureza não são como você pensava. E se você fizer uma afirmação como essa, ela deve ser falsificável. Se sua teoria realmente vai além do cânone aceito, então deve haver um experimento que apoiará a nova teoria (não pode prová-lo, veja bem) enviando a teoria antiga para onde & # 8230. velhas teorias vão morrer.

O que é esse experimento? Acontece que não é uma experiência fácil. Ou, pelo menos, para este cenário particular (três medições consecutivas do mesmo sistema quântico) o experimento não é fácil. A estatística de contagens dos três dispositivos de medição é prevista pela diagonal da matriz de densidade da junta ( rho_), e isso é o mesmo na imagem de estado relativo unitário e na imagem de colapso. A diferença está nos elementos fora da diagonal da matriz de densidade. Agora, existem métodos que permitem medir elementos fora da diagonal de um estado quântico, usando os chamados métodos de & # 8220 tomografia de estado quântico & # 8221. Como a matriz de densidade em questão é grande (uma matriz 8 & # 2158 para medições de qubit), esta é uma medição muito complexa. Felizmente, existem atalhos. Acontece que, para o caso em questão, cada um momento da matriz de densidade é diferente. O enésimo momento de uma matriz de densidade é definido por (< rm Tr> rho ^ n ), e verifica-se que já o segundo momento, ou seja, (< rm Tr> rho ^ 2 ) é diferente. Medir o segundo momento da matriz de densidade é muito mais simples do que medir toda a matriz por meio de tomografia de estado quântico, mas dado que é um sistema de três qubit, ainda não é um esforço simples. Mas é um que espero que alguém se convença de que vale a pena empreendê-lo. Porque será a experiência que enviará a embalagem da interpretação de Copenhague, para sempre.

Então eu me perguntei: & # 8220Como faço para encerrar uma série tão longa sobre medição quântica e este último post interminável? & # 8221 Espero ter trazido a medição quântica um pouco para fora do canto obscuro para onde às vezes é relegada. Muito sobre a medição quântica pode ser facilmente compreendido e os mistérios que ainda existem podem, estou confiante, ser resolvidos também. O colapso nunca fez qualquer sentido físico para começar, mas também não fez uma ramificação do universo. Sabemos que a mecânica quântica é unitária e agora sabemos que a cadeia de medições também o é. O que falta resolver, na verdade, é apenas a aleatoriedade que experimentamos na última medição, quando o futuro ainda é incerto.

De onde vem essa aleatoriedade? O que essas probabilidades significam? Eu tenho algumas idéias sobre isso, mas isso terá que esperar por outro post no blog. Ou série.

[1] Y. Aharonov, P. G. Bergmann e J. L. Lebowitz, "Simetria de tempo no processo quântico de medição," Phys. Rev. B 134, 1410-16 (1964).


7.1 RESOLVER EQUAÇÕES EM DUAS VARIÁVEIS

A equação d = 40f emparelha uma distância d para cada tempo t. Por exemplo,


se t = 1, então d = 40
se t = 2, então d = 80
se t = 3, então d = 120

O par de números 1 e 40, considerados juntos, é chamado de solução da equação d = 40r porque quando substituímos 1 por t e 40 por d na equação, obtemos uma afirmação verdadeira. Se concordarmos em nos referir aos números emparelhados em uma ordem especificada em que o primeiro número se refere ao tempo e o segundo número se refere à distância, podemos abreviar as soluções acima como (1, 40), (2, 80), (3 , 120) e assim por diante. Chamamos esses pares de pares de números ordenados e nos referimos ao primeiro e ao segundo números nos pares como componentes. Com este acordo, as soluções da equação d - 40t são pares ordenados (t, d) cujos componentes satisfazem a equação. Alguns pares ordenados para t igual a 0, 1, 2, 3, 4 e 5 são

(0,0), (1,40), (2,80), (3.120), (4.160) e (5.200)

Esses pares às vezes são mostrados em uma das seguintes formas tabulares.

Em qualquer equação particular envolvendo duas variáveis, quando atribuímos um valor a uma das variáveis, o valor da outra variável é determinado e, portanto, dependente da primeira. É conveniente falar da variável associada ao primeiro componente de um par ordenado como a variável independente e da variável associada ao segundo componente de um par ordenado como a variável dependente. Se as variáveis ​​xey são usadas em uma equação, entende-se que as substituições de x são os primeiros componentes e, portanto, x é a variável independente e as substituições de y são os segundos componentes e, portanto, y é a variável dependente. Por exemplo, podemos obter emparelhamentos para a equação

substituindo um valor particular de uma variável na Equação (1) e resolvendo para a outra variável.

Encontre o componente que falta para que o par ordenado seja uma solução para

se x = 0, então 2 (0) + y = 4
y = 4

se x = 1, então 2 (1) + y = 4
y = 2

se x = 2, então 2 (2) + y = 4
y = 0

Os três pares agora podem ser exibidos como os três pares ordenados

EXPRESSANDO UMA VARIÁVEL EXPLICITAMENTE

Podemos adicionar -2x a ambos os membros de 2x + y = 4 para obter

-2x + 2x + y = -2x + 4
y = -2x + 4

Na Equação (2), onde y é por si só, dizemos que y é expresso explicitamente em termos de x. Freqüentemente, é mais fácil obter soluções se as equações forem expressas primeiro dessa forma, porque a variável dependente é expressa explicitamente em termos da variável independente.

Por exemplo, na Equação (2) acima,

se x = 0, então y = -2 (0) + 4 = 4
se x = 1, então y = -2 (1) + 4 = 2
se x = 2, então y = -2 (2) + 4 = 0

Obtemos os mesmos pares que obtivemos usando a Equação (1)

Obtivemos a Equação (2) adicionando a mesma quantidade, -2x, a cada membro da Equação (1), obtendo assim y por si só. Em geral, podemos escrever equações equivalentes em duas variáveis ​​usando as propriedades que introduzimos no Capítulo 3, onde resolvemos equações de primeiro grau em uma variável.

As equações são equivalentes se:

  1. A mesma quantidade é adicionada ou subtraída de quantidades iguais.
  2. Quantidades iguais são multiplicadas ou divididas pela mesma quantidade diferente de zero.

Resolva 2y - 3x = 4 explicitamente para y em termos de x e obtenha soluções para x = 0, x = 1 e x = 2.

Solução
Primeiro, adicionando 3x a cada membro que obtemos

2y - 3x + 3x = 4 + 3x
2y = 4 + 3x (continuação)

Agora, dividindo cada membro por 2, obtemos

Neste formulário, obtemos valores de y para determinados valores de x da seguinte forma:

Nesse caso, três soluções são (0, 2), (1, 7/2) e (2, 5).

Às vezes, usamos uma notação especial para nomear o segundo componente de um par ordenado que é emparelhado com um primeiro componente especificado. O símbolo f (x), que geralmente é usado para nomear uma expressão algébrica na variável x, também pode ser usado para denotar o valor da expressão para valores específicos de x. Por exemplo, se

O símbolo f (x) é comumente referido como notação de função.

Se f (x) = -3x + 2, encontre f (-2) e f (2).

Substitua x por -2 para obter
f (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

Substitua x por 2 para obter
f (2) = -3 (2) + 2 = -4


Lição: Capacidade e Peso Parte 2

Como você se lembra de ontem, para medir a capacidade, usamos xícaras, onças, pintas, quartos e galões. Vamos fazer um gráfico âncora de como todos eles estão relacionados. (Crie um gráfico de âncora - os alunos devem conhecer a maioria das relações da 4ª série e do galão).

Usando este gráfico, posso resolver problemas. 1. Quantas xícaras há em 2 litros? Se eu sei que existem 4 xícaras em 1 litro, então há 8 xícaras em 2 litros. Quantas canecas tem em 4 xícaras?

Existem 2 copos em cada litro, então quando eu divido, recebo 2 litros.

Para medir o peso, uso libras, onças ou toneladas. Vamos adicioná-los ao nosso gráfico âncora.

Quantas onças equivalem a 2 libras? Se cada libra tiver 16 onças, 2 libras equivalem a 32 onças.

Vamos tentar as primeiras conversões em sua planilha juntos. # 1-4: Prática guiada

Agora você completará a tarefa sozinho

Quais unidades são usadas para medir a capacidade? Quais unidades medem peso?

Como as unidades métricas são diferentes das unidades usuais?

Pé, jarda, polegada, milha, centímetro, milímetro, decímetro, metro, quilômetro


Principalmente porque é mais fácil e barato.

Imagine que você queira saber o que pensa todo o país. você não pode perguntar a milhões de pessoas, então, em vez disso, você pergunta a talvez 1.000 pessoas.

Há uma boa citação (possivelmente de Samuel Johnson):

"Você não precisa comer o animal inteiro para saber que a carne é dura."

Esta é a ideia essencial da amostragem. Para descobrir informações sobre a população (como média e desvio padrão), não precisamos olhar para tudo membros da população, precisamos apenas de uma amostra.


Lição: Área de um paralelograma

Posso resolver a área e o perímetro de um triângulo e retângulo. Posso identificar a área ou triângulo, paralelogramos e retângulos.

O que você lembra? O que você precisa praticar?

Área, perímetro, base, altura, comprimento, largura, área (paralelogramo)

Vamos revisar rapidamente a área e o perímetro e vou dar a você muito tempo para praticar por conta própria. Qual é a diferença entre área e perímetro? Reafirme as definições claras de cada um. Reveja como encontrar um retângulo e um paralelogramo. Como um 5º ano, tivemos muita dificuldade para encontrar a área de um triângulo neste último ínterim. O que há de especial em encontrar a área de um triângulo? Por que devo dividir por 2?Reafirme claramente que, como um triângulo é a metade de um retângulo, você deve dividir por 2. Forneça também a fórmula e certifique-se de que os alunos saibam como usá-la.

Tentaremos os primeiros problemas de seu trabalho independente juntos.

Agora você concluirá o trabalho restante por conta própria. Enquanto eu seleciono grupos, espera-se que você trabalhe de forma independente.

Por que é apropriado dividir por 2 para encontrar a área de um triângulo? Por que a fórmula da área de um retângulo é a mesma que a de um paralelogramo?


Matemática para a engenharia de precisão moderna

O objetivo da engenharia de precisão é o controle preciso da geometria. Por esta razão, a matemática tem uma longa associação com a engenharia de precisão: desde o cálculo e correção de escalas angulares usadas em levantamentos e instrumentação astronômica até técnicas de médias estatísticas usadas para aumentar a precisão. Este estudo ilustra o papel facilitador que as ciências matemáticas estão desempenhando na engenharia de precisão: modelagem de processos físicos, instrumentos e geometrias complexas, caracterização estatística de sistemas de metrologia e compensação de erros.

1. Introdução

O objetivo da engenharia de precisão é o controle preciso da geometria. A engenharia de precisão é normalmente caracterizada pela relação entre as tolerâncias geométricas e o tamanho do objeto. Essa proporção está diminuindo com o tempo à medida que a engenharia de precisão se torna mais precisa. Na década de 1980, essa relação era da ordem de 1 parte em 10 4 [1]. Hoje, é normalmente da ordem de 1 parte em 10 6 e, para alguns projetos importantes de engenharia do século XXI que foram propostos, está se aproximando de 1 parte em 10 8. Por exemplo, no European Extremely Large Telescope de 42 m, cada um dos 984 segmentos hexagonais é da ordem de 1–2 m de diâmetro com uma tolerância de forma especificada melhor que 25 nm [2].

As ciências matemáticas têm uma longa e ilustre história com geometria para engenharia de precisão. No antigo Egito, problemas geométricos aparecem tanto no Rhind Mathematical Papyrus (RMP) [3,4] e no Moscow Mathematical Papyrus (MMP) [5]. Esses exemplos demonstram que os antigos egípcios sabiam como computar vários atributos geométricos e colocar esse conhecimento em utilidade prática, particularmente no restabelecimento de sistemas de campo após o dilúvio do Nilo, construção de pirâmides, etc.

Em particular, os problemas 56-59 do RMP discutem vários "problemas de pirâmide" que usam o seqed (ou seked), o conceito egípcio de inclinação. O seqed é definido como o deslocamento lateral nas palmas para uma queda de 1 côvado (sete palmas). Por exemplo, no problema 56, é necessário encontrar o seqed de uma pirâmide com uma base de 360 ​​côvados e uma altura de 250 côvados (figura 1). Além disso, no problema 14 do MMP, o volume de uma pirâmide truncada (tronco) é calculado. O seqed é um conceito matemático abstrato usado na construção das pirâmides - as estruturas de engenharia de precisão da época.

Figura 1. Parte do papiro matemático Rhind mostrando problemas 56–60.

2. Termos e definições matemáticas

O seqed é um exemplo de termo e definição matemáticos. O valor dos termos e definições matemáticos é fornecer primeiro um termo comum e, em seguida, um entendimento comum do conceito por trás do termo por meio da definição. Como os papiros matemáticos demonstram, uma vez que um termo tenha sido definido, ele pode ser usado para fornecer procedimentos de cálculo padronizados e exemplos usando os conceitos matemáticos.

O valor dos termos e definições matemáticos é particularmente verdadeiro para os conceitos geométricos. O grande trabalho antigo sobre geometria (e a versão grega antiga da teoria dos números elementares) é de Euclides Elementos [6], que consiste em 13 livros conhecidos e inclui uma coleção de definições, axiomas, construções, teoremas e provas. Euclides reuniu o Elementos coletando resultados geométricos desenvolvidos por outros e complementando-os com algum trabalho original. O tratamento axiomático / dedutivo da geometria provou ser instrumental no desenvolvimento da lógica e da ciência moderna e não foi superado até o século XIX.

Termos e definições matemáticos, úteis para a engenharia de precisão, também têm uma longa história, desde o trabalho de Arquimedes sobre parafusos e alavancas [7], sistema de coordenadas de Descartes [8], as leis do movimento de Newton [9] até a atual matematização de padrões internacionais sobre especificação geométrica do produto e verificação. Eles fornecem uma estrutura conceitual idealizada na qual definir, realizar e fornecer procedimentos de cálculo para entidades matemáticas que são idealizações de objetos do mundo real, como objetos de engenharia de precisão.

3. Medidas e escalas

A medição é fundamental para toda ciência sem medição, não pode haver ciência. Objetos de engenharia de precisão requerem a verificação de que são fabricados de acordo com as especificações e os procedimentos de medição são o principal constituinte do processo de verificação. Embora existam teorias matemáticas de medição, elas não foram usadas na engenharia de precisão até muito recentemente [10]. O aspecto da medição discutido nesta seção é o conceito de escala. O desenvolvimento de escalas cada vez mais precisas tem sido importante para a engenharia de precisão, desde os primeiros instrumentos astronômicos, como astrolábios, até dispositivos astronômicos modernos, por meio de instrumentos de levantamento a escalas em instrumentos de medição por coordenadas, máquinas-ferramentas de precisão, etc.

Uma escala é uma estrutura numérica totalmente ordenada na qual as quantidades físicas são mapeadas, com o mapeamento preservando a estrutura da quantidade física original. As duas escalas de interesse aqui são as escalas de comprimento e ângulo, ambas realizadas usando conceitos matemáticos. Embora outras escalas sejam úteis para a engenharia de precisão, por ex. dureza, temperatura e outras escalas ambientais, eles são realizados usando conceitos da física ao invés da matemática.

As escalas de comprimento e ângulo são escalas lineares. O comprimento requer a definição de um comprimento de unidade. Os primeiros padrões de comprimento unitário eram realizados como barras de extremidade, nas quais a unidade fundamental era a distância entre as duas extremidades da barra. No entanto, para definir uma distância usando uma barra de extremidade com alguma precisão, é necessário que as duas extremidades sejam planas e paralelas entre si, propriedades que são desafiadoras de fabricar e difíceis de manter com o uso. Posteriormente, as barras finais foram substituídas por padrões de linha em que a unidade fundamental é a distância entre duas linhas (paralelas) em uma barra padrão, superando os problemas associados às barras terminais. A unidade SI de comprimento é o metro e, entre 1889 e 1960, foi definida por um padrão de linha de platina-irídio mantido no Bureau International des Poids et Mesures em Paris, França. O ângulo é auto-especificado, com apenas o número de unidades angulares em um círculo completo sendo necessário para ser definido para radianos, isto é 2π.

(a) Realização do medidor

Em 1791, a Academia Francesa de Ciências selecionou uma definição de um décimo milionésimo da distância meridiana entre o Pólo Norte e o Equador através de Paris como sua definição de comprimento unitário, que chamou de metro. Posteriormente, em 1792, Jean Delambre e Pierre Méchain foram contratados para liderar uma expedição para medir a distância entre o campanário em Dunquerque, França, e o Castelo de Montjuïc, Barcelona, ​​Espanha, para estimar o comprimento do arco do meridiano através de Dunquerque. Usando a triangulação e linhas de base precisas entre 1 e 10 km, eles construíram uma série de triângulos imaginários entre Dunquerque e Barcelona para determinar a distância meridiana necessária, concluindo seu trabalho em 1799 [11].

No entanto, em 1793, a França adotou como sua unidade oficial de comprimento um metro com base nos resultados provisórios da expedição.Posteriormente, foi determinado que isso era menor em aproximadamente um quinto de um milímetro, devido ao erro de cálculo do achatamento da Terra. Assim, foi alcançada uma precisão de 1: 5000.

O medidor foi realizado em uma forma física até 1960, quando foi redefinido para 1 650 763,73 comprimentos de onda da linha de emissão laranja-vermelho no espectro eletromagnético do átomo criptônio-86 no vácuo. A definição atual do metro é em termos do segundo e da velocidade da luz [12],

O metro é o comprimento do caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1 / 299.792.458 de segundo.

Assim, o metro, a unidade fundamental de comprimento, agora é definido a partir de conceitos da física, em vez de se basear nos resultados de um levantamento matemático de um artefato geográfico.

(b) Dividindo a unidade fundamental em uma escala

Tendo percebido a unidade fundamental, o próximo estágio é dividir a unidade fundamental em uma escala para aumentar a resolução. Matematicamente, a divisão é interpolação, que é o cálculo de novos pontos de dados a partir de pontos discretos conhecidos. Para as escalas de comprimento, consiste em dividir o comprimento da unidade, definido por uma escala de linha, em comprimentos iguais e para escalas angulares dividir o círculo em ângulos iguais.

Euclides Elementos fornece várias construções geométricas para dividir comprimentos em partes iguais e construções para ângulos particulares e bissecção angular. O método dos transversais usa uma construção geométrica para permitir uma divisão mais precisa de uma escala. Os transversais lineares (figura 2) consistem em uma série de linhas paralelas ortogonais à escala para formar uma grade com as linhas da escala estendida. As linhas diagonais (os transversais) são construídas do canto superior de uma coluna na grade até o canto inferior oposto. Onde uma transversal cruza uma das linhas paralelas constitui uma graduação mais fina da escala. Transversais circulares para escalas angulares também são possíveis, mas a construção da grade é consideravelmente mais complexa. Os transversais lineares têm sido usados ​​para aproximar escalas angulares mais finas, quanto mais fina a escala angular original, melhor a aproximação para a transversal linear.

Figura 2. Transversal linear mostrando uma leitura de 2,34. (Versão online em cores.)

As construções requerem precisão porque quaisquer erros permanecerão na divisão final. Métodos iterativos, com base na descoberta de divisões aproximadas (por exemplo, por construções geométricas) e ajuste através da comparação de comprimentos / ângulos, são simples de implementar na prática e permitem que quaisquer erros sejam eliminados à medida que a iteração prossegue [13].

A escala Vernier substituiu amplamente o método dos transversais. Aqui, uma segunda escala deslizante é usada com graduações ligeiramente menores (Vernier direto) ou maiores (Vernier retrógrado), por ex. nove ou 11 graduações na segunda escala em comparação com 10 graduações na escala principal. A partir das marcas de graduação correspondentes nas duas escalas, é possível obter maior resolução.

A matemática para a escala Vernier é muito semelhante à transversal linear com a distância entre as marcas em uma escala Vernier direta igual à distância ao longo da escala do canto inferior de uma coluna até a intersecção da transversal na próxima coluna na superior mas uma linha paralela.

Uma abordagem alternativa para a divisão do comprimento é por meio de um parafuso. Matematicamente, um parafuso é uma hélice, que liga as escalas de comprimento às escalas angulares por meio de uma relação linear. Dado o passo do parafuso, uma escala angular usada para a rotação do parafuso pode ser usada para ler distâncias lineares. A precisão desta abordagem depende da precisão do parafuso (também a escala angular e a determinação do comprimento do passo). As técnicas para melhorar a precisão do parafuso incluem o uso de uma porca com um engate longo para calcular a média elasticamente (média estatística) de erros locais em um parafuso na fabricação de um parafuso mais preciso.

A produção de escalas foi originalmente realizada à mão, mas "motores de divisão" automáticos que incorporam as técnicas matemáticas mencionadas anteriormente logo se tornaram a norma. Uma boa revisão histórica dos motores de divisão circular e linear é fornecida em Evans [14].

4. Controlando a variabilidade geométrica

O objetivo da engenharia de precisão é o controle preciso da geometria. Euclides Elementos lida apenas com entidades geométricas ideais (ou nominais) (ou seja, círculos perfeitos, linhas retas perfeitas, ângulos retos perfeitos, etc.). Os objetos do mundo real são normalmente projetados para assumir a forma desses objetos geométricos idealizados, mas as tecnologias de manufatura só podem produzir geometrias idealizadas aproximadas sujeitas a variação.

Artefatos de engenharia de precisão podem ser associados a quatro mundos conceituais: o mundo do design, onde o artefato é especificado como imaginado pelo designer, o mundo da manufatura, onde o artefato é criado, o mundo da verificação, onde o artefato é medido para conformidade com especificação e o mundo da vida do produto, onde o artefato é usado. 1 O controle da variabilidade geométrica deve ser levado em consideração em todos os quatro mundos, particularmente ao especificar a geometria de um produto e gerenciar os processos de manufatura. É necessário um mecanismo para distinguir entre geometrias permitidas e inaceitáveis.

Os primeiros mecanismos para controlar a variabilidade geométrica incluem:

- O uso de um componente mestre com o qual a peça fabricada pode ser comparada e então ajustada, conforme necessário.

- (Início de 1800) O uso de aferição rígida que permitia que as peças fossem fabricadas com precisão suficiente para serem montadas de forma intercambiável. Medidores rígidos são dispositivos físicos com características específicas de tamanho / comprimento com os quais os componentes fabricados podem ser comparados a fim de verificar o tamanho / comprimento do componente fabricado. (A teoria matemática básica por trás da medição rígida não foi totalmente desenvolvida até o princípio de Taylor [16] em 1905.)

— (ca 1850) Desenhos dimensionais: a tecnologia de medição permite que desenhos dimensionais, em vez de desenhos ou modelos representacionais, sejam usados ​​como especificações de projeto. Embora não se preocupem diretamente com a variabilidade geométrica, os desenhos dimensionais são um modelo matemático nominal da geometria desejada, um precursor da tolerância de dimensionamento.

- (Início dos anos 1900) Tolerância dimensional: um sistema para especificar limites explícitos nos requisitos dimensionais em desenhos dimensionais, a fim de controlar a variabilidade da peça de trabalho. Em 1905, William Taylor formulou o princípio de Taylor na patente no. 6900 para Melhorias em medidores para parafusos [16]. O princípio mais importante associado ao design de medidores rígidos é o seguinte: um medidor deve verificar o recurso completo (limite máximo de material), enquanto um medidor não deve verificar cada recurso ou dimensão individual.

- (anos 1940) Tolerância geométrica: um sistema de especificação de zonas de tolerância em desenhos de engenharia para controlar a variabilidade da peça. A tolerância geométrica foi desenvolvida para melhorar a fraqueza dos sistemas de tolerância anteriores para lidar com formas imperfeitas e referências ambíguas. A tolerância geométrica ainda está no centro dos sistemas de tolerância de hoje: especificação geométrica do produto e verificação é definido pela International Organization for Standardization (ISO).

Existem três abordagens básicas para verificar se um componente fabricado está em conformidade com sua especificação [17]: medição rígida de medição manual usando micrômetros ou dispositivos semelhantes e metrologia digital que usa pontos amostrados coletados por um sistema de medição por coordenadas tridimensional.

Em 1988, Richard Walker, da Westinghouse Corporation, emitiu um alerta US GIDEP [18] sobre a divergência de métodos entre a metrologia digital e as abordagens de metrologia tradicional baseadas em medições manuais. Esse alerta levou, em última análise, ao processo de redefinição dos conceitos de tolerância geométrica em termos de matemática bem definida, ou seja, para a produção de padrões nacionais e internacionais baseados em matemática. Este processo demonstrou que a matemática da tolerância geométrica não era completa, com muitos conceitos exigindo definições matemáticas precisas para evitar incertezas de definição [19]. Por exemplo, o padrão ISO recentemente publicado sobre tamanhos lineares [20] expandiu uma definição ambígua de tamanho para uma definição precisa do que constitui uma "característica" de tamanho, junto com uma caixa de ferramentas inequívoca de técnicas para definir diferentes tipos de tamanho, dependendo sobre os requisitos funcionais para essa geometria. Por exemplo, uma moeda de 50 pence do Reino Unido tem um diâmetro constante de dois pontos e, portanto, um tamanho de dois pontos bem definido, o que garante que ela possa rolar por uma fenda, embora esteja longe de ser redonda (figura 3).

Figura 3. Um UK 50p rolante.

O desafio com a ‘matematização’ dos padrões de produtos geométricos é fundir o tradicional com o digital usando matemática bem definida que permite utilidade para função, design, metrologia e gerenciamento de vida útil do produto. Este é um momento empolgante para a padronização de produtos geométricos com muitas discussões filosóficas ainda por vir sobre o que um conceito específico realmente significa e como ele pode ser representado matematicamente. Os resultados dessas discussões terão consequências para a engenharia de precisão.

5. O paradigma digital

A metrologia tradicional é essencialmente analógica, usando medidores rígidos e manuais para verificar se um artefato está de acordo com as especificações. A matemática está encapsulada na configuração mecânica (gabaritos e acessórios) e nas relações dos medidores (figura 4). O cálculo pós-medição é relativamente simples e, tradicionalmente, realizado manualmente. A metrologia tradicional restringia-se principalmente a formas geométricas simples (planos, esferas, cilindros, cones, etc.) que descreviam a geometria idealizada dos artefatos da época [21].

Figura 4. Medição do ângulo de conicidade com metrologia tradicional. (Versão online em cores.)

A metrologia digital, por meio de amostragem em um sistema de coordenadas, fornece uma representação digital de um artefato, possibilitando a aplicação de técnicas computacionais (figura 5). A matemática é encapsulada nos cálculos pós-medição por meio de algoritmos de implementação de software que estão se tornando cada vez mais complexos. Quando a metrologia digital apareceu pela primeira vez na década de 1960, os padrões e metodologias ainda refletiam a linguagem e os conceitos da metrologia tradicional. Mas a metrologia digital se estende muito além do domínio da metrologia tradicional.

Figura 5. Medindo uma conicidade com o paradigma digital. (Versão online em cores.)

Em muitas indústrias tecnologicamente avançadas, como a ótica, as formas das superfícies dos objetos manufaturados estão se tornando muito mais complicadas do que as formas geométricas simples. Ao contrário das superfícies convencionais, essas superfícies avançadas não têm eixos de rotação ou outras simetrias e, no futuro, podem ter quase qualquer formato projetado. Essas últimas formas geométricas de superfície são chamadas de superfícies de forma livre [22]. Na última década, o projeto e a fabricação de ótica avançada começaram a incluir elementos óticos de forma livre e superfícies óticas microestruturadas, que são componentes críticos em produtos de alto valor agregado, como câmeras de telefones celulares, impressoras a laser, scanners de mesa, monitores , hardware de telecomunicações e hardware fotônico, por exemplo conectores de fibra óptica de banda larga. As superfícies de forma livre permitem que esses componentes ópticos contenham menos "vidro", tornando-os mais leves, mais baratos de fabricar e, na maioria dos casos, têm um melhor desempenho [23,24].

O uso cada vez maior de superfícies de forma livre de ultraprecisão não está, no entanto, limitado ao campo da óptica: bioimplantes como próteses de joelho usam superfícies de forma livre como componentes do rolamento. Um dos principais avanços no campo biomédico são os pares de rolamentos rígidos de forma livre, exigindo controle de forma em escala micrométrica com controle de topografia de superfície nanométrica [25,26].

Nos quatro mundos de um artefato de precisão, como o mundo do design vem em primeiro lugar, a especificação define o padrão que os outros três mundos seguem. A especificação para um artefato de precisão consiste em muitas chamadas independentes, cada uma das quais requer três elementos a serem definidos: as características de superfície que constituem os mensurandos, as características para definir a propriedade geométrica desejada das características e a regra de comparação para determinar limites aceitáveis ​​/ inaceitáveis ​​do valor da característica.

As características da superfície são definidas por uma série de quatro operações básicas realizadas em uma superfície: amostragem, movendo-se de um objeto contínuo para um objeto discreto, reconstrução, movendo-se de um objeto discreto para um objeto contínuo, decomposição de uma superfície em diferentes características e composição, construindo uma superfície a partir de diferentes recursos. Para a decomposição, existem muitos subtipos diferentes, incluindo: particionar um artefato em diferentes superfícies funcionais, filtrar uma superfície em características de associação de diferentes tamanhos, ou seja, determinar a superfície geométrica nominal especificada de melhor ajuste para os pontos amostrados, etc. Os principais desafios matemáticos são: determinar subtipos adequados das quatro operações que têm utilidade funcional para determinar estratégias de amostragem eficientes para uma superfície geométrica para obter pontos suficientes para realizar operações subsequentes, a fim de verificar se ela está em conformidade com sua especificação (uma complicação é que não é possível amostrar matematicamente de maneira uniforme na maioria das superfícies geométricas, ver Berger [27]) para determinar metodologias de 'melhor ajuste' adequadas para diferentes tipos de superfícies geométricas, a especificação de diferentes tipos de superfícies geométricas (isso é discutido em detalhes no estudo de caso no §5uma), para determinar a filtração para todos os tipos de superfícies geométricas.

Existem dois tipos principais de característica: intrínseca (propriedade de uma única característica) e relacional (propriedade da relação entre duas ou mais características). O principal desafio matemático é determinar características estáveis ​​e robustas para utilidade funcional. Aqui, uma característica estável significa que 'pequenas mudanças' no valor de uma característica implicam 'pequenas mudanças' na superfície (ver Scott [10] para uma descrição matemática completa) e uma característica robusta significa que eventos discrepantes (por exemplo, picos, arranhões , etapas, quebras de continuidade) não levam a 'grandes mudanças' no valor da característica.

As regras de comparação são a parte da chamada que limita a variabilidade geométrica. Existem três maneiras de especificar os limites permitidos: por dimensão, por zona e por estatísticas. O desafio matemático é incorporar a incerteza (ver §8) à regra de comparação.

Um desafio atual muito importante é a especificação de geometrias padronizadas de forma livre e determinística (por exemplo, estruturadas). Algum trabalho inicial foi realizado [28,29], mas ainda é cedo.

(a) Estudo de caso: especificação de superfícies geométricas

A especificação da forma ideal de uma superfície é normalmente definida em termos de:

- elementos geométricos: planos, esferas, cilindros, cones e toros,

- (mais gerais) superfícies de revolução: asféricas, parabolóides, hiperbolóides e

- superfícies paramétricas de forma livre: splines paramétricas, B-splines racionais não uniformes (NURBSs).

Em geral, a geometria pode ser definida como uma superfície matemática, onde você são os parâmetros de patch ou footpoint e b são parâmetros que definem a posição em algum referencial fixo, tamanho e formato da superfície. Também é possível definir uma superfície implicitamente no formulário f(x,b) = 0, onde novamente b especifique a posição e a forma das superfícies. Mesmo para o caso de elementos geométricos padrão, como esferas e cilindros, a parametrização do elemento não é direta. Nós deixamos E ser o espaço de elementos geométricos, por ex. cilindros. Uma parametrização é localmente um para um e para mapeamento.

Parametrizações não são necessariamente globais um a um. Por exemplo, o cilindro com eixo normal n é o mesmo definido por -n. As parametrizações não são únicas. Por exemplo, um cone é definido por seis parâmetros. Duas parametrizações padrão de um cone cujo eixo está aproximadamente alinhado com o z-eixo são (i) vértice do cone (três parâmetros), direção do eixo (dois), por ex. ângulos de rotação sobre o x- e y- eixos, ângulo do cone (um), ou seja, o ângulo entre o gerador do cone e seu eixo e (ii) intersecção do eixo do cone com o plano z= 0 (dois), direção do eixo (dois), raios (dois) em duas distâncias h1 e h2 ao longo do eixo do cone a partir do ponto de intersecção com z= 0. Essas duas parametrizações não são equivalentes, a primeira parametrização quebra quando o ângulo do cone se aproxima de zero, enquanto a segunda parametrização não.

A condição em que uma parametrização está localmente ligada não pode, em geral, ser fortalecida para ser globalmente ligada. A razão para isso é que a topologia de E não precisa ser plano como R n . Por exemplo, o espaço N de vetores de direção do eixo do cilindro n é uma esfera em R 3 com n identificado com -n e tem uma topologia não plana. Para espaços de elemento com topologias não planas, qualquer parametrização tem pelo menos uma singularidade. Isso tem implicações para desenvolvedores de algoritmos de ajuste de elemento porque os algoritmos podem precisar alterar a parametrização conforme o algoritmo de otimização avança. Qualquer implementação que usa apenas uma parametrização irá (provavelmente) quebrar para dados que representam um elemento em (ou perto de) uma singularidade para aquela parametrização particular.

O problema de parametrização se torna mais difícil para superfícies de forma livre definidas por B-splines paramétricos ou os NURBSs mais gerais [30]. Uma curva spline (cúbica) é feita juntando seções de polinômios (cúbicos). Os locais dos pontos de união são chamados de nós. Ajustar curvas spline aos dados é muito eficiente porque as matrizes envolvidas são bandadas e essa estrutura pode ser explorada. Tal como acontece com os cálculos envolvendo polinômios [31], foi apenas com o desenvolvimento de algoritmos numericamente estáveis ​​[32,33] usando as chamadas funções de base B-spline. Nj(x) que o uso de splines cúbicos se tornou prático. Em uma superfície paramétrica B-spline, cada coordenada é representada como um produto tensor spline no mesmo conjunto de nós:

Para superfícies de spline paramétrica, há uma forte relação geométrica entre os pontos de controle e a própria superfície. Por exemplo, a aplicação de uma transformação de corpo rígido aos pontos de controle resulta na mesma transformação da superfície, dimensionando os pontos de controle na mesma proporção. Enquanto os pontos de controle b (junto com os pesos, se estivermos lidando com uma superfície NURBS) especifique a superfície, o vetor b em geral, não representa uma parametrização conforme definido acima porque uma mudança na forma dos pontos de controle não significa necessariamente uma mudança na forma da superfície associada. Um exemplo simples é dado por curvas paramétricas spline do formulário f(você,b)=(f(você,p),g(você,q)) no mesmo conjunto de nós. Se p=q, a curva spline paramétrica especifica uma seção da linha y=x alterando os coeficientes associados aos nós internos, mas mantendo a relação p=q não muda o segmento de linha, apenas a velocidade em relação ao você o ponto f(você,b) se move ao longo do segmento de linha. Esse comportamento sugere que permitimos apenas as mudanças na forma dos pontos de controle que correspondem às mudanças na forma da superfície.

(b) Estudo de caso: processos gaussianos e erros de forma

Embora superfícies paramétricas como NURBS sejam ferramentas muito flexíveis para representar geometrias ideais, uma peça real fabricada se desviará da geometria ideal de uma forma que é difícil de prever. Uma estimativa de quanto a superfície real se afasta da geometria ideal pode ser determinada medindo a peça e ajustando a geometria ideal às coordenadas medidas. As distâncias residuais d(xeu,b) pode ser usado para fornecer uma medida do afastamento da geometria ideal. No entanto, é claro que tal medida dependerá dos pontos amostrados, e selecionar um conjunto diferente de pontos provavelmente fornecerá uma medida um pouco diferente. A dificuldade é que avaliar o erro de forma envolve a superfície completa, enquanto os dados representam apenas uma amostra discreta da superfície.

Os processos gaussianos [34] fornecem uma abordagem para gerar estimativas de quantidades definidas em um contínuo a partir de dados discretos. A abordagem tradicional para resolver este problema é assumir que a quantidade é um membro de um espaço de modelo particular, por ex. polinômios, splines, NURBSs e, em seguida, usar os dados medidos para selecionar o membro do espaço do modelo que corresponda de maneira ideal aos dados observados. No entanto, a validade da abordagem depende da definição do espaço do modelo correto. Se o comportamento real do sistema não for coberto pelo espaço do modelo selecionado, as inferências baseadas no espaço do modelo assumido podem ser falhas. Os modelos de processos gaussianos são especificados em termos de comportamento de correlação, em vez de espaços de modelo funcional. Por exemplo, para erro de forma, podemos esperar que o erro de forma em locais próximos seja semelhante e quanto mais próximos os locais, mais forte será a correlação (mas não exatamente a mesma devido aos efeitos de rugosidade da superfície). Por exemplo, esta estrutura de correlação pode ser modelada como

Por exemplo, suponha que estejamos interessados ​​em avaliar o erro de forma de um círculo, modelado como

A Figura 6 mostra a melhor estimativa do desvio de forma (z) avaliada em 100 pontos (curva sólida) derivada de sete medições (y) A figura também mostra duas amostras z1,z2∈N (z,Vz) (pontos e cruzes) representando realizações potenciais do erro de formulário. Os cálculos levam em consideração as incertezas de medição associadas com y.

Figura 6. Desvio de forma estimado na curva de 100 pontos (sólida) derivada de sete medições (círculos), junto com duas realizações potenciais (pontos e cruzes) de erro de forma. (Versão online em cores.)

6. Modelos matemáticos

Toda a matemática usada na engenharia de precisão, do Egito seqed para algoritmos de computador complexos modernos, tem um modelo matemático subjacente. Agora não é possível desenvolver qualquer dispositivo complexo ou artefato preciso sem primeiro ter que simular ou construir um modelo matemático dessa entidade para testar ideias de sua eficácia.

A escolha do modelo matemático e as decisões do tipo de modelo são críticas para ser capaz de responder às perguntas que lhe são feitas. Deve ser um modelo analítico ou numérico, modelo discreto ou contínuo, modelo estocástico ou determinístico, etc.? Não há respostas fáceis para essas perguntas. A escolha do modelo depende das ferramentas matemáticas disponíveis, da física do problema, etc. Não é possível fazer justiça a toda a gama de nuances da modelagem matemática dentro do espaço deste artigo, então um estudo de caso da engenharia de precisão será usado para ilustrar alguns dos conceitos por trás da modelagem matemática. Uma discussão mais completa dessas questões dentro dos modelos matemáticos pode ser encontrada em Gershenfeld [35].

Um uso muito importante de modelos matemáticos é otimizar o projeto de máquinas-ferramenta por meio da modelagem de vibração, efeitos térmicos e outros efeitos ambientais. A análise de elementos finitos (FEA) é uma técnica muito comum usada para modelar esses efeitos. Um exemplo de saída de um FEA é dado na figura 7: figura 7uma mostra a distribuição de temperatura, e a figura 7b mostra as distorções em uma estrutura de usinagem devido à distribuição térmica (exemplo de Mian et al. [36]).

Figura 7. (uma) Distribuição da temperatura na estrutura da máquina durante o ciclo. (b) Deformações na máquina de aquecimento devido à distribuição térmica. (Versão online em cores.)

(a) Estudo de caso: processos gaussianos e erros de máquina

Os processos gaussianos também podem ser usados ​​para modelar erros do sistema de medição, por exemplo, os erros cinemáticos associados a uma máquina de medição por coordenadas (CMM). Normalmente, esses erros cinemáticos são modelados como funções polinomiais ou spline. No entanto, os modelos baseados em uma estrutura de correlação também podem ser valiosos. Um modelo de correlação muito simples foi usado para a calibração de recursos regulares, como placas de orifícios, placas de esferas, barras de esferas e matrizes de alvo bidimensionais para sistemas de visão. Devido às simetrias regulares associadas a esses artefatos, é possível transladar ou girar os artefatos, de modo que os recursos (centros do buraco ou da bola) estejam localizados aproximadamente nos mesmos pontos nominais xeu no volume de trabalho.

Este recurso dá origem a equações de observação da forma xeu+eeu=yj,k+ϵeu, Onde xeu são as coordenadas de medição perto de xeu, eeu é o erro sistemático fixo em xeu, yj,k é a localização do jo recurso yj no kposição do artefato e ϵeu representa efeitos aleatórios associados com xeu. Desse modo, eeu apresenta o erro da máquina que é considerado constante, ou seja, perfeitamente correlacionado, dentro de uma pequena vizinhança de xeu. Com estratégias de medição adequadas [37] e informações adicionais de configuração de escala, é possível calibrar ambas as características do artefato yj e os erros da máquina eeu simultaneamente, resolvendo um grande problema não linear de mínimos quadrados. Porque as equações de observação envolvem no máximo um yj e um eeu, a matriz Jacobiana associada é extremamente esparsa e, para grandes artefatos com muitos recursos, técnicas de matriz esparsa devem ser usadas para tornar os cálculos práticos [38]. Os processos gaussianos podem ser usados ​​para estender essa abordagem a tarefas nas quais há simetria aproximada associada apenas ao artefato.

7. Problemas inversos

Em problemas futuros, os dados de entrada são obtidos por meio de um sistema para produzir dados de saída. Nos problemas inversos, a saída é conhecida mas com erros, e o problema é computar a entrada ou o sistema, dados a outra [39].

Freqüentemente, é necessário relacionar os parâmetros em um modelo matemático aos dados medidos observados. Este é um problema inverso clássico [40]. Problemas inversos são onipresentes na engenharia de precisão e particularmente na metrologia, desde a interpretação dos resultados medidos, através da calibração e ajuste de instrumentos, superfícies de encaixe para dados medidos (ver o estudo de caso no §7uma), para a correção da geometria de uma sonda. Conceitos como resolução, incerteza, navalha de Ockham, etc. são automaticamente induzidos como parte da estrutura detalhada de problemas inversos. Problemas inversos são um desafio importante para a matemática da engenharia de precisão (e da ciência como um todo).

É afirmado em Hadamard [41] que existem três questões nos problemas inversos: existência (nenhum modelo se ajusta exatamente aos dados observados) unicidade (há potencialmente muitas soluções exatas) e estabilidade da solução (soluções inversas podem ser extremamente instáveis). Todos os três problemas representam desafios matemáticos interessantes para problemas inversos em engenharia de precisão. Há uma quantidade extremamente grande de literatura sobre problemas inversos com modelos lineares sendo particularmente desenvolvidos, incluindo técnicas para permitir soluções aproximadas estáveis ​​para problemas inversos mal colocados (por exemplo, algoritmos de regularização, como regularização espectral e de Tikhonov) [40]. É nos problemas inversos não lineares que residem os verdadeiros desafios.

(a) Estudo de caso: ajuste de superfícies geométricas aos dados

Uma atividade chave na engenharia de precisão está relacionada à avaliação do quão próxima uma peça corresponde à sua intenção de projeto hoje em dia, especificada em termos de elementos geométricos, NURBSs ou similares. Na engenharia tradicional, essa avaliação foi realizada usando medidores rígidos para verificar as várias dimensões de uma peça. Desde a introdução do CMM na década de 1960, cada vez mais, a verificação de peças é obtida combinando uma representação discreta da peça por meio de um conjunto de coordenadas xeu=<xeu:eueu>, eu=<1,…,m>, reunidos por um sistema de medição de coordenadas, para uma representação matemática da superfície ideal. O processo de adaptação geralmente envolve o cálculo ou estimativa da distância de um ponto a uma superfície. Deixar x ser um ponto de referência razoavelmente perto da superfície, e deixe você* ser a solução para o problema do "ponto de apoio" para que você*=você*(b) especifica o ponto na superfície mais próximo de x. Deixar n=n(b) ser o normal para a superfície em f(você*,b), da mesma forma uma função de b, E definir

Na regressão de distância ortogonal de mínimos quadrados (LSODR), a superfície de melhor ajuste para um conjunto de dados é aquela que minimiza a soma dos quadrados das distâncias ortogonais, ou seja, resolve. O problema de otimização pode se restringir ao ajuste da posição e escala da superfície, mas mantendo a forma constante. O algoritmo de Gauss-Newton é geralmente empregado para realizar a otimização. Dada uma estimativa de b, uma estimativa atualizada é fornecida por

O problema LSODR também pode ser colocado como

8. Incerteza

Ao relatar o resultado de uma medição, é obrigatório que alguma indicação quantitativa da qualidade do resultado seja dada para que aqueles que a utilizam possam avaliar sua confiabilidade. Sem tal indicação, os resultados da medição não podem ser comparados, nem entre si nem com os valores de referência fornecidos em uma especificação ou padrão. O Guia ISO / IEC 98-3: 2008 (GUM) [45] fornece um conjunto de procedimentos para caracterizar a qualidade de um resultado de medição denominado incerteza.

Além disso, o GUM distingue entre o resultado da medição e as características do equipamento de medição. A incerteza é usada apenas para caracterizar a qualidade dos resultados de medição. Erros máximos permitidos são usados ​​para caracterizar a qualidade dos atributos do equipamento de medição.

A incerteza de medição é definida como (ver ISO [19]):

Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que poderiam ser razoavelmente atribuídos ao mensurando.

GUM caracteriza esta dispersão em termos de desvios padrão. Assim, todos os componentes de erro e incerteza (figura 8) são estimados como desvios padrão de acordo com sua influência no resultado final do processo de medição. A incerteza padrão do resultado de uma medição quando há um número de componentes de incerteza é calculada como uma incerteza padrão combinada e é igual à raiz quadrada positiva da soma dos termos, envolvendo as variâncias (quadrados dos desvios padrão) e covariâncias (medidas de associação entre pares de variáveis) dos contribuintes de incerteza individuais e os coeficientes de sensibilidade da saída com respeito às entradas.

Figura 8. Algumas fontes típicas de erro para um orçamento de erro. Reproduzido da ISO [46]. (Versão online em cores).

Ao relatar a incerteza, é comum declarar a incerteza expandida, que é a incerteza padrão combinada multiplicada por um fator numérico, chamado fator de cobertura, que normalmente está na faixa de 2-3 (o valor padrão é 2 e corresponde, para saída normalmente distribuída, com um nível de confiança de 95%). Pode-se esperar que a incerteza expandida abranja uma grande fração da distribuição de valores que poderiam ser razoavelmente atribuídos ao valor medido.

Ao relatar uma análise de incerteza, o mensurando deve ser especificado seu valor e a incerteza expandida deve ser declarada, juntamente com o fator de cobertura, se este for diferente de 2. As incertezas padrão de cada um dos componentes de incerteza individuais também são relatadas, juntamente com seus tipo de avaliação (A ou B, ver GUM [45]) e quaisquer suposições feitas na estimativa dos componentes de incerteza individuais.

GUM usa conceitos baseados em quantidades observáveis. A definição de incerteza de medição é operacional que enfoca o resultado da medição e sua incerteza avaliada.

O orçamento de erros, usando a incerteza, é uma das principais abordagens para melhorar a precisão da máquina-ferramenta / instrumento de medição. A identificação das principais fontes de erro permite a redução do erro (isolamento da fonte do erro e eliminação dessa fonte) ou a correção do erro (calibração e ajuste através de corretores de hardware ou software). Quando uma máquina-ferramenta / instrumento de medição foi otimizado, o orçamento de erro normalmente tem várias (quatro a seis) fontes principais de erro que contribuem igualmente para o orçamento de erro. A melhoria na precisão requer que todas as principais fontes de erro sejam reduzidas juntas, o que pode não ser econômico.

(a) Estudo de caso: incertezas associadas aos parâmetros ajustados

Suponha que as coordenadas medidas são perturbações de dados verdadeiros exatamente em alguns b* de acordo com xeu∈N (xeu * ,V), ou seja, as perturbações são extraídas de uma distribuição gaussiana multivariada com matriz de variância V . Então, para a primeira ordem, os parâmetros ajustados são um empate

Para muitos sistemas de medição, a suposição de ruído gaussiano independente é uma simplificação excessiva. Por exemplo, sabe-se que um CMM geralmente terá erros cinemáticos relacionados à escala, quadratura, rotação, inclinação e guinada. Esses efeitos sistemáticos podem ser modelados por funções polinomiais ou spline, dependendo dos parâmetros uma a ser determinada e corrigida com base na observação. Como essas correções não são exatas, haverá incertezas residuais associadas a elas, codificadas por uma matriz de variância Vuma, que são propagados até as coordenadas medidas. Neste caso, a matriz de variância V associado com as coordenadas medidas terá a forma

Para matrizes de variância geral, o estimador LSODR não é o estimador de máxima verossimilhança e uma abordagem estatisticamente mais eficiente é determinar a estimativa que resolve

A vantagem de resolver o problema conforme formulado em (8.3) em oposição a (8.2) é que os valores da solução para e0 pode ser usado para atualizar as estimativas dos efeitos sistemáticos associados ao sistema de medição. Por exemplo, medir um medidor de anel com um erro de forma baixa fornecerá informações sobre os erros de quadratura associados a um CMM. Essa funcionalidade também é importante na comparação das medidas do mesmo conjunto de pontos usando dois sistemas. Suponha que dois sistemas produzam estimativas e matrizes de variância

9. Desafios futuros

Os artefatos de precisão estão se tornando mais complexos, mais precisos e terão uma gama maior de requisitos funcionais com desempenho aprimorado. Eles também devem ser fabricados a um custo unitário mais baixo. Tudo isso se refletirá nos desafios matemáticos futuros dentro dos quatro mundos em que vivem os artefatos de precisão.

A especificação se tornará mais flexível para cobrir a variedade de geometrias e requisitos funcionais. O conceito de caixa de ferramentas para especificação (por meio de ferramentas específicas para recursos, características e condições) permite essa flexibilidade e pode ser projetado para emular requisitos funcionais específicos. Os conceitos de 'superfícies com escala limitada' estão se tornando cada vez mais importantes na especificação. Existem muitos tipos diferentes de espaços de escala (espectral, morfológica, segmentação, suavização de PDE, etc.), cada um dos quais com propriedades úteis para diferentes funções de superfície. As três maneiras de limitar um espaço de escala, úteis para a especificação, são: remoção das escalas menores apenas remoção das escalas menores junto com a remoção da forma e remoção das escalas menores e maiores (incluindo a forma), mas mantendo as escalas médias. Os três tipos de superfície limitada em escala, juntamente com os diferentes espaços de escala funcional, estão ajudando a resolver um importante desafio em fazer da especificação um sistema matemático unificado que cobre todas as escalas (tamanho, forma e textura) e todas as geometrias.

A fabricação se tornará mais dependente da simulação e modelagem matemática dos processos de fabricação para garantir resultados consistentes e mais precisos. A modelagem matemática de vibração, efeitos térmicos e ambientais etc. se tornará mais detalhada à medida que os computadores possuírem mais potência, porque a potência dos supercomputadores de hoje se tornará a potência de amanhã para os desktops. Essas abordagens computacionais serão usadas no projeto de processos de manufatura aprimorados, especialmente em máquinas-ferramentas. Os modelos também podem ser usados ​​para calibrar e ajustar o software de controle para corrigir quaisquer erros previstos.

A verificação está passando por uma revolução na mudança para o paradigma digital. Escalas aprimoradas, como grades holográficas ou escalas interferométricas diretas para quadros de metrologia, permitem o aumento da precisão do sistema de coordenadas. A especificação de superfícies de escala limitada com a menor escala de superfície permitirá que vários teoremas de amostragem sejam aplicados ao estabelecer um procedimento de amostragem. Também é possível fundir os dados do sensor para melhorar o alcance e a resolução da medição e ajustar os valores medidos resultantes do sensor para corrigir os erros. Mas a principal vantagem do paradigma digital é o uso de poderosos algoritmos matemáticos capazes de espelhar as operações de especificação, particularmente o ajuste de forma, e ser capaz de calcular quase qualquer característica desejada.

Os desafios da vida do produto estão principalmente no design do artefato de precisão para alcançar a qualidade e utilidade desejadas ao longo da vida do artefato. Isso inclui eficiência funcional, aumento da vida útil do artefato, custo de uso do artefato, etc. Simulação e modelagem matemática desempenharão seu papel completo na otimização da qualidade de vida e utilidade do produto.

Como pensamento final, a importância dos modelos matemáticos para o futuro é ilustrada por uma citação de William H. Press, da Universidade de Harvard:

A simulação e a modelagem matemática impulsionarão o século XXI da mesma forma que o vapor impulsionou o século XIX [35].


Pod 2: Explorando a progressão de domínios dentro dos padrões estaduais de núcleo comum

Use os documentos abaixo para explorar a progressão dos domínios dentro dos Padrões Estaduais de Núcleo Comum. Veja como o desenvolvimento do domínio progride verticalmente (K-12) e como os domínios se apóiam.

Padrões de conteúdo de amplitude de classificação

Documentos de progressão narrativa
Os seguintes PDFs são fornecidos pelo Institute for Mathematics and Education.


Ajuda com frações

Frações

/ Para inserir uma fração do formulário 3/4. Clique em um número e, em seguida, clique na barra de fração e, em seguida, clique em outro número.

& # 8596 Você pode usar o botão de espaço de fração para criar um número no formato 5 3/4. Insira um número e, a seguir, clique no espaço de fração, clique em outro número e, em seguida, clique no botão da barra de fração, por último, insira outro número.

DEC FRA O botão de formato decimal e o botão de formato de fração funcionam em pares. Quando você escolhe um, o outro é desligado.
O botão de formato decimal é usado para todos os trabalhos decimais. Também para alterar uma fração da forma 3/4 para o decimal 0,75, ou uma fração da forma 7/4 ou um número misto da forma 1 3/4 para o decimal 1,75. Clique no botão de formato decimal, insira uma fração ou número misto e clique em igual. Se a fração ou número misto for apenas parte do cálculo, omita clicar em igual e continue com o cálculo normalmente. ou seja, 3/4 DEC x 6 =.
O botão de formato de fração é usado para trabalhar com todas as frações. Também para alterar um decimal da forma 0,5 para a fração 1/2, ou alterar um decimal da forma 1,75 para um número misto da forma 1 3/4 ou para a fração 7/4, ou uma fração da forma 7 / 4 ao número misto 1 3/4. Clique no botão de formato de fração, insira um decimal, clique em igual e, a seguir, clique em um formulário de fração e, a seguir, clique em igual. Se a fração decimal fizer parte de um cálculo, omita clicar em igual e continue com o cálculo.

a b / c a + b / c O botão de fração adequado e o botão de fração incorreto funcionam como um par. Quando você escolhe um, o outro é desligado.
O botão de fração apropriado é usado para alterar um número da forma de 9/5 para a forma de 1 4/5. Uma fração adequada é uma fração em que o numerador (número superior) é menor que o denominador (número inferior).
O botão de fração impróprio é usado para alterar um número da forma de 1 4/5 para a forma de 9/5. Uma fração imprópria é uma fração onde o numerador (o número superior é maior ou igual ao denominador (número inferior).


Medição de dados: significado, tipos e características | Estatisticas

Depois de ler este artigo, você aprenderá sobre: ​​- 1. Significado da medição 2. Tipos de medição 3. Características 4. Medição física e ciência comportamental Medição 5. Funções.

Significado da Medição:

Medição significa descrição quantitativa dos dados. É o ato ou processo de verificar a extensão ou quantidade de algo.

O termo foi definido de várias maneiras como:

1. Enciclopédia de Pesquisa Educacional:

Medir significa observar ou determinar a magnitude da avaliação variável significa avaliação ou avaliação.

2. James M. Bradfield:

Medição é o processo de atribuição de símbolos às dimensões do fenômeno, a fim de caracterizar o status de um fenômeno com a maior precisão possível.

3. Campbell:

Medição significa atribuição de números a objetos ou eventos de acordo com regras.

4. Thorndike:

Tudo o que existe, existe em alguma quantidade e tudo o que existe em alguma quantidade pode ser medido.

5. Guilford:

Medição significa a descrição dos dados em termos de números e isso, por sua vez, significa tirar proveito dos muitos benefícios que as operações com números e o pensamento matemático proporcionam.

A partir da análise das definições acima, pode-se dizer que medição é o processo de quantificação de alguns fenômenos. É atribuir um número ou conjunto de números a um ou conjunto de fenômenos.

Neste processo, a comparação é feita de uma quantidade com escala apropriada para fins de determinação do valor numérico.

Portanto, a partir da discussão anterior, pode-se concluir que:

1. Medição significa comparar uma quantidade desconhecida com uma quantidade conhecida que é considerada como unidade.

2. Medição significa atribuição de um & # 8216 valor quantitativo preciso & # 8217.

3. Medição é o processo de atribuir símbolos à observação de uma maneira significativa e consistente.

4. Medição é a atribuição de símbolos às dimensões dos fenômenos, a fim de caracterizar o status dos fenômenos com a maior precisão possível.

5. A medição visa determinar a magnitude de uma variável.

6. A medição verifica a extensão e a quantidade de qualquer coisa que está sendo medida.

Tipos de Medição:

Nas práticas gerais, encontramos três tipos de medida, a saber, Medida direta - Quando medimos o comprimento, a largura ou o peso de uma coisa, medimos diretamente com uma unidade padrão.

Esses são os casos de medição direta e tais medições são precisas se as ferramentas forem válidas. Caso desejemos saber a quantidade de calor contido por uma substância, medimos a temperatura da substância com o auxílio de um termômetro e calculamos o calor contido pela substância.

Aqui, não há instrumentos disponíveis para medir o calor da substância diretamente, portanto, medimos indiretamente. Quando a medição é feita indiretamente e a pontuação do teste é comparada com algumas normas, encontramos medição relativa.

Para medir a inteligência, aptidão, atitude ou interesse de uma criança, damos a ela alguns testes psicológicos relativos às características e comparamos sua pontuação com algumas normas. As medidas psicológicas e educacionais incluem medidas relativas.

Características de Medição:

Todas as discussões feitas acima revelam as seguintes propriedades principais de medição:

1. Processo de atribuição de símbolos:

Medição, em termos gerais, é o processo de atribuir símbolos às observações de uma maneira significativa e consistente. Os símbolos devem expressar uma posição de escala definida porque estão associados à palavra & # 8216medida & # 8217. No processo de medição, o investigador não atribui números de sua escolha, mas de acordo com certas regras fixas e explícitas.

Na medição física, quando se mede o comprimento de uma estrada ou tecido em metros, pés e polegadas, as regras para atribuição de numerais são muito explícitas e claras. Mas nas ciências comportamentais, as regras de medição são geralmente vagas e menos explícitas. Suponha que se queira medir a criatividade ou a inteligência de uma criança. Em tal situação, as regras não seriam tão claras como nas ciências físicas.

2. Sem Ponto Zero Absoluto:

Na medição mental, não há ponto zero absoluto. É relativo a algum padrão arbitrário. Um aluno obteve pontuação zero em um teste ou matéria. Isso não significa que ele não saiba nada desse teste ou assunto. Não podemos afirmar que um menino com um I.Q. de 110 é duas vezes mais inteligente do que um menino com um I.Q. de 55.

3. Processo de Quantificação:

A medição envolve o processo de quantificação. No processo de medição, os numerais são usados ​​para representar as quantidades do atributo. A quantificação indica quanto ou em que extensão aquele atributo particular está presente em um objeto particular.

4. Um processo complexo:

O processo de medição em ciências comportamentais é difícil e complexo. O traço ou atributo não é medido diretamente pela escala, mas o traço é medido indiretamente pelos comportamentos.

A base da medição é o comportamento de um sujeito. Todos os traços comportamentais são medidos com a ajuda de comportamentos. Tanto o comportamento aberto quanto o encoberto são empregados no processo de medição.

5. Sentido de infinito:

A medição em ciências comportamentais transmite uma sensação de infinito. Isso significa que não podemos medir a totalidade de um atributo de um indivíduo.

6. A medição mental é muitas vezes subjetiva:

A precisão da medição depende da pessoa que a mede. Também depende de vários fatores como condições de teste, tipo de itens de teste, defeitos de linguagem, condições físicas e emocionais dos testados, etc.

7. As unidades não são definitivas:

As unidades não são definidas na medição mental. Podemos não obter o mesmo valor para todas as pessoas. É muito dependente de testes psicológicos e educacionais que variam em conteúdo e objetivo. Um indivíduo pode obter diferentes pontuações em diferentes testes de inteligência.

8. Os instrumentos de medição não são exatos:

Os instrumentos usados ​​nas medidas educacionais e psicológicas nunca são exatos, mas sim aproximados.

9. As unidades em medidas físicas são fundamentais:

As unidades nas medidas físicas são fundamentais, mas no caso das medidas mentais, elas são derivadas.

Medição Física e Medição da Ciência Comportamental - Comparação:

Às vezes deixamos de distinguir entre medição mental e medição física porque elas se parecem. Não seremos capazes de apreciar o papel da avaliação a menos que reconheçamos e compreendamos as diferenças entre esses dois tipos de medição.

Normalmente, a medição física compreende a medição de objetos, coisas, etc. e se preocupa com a medição de altura, peso, comprimento, tamanho, volume, etc., enquanto a medição em ciências comportamentais compreende a medição de processos mentais, traços, hábitos, tendências, etc. .

Funções de Medição:

Em psicologia e educação, os resultados da medição têm várias funções, tais como:

1. Classificação:

A medição ajuda a classificar as pessoas, colocando-as em diferentes categorias. Na escola, exército ou indústria, a classificação às vezes é muito essencial. Na escola, os alunos devem ser classificados de acordo com seu desempenho ou habilidade.

No exército, os oficiais e soldados podem ser classificados de acordo com seus batalhões, missão ou posto de trabalho. Na indústria, os trabalhadores podem ser classificados de acordo com vários níveis ou posições de trabalho.

Essa classificação é chamada de & # 8216 classificação de colocação & # 8217. Isso implica gradação de trabalhadores. Alguns são colocados mais altos e outros mais baixos.

2. Seleção:

A seleção é feita em estabelecimentos industriais, no exército e nos serviços públicos. A medição de um tipo ou de outro é uma ferramenta essencial para o mesmo.

Várias técnicas de medição são empregadas, como testes de aptidão e habilidade, entrevistas, técnicas projetivas, testes situacionais, testes de desempenho, etc. Sempre que houver seleção, temos que selecionar algumas e rejeitar muitas. As ferramentas de medição são, portanto, aplicadas com cautela.

3. Comparação:

A diferença individual em certos traços entre várias pessoas é um fenômeno universal. Pelo uso de estatísticas, a medição ajuda a comparar uma característica de um indivíduo ou grupo com a de outros. A comparação é essencial para determinar as razões das diferenças individuais.

4. Previsão:

Muitas decisões de nossa vida diária envolvem previsões. Podemos estar interessados ​​no problema de saber se um teste de reconhecimento visual pode prever o sucesso na percepção em um avião. Um médico pode estar interessado no valor preditivo de um medicamento. As pontuações obtidas no presente teste podem indicar sucesso no futuro. Portanto, predição envolve predição.

Se uma empresa tiver que empregar alguns vendedores, pode aplicar um teste e fazer a seleção com base nas pontuações obtidas nesse teste. Os resultados de inteligência, aptidão e outros testes podem ser avaliados no contexto de seu valor preditivo.

5. Diagnóstico:

O diagnóstico envolve a localização de pontos fortes e fracos. O diagnóstico educacional implica o uso de vários procedimentos técnicos. Fraqueza no aluno individual, se identificada por meio de testes de diagnóstico, medidas corretivas podem ser tomadas.

Assim, o diagnóstico é útil não apenas para localizar deficiências, mas também para antecipar causas e soluções. O diagnóstico tem valor sugestivo. Por exemplo, se o diagnóstico nos diz que os alunos da quarta série são fracos em computação aritmética, pode sugerir que isso se deve a métodos errados de instrução.

6. Melhorar as práticas de instrução:

Para tornar os programas de ensino atrativos, muitas práticas ou métodos de ensino são adotados pelo professor. Ele é o único executor e os alunos são os únicos respondentes.

Portanto, as ferramentas de medição auxiliam tanto a retificar quanto a melhorar seus métodos de ensino e aprendizagem. Qual método será adequado em uma determinada situação para um determinado grupo de alunos, um professor sabe melhor. Assim, um professor improvisa sua qualidade de ensino, bem como suas práticas de ensino.

7. Desenvolvimento do currículo:

O currículo é construído com base nas premissas de cumprimento do conceito de três R & # 8217s - leitura, escrita e aritmética. Deve haver espaço suficiente para aprender e saber, de modo que a aprendizagem possa ajudar os alunos a lidar com as adversidades da vida.

A medição por meio de seus dispositivos possibilita conhecer a autenticidade, objetividade e usabilidade do currículo. Se houver desvantagem, ela pode ser melhorada. Na verdade, a eficácia dos cursos e programas descritos no currículo é determinada por medição. Seleciona, esclarece e avalia os objetivos decididos nos programas de aprendizagem por meio do currículo.

8. Aconselhamento e orientação:

Por meio da medição, um conselheiro pode conhecer as potencialidades de seus alunos e, então, sugerir que adotem um trabalho de sua escolha. Hoje em dia, o aconselhamento e a orientação desempenham um papel importante na vida de um indivíduo.

O aconselhamento e a orientação adequados só podem colocar o homem em sua melhor capacidade para utilizar todas as oportunidades de crescimento. Isso pode ser feito medindo a aptidão, o interesse e a inteligência de um aluno por seu professor.

9. Ajudando a Administração:

Várias formas de medição permitem que as autoridades façam uma administração com eficácia e sinceridade. As escolas podem servir aos propósitos da comunidade por meio da manutenção de um bom relacionamento.

A proximidade pode ser medida e mantida organizando funções, compartilhando os valores sociais pelos membros da equipe, participando das funções e cerimônias da comunidade e formando organizações como & # 8220 Associações de Professores Parentais & # 8221.

10. Pesquisa:

A medição ajuda na pesquisa. Na pesquisa psicológica e educacional, geralmente pegamos dois grupos - grupo de controle e grupo experimental - e comparamos o desempenho dos dois grupos.

A pesquisa trata da investigação de algum problema. Ao fazer isso, controlamos todos os outros fatores e estudamos um fator específico. Antes de iniciar esse estudo, fazemos um programa de medição para determinar os pontos de semelhanças e diferenças entre os dois grupos e dentro do grupo.


Assista o vídeo: Metrologia - Sistema de Medição Parte 1 de 2 (Dezembro 2021).