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3.2: Introdução aos Inteiros (Parte 2) - Matemática


Tratamos as barras de valor absoluto da mesma forma que tratamos os parênteses na ordem das operações. Simplificamos a expressão interna primeiro.

Exemplo ( PageIndex {7} ): avaliar

Avalie:

  1. (| x | ) quando (x = −35 )
  2. (| −y | ) quando (y = −20 )
  3. (- | u | ) quando (u = 12 )
  4. (- | p | ) quando (p = −14 )

Solução

    Para encontrar | x | quando x = −35: (| x | )
    Substitua ( textcolor {red} {- 35} ) por x. (| textcolor {red} {- 35} | )
    Pegue o valor absoluto.(35)
      Para encontrar | - y | quando y = −20: (| -y | )
      Substitua ( textcolor {red} {- 20} ) por y. (| - ( textcolor {red} {- 20}) | )
      Simplificar.(|20|)
      Pegue o valor absoluto.(20)
        Para encontrar - | u | quando u = 12: (- | u | )
        Substitua ( textcolor {red} {12} ) por u. (- | textcolor {red} {12} | )
        Pegue o valor absoluto.(-12)
          Para encontrar - | p | quando p = −14: (- | p | )
          Substitua ( textcolor {red} {- 14} ) por p. (- | textcolor {red} {- 14} | )
          Pegue o valor absoluto.(-14)

          Observe que o resultado é negativo apenas quando há um sinal negativo fora do símbolo de valor absoluto

          Exercício ( PageIndex {13} )

          Avalie:

          1. (| x | ) quando (x = −17 )
          2. (| −y | ) quando (y = −39 )
          3. (- | m | ) quando (m = 22 )
          4. (- | p | ) quando (p = −11 )
          Responder a

          (17)

          Resposta b

          (39)

          Resposta c

          (-22)

          Resposta d

          (11)

          Exercício ( PageIndex {14} )

          Avalie:

          1. (| y | ) quando (y = −23 )
          2. (| −y | ) quando (y = −21 )
          3. (- | n | ) quando (n = 37 )
          4. (- | q | ) quando (q = −49 )
          Responder a

          (23)

          Resposta b

          (21)

          Resposta c

          (-37)

          Resposta d

          (-49)

          Exemplo ( PageIndex {8} ): comparar expressões

          Preencha (<), (> ) ou (= ) para cada um dos seguintes:

          1. (|−5|)___(− |−5|)
          2. (8)___(− |−8|)
          3. (−9)___(− |−9|)
          4. (− |−7|)___(−7)

          Solução

          Para comparar duas expressões, simplifique cada uma primeiro. Então compare.

            |−5|___− |−5|
            Simplificar.5___−5
            Pedido.5 > −5
              8___− |−8|
              Simplificar.8___−8
              Pedido.8 > −8
                −9___− |−9|
                Simplificar.−9___−9
                Pedido.−9 = −9
                  −|−7|___−7
                  Simplificar.−7___−7
                  Pedido.−7 = −7

                  Exercício ( PageIndex {15} )

                  Preencha (<), (> ) ou (= ) para cada um dos seguintes:

                  1. (|−9|) ___(− |−9|)
                  2. (2)___(− |−2|)
                  3. (−8)___(|−8|)
                  4. (− |−5|)___(−5)
                  Responder a

                  (>)

                  Resposta b

                  (>)

                  Resposta c

                  (<)

                  Resposta d

                  (=)

                  Exercício ( PageIndex {16} )

                  Preencha (<), (> ) ou (= ) para cada um dos seguintes:

                  1. (7)___(− |−7|)
                  2. (− |−11|)___(−11)
                  3. (|−4|)___(− |−4|)
                  4. (−1)___(|−1|)
                  Responder a

                  (>)

                  Resposta b

                  (=)

                  Resposta c

                  (>)

                  Resposta d

                  (<)

                  As barras de valor absoluto atuam como símbolos de agrupamento. Primeiro, simplifique dentro das barras de valor absoluto tanto quanto possível. Em seguida, pegue o valor absoluto do número resultante e continue com quaisquer operações fora dos símbolos de valor absoluto.

                  Exemplo ( PageIndex {9} ): simplificar

                  Simplificar:

                  1. (|9−3|)
                  2. (4|−2|)

                  Solução

                  Para cada expressão, siga a ordem das operações. Comece dentro dos símbolos de valor absoluto, assim como entre parênteses.

                    Simplifique dentro do sinal de valor absoluto.|9−3| = |6|
                    Pegue o valor absoluto.6
                      Pegue o valor absoluto.4|−2| = 4 • 2
                      Multiplicar.8

                      Exercício ( PageIndex {17} )

                      Simplificar:

                      1. (|12 − 9|)
                      2. (3|−6|)
                      Responder a

                      (3)

                      Resposta b

                      (18)

                      Exercício ( PageIndex {18} )

                      Simplificar:

                      1. (|27 − 16|)
                      2. (9|−7|)
                      Responder a

                      (11)

                      Resposta b

                      (63)

                      Exemplo ( PageIndex {10} ): simplificar

                      Simplifique: (| 8 + 7 | - | 5 + 6 | ).

                      Solução

                      Para cada expressão, siga a ordem das operações. Comece dentro dos símbolos de valor absoluto, assim como entre parênteses.

                      Simplifique dentro de cada sinal de valor absoluto.|8+7|−|5+6| = |15|−|11|
                      Subtrair.4

                      Exercício ( PageIndex {19} )

                      Simplifique: (| 1 + 8 | - | 2 + 5 | )

                      Responder

                      (2)

                      Exercício ( PageIndex {20} )

                      Simplifique: (| 9−5 | - | 7 - 6 | )

                      Responder

                      (3)

                      Exemplo ( PageIndex {11} ): simplificar

                      Simplifique: (24 - | 19 - 3 (6 - 2) | ).

                      Solução

                      Usamos a ordem das operações. Lembre-se de simplificar os símbolos de agrupamento primeiro, para que os parênteses dentro dos símbolos de valor absoluto sejam os primeiros.

                      Simplifique primeiro entre parênteses.24 − |19 − 3(6 − 2)| = 24 − |19 − 3(4)|
                      Multiplique 3 (4).24 − |19 − 12|
                      Subtraia dentro do sinal de valor absoluto.24 − |7|
                      Pegue o valor absoluto.24 - 7
                      Subtrair.17

                      Exercício ( PageIndex {21} )

                      Simplifique: (19 - | 11 - 4 (3 - 1) | )

                      Responder

                      (16)

                      Exercício ( PageIndex {22} )

                      Simplifique: (9 - | 8 - 4 (7 - 5) | )

                      Responder

                      (9)

                      Traduzir frases em expressões com números inteiros

                      Agora podemos traduzir frases de palavras em expressões com inteiros. Procure palavras que indiquem um sinal negativo. Por exemplo, a palavra negativo em “vinte negativos” indica (- 20 ). A palavra também oposto em “o oposto de (20 ).”

                      Exemplo ( PageIndex {12} ): traduzir

                      Traduza cada frase em uma expressão com números inteiros:

                      1. o oposto de quatorze positivo
                      2. o oposto de (- 11 )
                      3. dezesseis negativos
                      4. dois menos sete negativos

                      Solução

                      1. o oposto de quatorze (- 14 )
                      2. o oposto de (- 11 - (−11) )
                      3. dezesseis negativos (- 16 )
                      4. dois menos sete negativos (2 - (−7) )

                      Exercício ( PageIndex {23} )

                      Traduza cada frase em uma expressão com números inteiros:

                      1. o oposto de nove positivo
                      2. o oposto de (- 15 )
                      3. vinte negativos
                      4. onze menos quatro negativos
                      Responder a

                      (-9)

                      Resposta b

                      (15)

                      Resposta c

                      (-20)

                      Resposta d

                      (11-(-4))

                      Exercício ( PageIndex {24} )

                      Traduza cada frase em uma expressão com números inteiros:

                      1. o oposto de dezenove negativos
                      2. o oposto de vinte e dois
                      3. nove negativos
                      4. oito negativos menos cinco negativos
                      Responder a

                      (19)

                      Resposta b

                      (-22)

                      Resposta c

                      (-9)

                      Resposta d

                      (-8-(-5))

                      Como vimos no início desta seção, números negativos são necessários para descrever muitas situações do mundo real. Veremos mais algumas aplicações de números negativos no próximo exemplo.

                      Exemplo ( PageIndex {13} ): traduzir

                      Traduza para uma expressão com números inteiros:

                      1. A temperatura está (12 ) graus Fahrenheit abaixo de zero.
                      2. O time de futebol teve um ganho de (3 ) jardas.
                      3. A elevação do Mar Morto é de (1.302 ) pés abaixo do nível do mar.
                      4. Uma conta corrente está a descoberto em ($ 40 ).

                      Solução

                      Procure frases-chave em cada frase. Em seguida, procure palavras que indiquem sinais negativos. Não se esqueça de incluir as unidades de medida descritas na frase.

                        A temperatura é de 12 graus Fahrenheit abaixo de zero.
                        Abaixo de zero nos diz que 12 é um número negativo.-12 ºF
                          O time de futebol teve um ganho de 3 jardas.
                          UMA ganho nos diz que 3 é um número positivo.3 jardas
                            A elevação do Mar Morto é 1.302 pés abaixo do nível do mar.
                            Abaixo do nível do mar nos diz que 1.302 é um número negativo.-1.302 pés
                              Uma conta corrente está a descoberto em $ 40.
                              Descoberto nos diz que 40 é um número negativo.−$40

                              Exercício ( PageIndex {25} )

                              Traduza para uma expressão com números inteiros: o time de futebol teve um ganho de (5 ) jardas.

                              Responder

                              (5 ) jardas

                              Exercício ( PageIndex {26} )

                              Traduza para uma expressão com números inteiros: O mergulhador estava (30 ) pés abaixo da superfície da água.

                              Responder

                              (- 30 ) pés

                              Conceitos chave

                              • Notação Oposta
                                • A notação (- a ) é lida ao contrário de (a )
                              • Notação de valor absoluto
                                • O valor absoluto de um número (n ) é escrito como (| n | ).

                              Glossário

                              valor absoluto

                              O valor absoluto de um número é sua distância de (0 ) na reta do número.

                              inteiros

                              Os inteiros contam números, seus opostos e zero ... (- 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ... )

                              número negativo

                              Um número negativo é menor que zero.

                              opostos

                              O oposto de um número é o número que está à mesma distância de zero na reta numérica, mas no lado oposto de zero.

                              A prática leva à perfeição

                              Localize números positivos e negativos na linha de números

                              Nos exercícios a seguir, localize e rotule os pontos fornecidos em uma linha numérica.

                              1. (a) 2 (b) −2 (c) −5
                              2. (a) 5 (b) −5 (c) −2
                              3. (a) −8 (b) 8 (c) −6
                              4. (a) −7 (b) 7 (c) −1

                              Peça números positivos e negativos na linha de números

                              Nos exercícios a seguir, ordene cada um dos seguintes pares de números, usando .

                              1. (a) 9__4 (b) −3__6 (c) −8 __− 2 (d) 1 __− 10
                              2. (a) 6__2; (b) −7__4; (c) −9 __− 1; (d) 9 __− 3
                              3. (a) −5__1; (b) −4 __− 9; (c) 6__10; (d) 3 __− 8
                              4. (a) −7__3; (b) −10 __− 5; (c) 2 __− 6; (d) 8__9

                              Encontre opostos

                              Nos exercícios a seguir, encontre o oposto de cada número.

                              1. (a) 2 (b) −6
                              2. (a) 9 (b) −4
                              3. (a) −8 (b) 1
                              4. (a) −2 (b) 6

                              Nos exercícios a seguir, simplifique.

                              1. −(−4)
                              2. −(−8)
                              3. −(−15)
                              4. −(−11)

                              Nos exercícios a seguir, avalie.

                              1. −m quando (a) m = 3 (b) m = −3
                              2. −p quando (a) p = 6 (b) p = −6
                              3. −c quando (a) c = 12 (b) c = −12
                              4. −d quando (a) d = 21 (b) d = −21

                              Simplifique Expressões com Valor Absoluto

                              Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão de valor absoluto.

                              1. (a) | 7 | (b) | -25 | (c) | 0 |
                              2. (a) | 5 | (b) | 20 | (c) | −19 |
                              3. (a) | −32 | (b) | -18 | (c) | 16 |
                              4. (a) | −41 | (b) | −40 | (c) | 22 |

                              Nos exercícios a seguir, avalie cada expressão de valor absoluto.

                              1. (a) | x | quando x = −28 (b) | - u | quando u = −15
                              2. (a) | y | quando y = −37 (b) | - z | quando z = −24
                              3. (a) - | p | quando p = 19 (b) - | q | quando q = −33
                              4. (a) - | a | quando a = 60 (b) - | b | quando b = −12

                              Nos exercícios a seguir, preencha, ou = para comparar cada expressão.

                              1. (a) −6__ | −6 | (b) - | −3 | __− 3
                              2. (a) −8__ | −8 | (b) - | −2 | __− 2
                              3. (a) | −3 | __− | −3 | (b) 4 __− | −4 |
                              4. (a) | −5 | __− | −5 | (b) 9 __− | −9 |

                              Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão.

                              1. |8 − 4|
                              2. |9 − 6|
                              3. 8|−7|
                              4. 5|−5|
                              5. |15 − 7| − |14 − 6|
                              6. |17 − 8| − |13 − 4|
                              7. 18 − |2(8 − 3)|
                              8. 15 − |3(8 − 5)|
                              9. 8(14 − 2|−2|)
                              10. 6(13 − 4|−2|)

                              Traduzir frases em expressões com números inteiros

                              Traduza cada frase em uma expressão com números inteiros. Não simplifique.

                              1. (a) o oposto de 8 (b) o oposto de −6 (c) três negativos (d) 4 menos 3 negativos
                              2. (a) o oposto de 11 (b) o oposto de −4 (c) nove negativo (d) 8 menos 2 negativo
                              3. (a) o oposto de 20 (b) o oposto de −5 (c) doze negativos (d) 18 menos 7 negativos
                              4. (a) o oposto de 15 (b) o oposto de −9 (c) sessenta negativo (d) 12 menos 5
                              5. uma temperatura de 6 graus abaixo de zero
                              6. uma temperatura de 14 graus abaixo de zero
                              7. uma elevação de 12 metros abaixo do nível do mar
                              8. uma elevação de 20 metros abaixo do nível do mar
                              9. uma perda de jogo de futebol de 12 jardas
                              10. um ganho de jogo de futebol de 4 jardas
                              11. um ganho de estoque de $ 3
                              12. uma perda de estoque de $ 5
                              13. uma pontuação de golfe acima do par
                              14. uma pontuação de golfe de 3 abaixo do par

                              Matemática cotidiana

                              1. Elevação A maior elevação nos Estados Unidos é o Monte McKinley, Alasca, a 20.320 pés acima do nível do mar. A elevação mais baixa é o Vale da Morte, Califórnia, a 282 pés abaixo do nível do mar. Use números inteiros para escrever a elevação de: (a) Monte McKinley (b) Vale da Morte
                              2. Temperaturas extremas A temperatura mais alta registrada na Terra é 58 ° Celsius, registrada no Deserto do Saara em 1922. A temperatura mais baixa registrada é 90 ° abaixo de 0 ° Celsius, registrada na Antártica em 1983. Use números inteiros para escrever: (a) temperatura mais alta registrada ( b) temperatura mais baixa registrada
                              3. Orçamentos estaduais Em junho de 2011, o estado da Pensilvânia estimou que teria um superávit orçamentário de US $ 540 milhões. Naquele mesmo mês, o Texas estimou que teria um déficit orçamentário de US $ 27 bilhões. Use números inteiros para escrever o orçamento: (a) superávit (b) déficit
                              4. Matrículas na faculdade Nos Estados Unidos, as matrículas em faculdades comunitárias aumentaram em 1.400.000 alunos de 2007 a 2010. Na Califórnia, as matrículas em faculdades comunitárias diminuíram em 110.171 alunos de 2009 a 2010. Use números inteiros para escrever a mudança na matrícula: (a) crescimento (b) declínio

                              Exercícios de escrita

                              1. Dê um exemplo de um número negativo de sua experiência de vida.
                              2. Quais são os três usos do sinal “-” na álgebra? Explique como eles diferem.

                              Auto-verificação

                              (a) Depois de completar os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

                              (b) Se a maioria de seus cheques fosse:

                              … Com confiança. Parabéns! Você atingiu os objetivos desta seção. Reflita sobre as habilidades de estudo que você usou para que possa continuar a usá-las. O que você fez para ter certeza de sua capacidade de fazer essas coisas? Seja específico.

                              … Com alguma ajuda. Isso deve ser abordado rapidamente porque os tópicos que você não domina tornam-se buracos no seu caminho para o sucesso. Em matemática, cada tópico se baseia em trabalhos anteriores. É importante ter certeza de que você tem uma base sólida antes de prosseguir. A quem você pode pedir ajuda? Seus colegas de classe e instrutor são bons recursos. Há algum lugar no campus onde professores de matemática estejam disponíveis? Suas habilidades de estudo podem ser melhoradas?

                              ... não, eu não entendo! Este é um sinal de alerta e você não deve ignorá-lo. Você deve obter ajuda imediatamente ou ficará sobrecarregado rapidamente. Consulte seu instrutor assim que puder para discutir sua situação. Juntos, vocês podem traçar um plano para obter a ajuda de que você precisa.


                              Introdução aos inteiros

                              Com mais de 29.000 pés, o Monte Everest se destaca como o pico mais alto da terra. Localizado ao longo da fronteira do Nepal e da China, o Monte Everest também é conhecido por seu clima extremo. Perto do cume, as temperaturas nunca sobem acima de zero. Todos os anos, escaladores de todo o mundo enfrentam as condições extremas em um esforço para escalar a altura tremenda. Apenas alguns têm sucesso. Descrever a mudança drástica na altitude que os alpinistas experimentam e a mudança nas temperaturas exige o uso de números que se estendem acima e abaixo de zero. Neste capítulo, descreveremos esses tipos de números e operações usando-os.

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                                • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
                                • Editor / site: OpenStax
                                • Título do livro: Prealgebra 2e
                                • Data de publicação: 11 de março de 2020
                                • Local: Houston, Texas
                                • URL do livro: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
                                • URL da seção: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/3-introduction-to-integers

                                © 21 de janeiro de 2021 OpenStax. O conteúdo do livro didático produzido pela OpenStax é licenciado sob uma licença Creative Commons Attribution License 4.0. O nome OpenStax, logotipo OpenStax, capas de livro OpenStax, nome OpenStax CNX e logotipo OpenStax CNX não estão sujeitos à licença Creative Commons e não podem ser reproduzidos sem o consentimento prévio e expresso por escrito da Rice University.


                                3.2 Adicionar inteiros

                                Agora que localizamos números positivos e negativos na reta numérica, é hora de discutir as operações aritméticas com inteiros.

                                A maioria dos alunos se sente confortável com os fatos de adição e subtração de números positivos. Mas fazer adição ou subtração com números positivos e negativos pode ser mais difícil. Essa dificuldade está relacionada à maneira como o cérebro aprende.

                                O cérebro aprende melhor trabalhando com objetos do mundo real e generalizando para conceitos abstratos. As crianças aprendem rapidamente que, se tiverem dois biscoitos e o irmão mais velho roubar um, eles terão apenas um. Este é um exemplo concreto de 2 - 1. 2 - 1. As crianças aprendem seus fatos básicos de adição e subtração a partir de experiências em sua vida cotidiana. Eventualmente, eles conhecem os fatos numéricos sem depender de cookies.

                                A adição e subtração de números negativos têm menos exemplos do mundo real que são significativos para nós. Os professores de matemática têm várias abordagens diferentes, como linhas numéricas, curvas, temperaturas e assim por diante, para tornar esses conceitos reais.

                                Vamos modelar adição e subtração de negativos com dois contadores de cores. Deixamos um contador azul representar um positivo e um contador vermelho representará um negativo.

                                Se tivermos um contador positivo e um negativo, o valor do par é zero. Eles formam um par neutro. O valor deste par neutro é zero, conforme resumido na Figura 3.17.

                                Matemática Manipulativa

                                Modelaremos quatro fatos de adição usando os números 5, −5 e 3, −3. 5, −5 e 3, −3.


                                Números inteiros e racionais

                                Os números naturais são todos os números 1, 2, 3, 4 ... Eles são os números que você normalmente conta e eles continuarão no infinito.

                                Os números inteiros são todos números naturais, incluindo 0, por exemplo 0, 1, 2, 3, 4 ...

                                Os inteiros incluem todos os números inteiros e sua contraparte negativa, por exemplo … -4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4,…

                                Todos os inteiros pertencem aos números racionais. Um número racional é um número

                                Onde aeb são ambos inteiros.

                                O número 4 é um número inteiro e também um número racional. Como pode ser escrito sem o componente decimal, pertence aos inteiros. É um número racional porque pode ser escrito como:

                                é um número racional, mas não um inteiro.

                                Um número racional escrito em uma forma decimal pode terminar como em:

                                Todos os números racionais pertencem aos números reais.


                                Operações Inteiras

                                As quatro operações aritméticas básicas associadas a inteiros são:

                                • Adição de inteiros
                                • Subtração de Inteiro
                                • Multiplicação de inteiros
                                • Divisão de Inteiros

                                Existem algumas regras para fazer essas operações.
                                Antes de começarmos a aprender esses métodos de operações inteiras, precisamos nos lembrar de algumas coisas.
                                Se não houver sinal antes de um número, significa que o número é positivo. Por exemplo, 5 significa +5.
                                O valor absoluto de um inteiro é um número positivo, ou seja, | & menos2 | = 2 e | 2 | = 2.


                                As propriedades matemáticas dos números reais com respeito à adição, subtração, multiplicação e divisão são:

                                Propriedades de adição:

                                Propriedade de encerramento:

                                Se a, b são dois números reais e a + b = c, então c também é um número inteiro.

                                5 + 3 = 8. Onde, 8 também é um número inteiro.

                                Propriedade comutativa:

                                Se a, b são dois números reais, então,

                                Propriedade associativa:

                                Sejam, a, b, c 3 números inteiros, então,

                                a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b.

                                3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = (3 + 4) + 5 = 12

                                Identidade aditiva:

                                Na identidade aditiva, existe um número real distinto, ou seja, 0, portanto,

                                Inverso aditivo:

                                O aditivo inverso de a é denotado por - a, então

                                Isso significa que o inverso aditivo de 1 é -1. Por exemplo,

                                Propriedades de subtração:

                                Propriedade de encerramento:

                                Se a, b são dois números reais e a & # 8211 b = c, então c nem sempre é um número inteiro. Por exemplo,

                                5 & ​​# 8211 3 = 2 (um número inteiro) enquanto,

                                3 - 5 = -2 que não é um número inteiro.

                                Propriedade comutativa:

                                Se a, b são dois números reais, então,

                                Propriedade associativa:

                                Sejam, a, b, c 3 números inteiros, então,

                                Propriedades de multiplicação:

                                Propriedade de encerramento:

                                Se a, b são dois números inteiros e, então, c também é um número inteiro. Por exemplo,

                                , que também é um número inteiro.

                                Propriedade comutativa:

                                Se a, b são dois números reais, então,

                                Propriedade associativa:

                                Sejam, a, b, c três números inteiros, então,

                                Propriedade multiplicativa de zero:

                                A propriedade multiplicativa de zero é,

                                Identidade multiplicativa:

                                A identidade multiplicativa é dada por,

                                Propriedades da Divisão:

                                Propriedade de encerramento:

                                Esta propriedade informa que o resultado da divisão de dois números nem sempre é um número inteiro. Por exemplo,

                                Propriedade comutativa:

                                Se a, b são dois números reais, então,

                                Propriedade associativa:

                                Sejam, a, b, c três números inteiros, então,

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                                Conteúdo

                                A palavra "prova" vem do latim probare (testar). Palavras modernas relacionadas são em inglês "probe", "probation" e "probabilidade", espanhol probar (cheirar ou provar, ou às vezes tocar ou testar), [6] Italiano provar (tentar) e alemão probieren (tentar). O termo legal "probidade" significa autoridade ou credibilidade, o poder do testemunho para provar fatos quando fornecido por pessoas de reputação ou status. [7]

                                Argumentos de plausibilidade usando dispositivos heurísticos, como imagens e analogias, precederam a prova matemática estrita. [8] É provável que a ideia de demonstrar uma conclusão surgiu primeiro em conexão com a geometria, que se originou em problemas práticos de medição de terras. [9] O desenvolvimento da prova matemática é principalmente o produto da matemática grega antiga e uma de suas maiores realizações. [10] Tales (624–546 AC) e Hipócrates de Quios (c. 470–410 AC) deram algumas das primeiras provas conhecidas de teoremas em geometria. Eudoxus (408–355 AC) e Teeteto (417–369 AC) formularam teoremas, mas não os provaram. Aristóteles (384-322 aC) disse que as definições devem descrever o conceito sendo definido em termos de outros conceitos já conhecidos.

                                A prova matemática foi revolucionada por Euclides (300 aC), que introduziu o método axiomático ainda em uso hoje. Ele começa com termos indefinidos e axiomas, proposições relativas aos termos indefinidos que são assumidos como evidentemente verdadeiros (do grego "axios", algo digno). Com base nisso, o método prova teoremas usando lógica dedutiva. Livro de Euclides, o Elementos, foi lido por qualquer pessoa considerada educada no Ocidente até meados do século XX. [11] Além dos teoremas da geometria, como o teorema de Pitágoras, o Elementos também cobre a teoria dos números, incluindo uma prova de que a raiz quadrada de dois é irracional e uma prova de que existem infinitos números primos.

                                Outros avanços também ocorreram na matemática islâmica medieval. Enquanto as primeiras provas gregas eram em grande parte demonstrações geométricas, o desenvolvimento da aritmética e da álgebra por matemáticos islâmicos permitiu provas mais gerais, sem dependência da intuição geométrica. No século 10 dC, o matemático iraquiano Al-Hashimi trabalhou com números como tais, chamados de "linhas", mas não necessariamente considerados como medidas de objetos geométricos, para provar proposições algébricas relativas à multiplicação, divisão, etc., incluindo a existência de números irracionais . [12] Uma prova indutiva para sequências aritméticas foi introduzida no Al-Fakhri (1000) por Al-Karaji, que o usou para provar o teorema binomial e as propriedades do triângulo de Pascal. Alhazen também desenvolveu o método da prova por contradição, como a primeira tentativa de provar o postulado do paralelo euclidiano. [13]

                                A teoria da prova moderna trata as provas como estruturas de dados definidas indutivamente, não exigindo uma suposição de que os axiomas são "verdadeiros" em qualquer sentido. Isso permite teorias matemáticas paralelas como modelos formais de um determinado conceito intuitivo, com base em conjuntos alternativos de axiomas, por exemplo, a teoria dos conjuntos axiomática e a geometria não euclidiana.

                                Conforme praticado, uma prova é expressa em linguagem natural e é um argumento rigoroso destinado a convencer o público da verdade de uma afirmação. O padrão de rigor não é absoluto e variou ao longo da história. Uma prova pode ser apresentada de forma diferente dependendo do público-alvo. Para obter aceitação, uma prova deve atender aos padrões comuns de rigor; um argumento considerado vago ou incompleto pode ser rejeitado.

                                O conceito de prova é formalizado no campo da lógica matemática. [14] Uma prova formal é escrita em uma linguagem formal ao invés de uma linguagem natural. Uma prova formal é uma sequência de fórmulas em uma linguagem formal, começando com uma suposição e, com cada fórmula subsequente, uma consequência lógica das precedentes. Essa definição torna o conceito de prova passível de estudo. De fato, o campo da teoria da prova estuda as provas formais e suas propriedades, sendo o mais famoso e surpreendente que quase todos os sistemas axiomáticos podem gerar certas afirmações indecidíveis não prováveis ​​dentro do sistema.

                                A definição de uma prova formal visa capturar o conceito de provas como escrito na prática da matemática. A validade dessa definição equivale à crença de que uma prova publicada pode, em princípio, ser convertida em uma prova formal. No entanto, fora do campo dos assistentes de prova automatizados, isso raramente é feito na prática. Uma questão clássica em filosofia pergunta se as provas matemáticas são analíticas ou sintéticas. Kant, que introduziu a distinção analítico-sintético, acreditava que as provas matemáticas são sintéticas, enquanto Quine argumentou em seu 1951 "Dois Dogmas do Empirismo" que tal distinção é insustentável. [15]

                                As provas podem ser admiradas por sua beleza matemática. O matemático Paul Erdős era conhecido por descrever as provas que ele considerou particularmente elegantes como vindas de "O Livro", um tomo hipotético contendo o (s) mais belo (s) método (s) de provar cada teorema. O livro Provas do LIVRO, publicado em 2003, dedica-se a apresentar 32 provas que seus editores consideram particularmente agradáveis.

                                Edição de prova direta

                                Na prova direta, a conclusão é estabelecida combinando-se logicamente os axiomas, definições e teoremas anteriores. [16] Por exemplo, a prova direta pode ser usada para provar que a soma de dois inteiros pares é sempre par:

                                Considere dois inteiros pares x e y. Uma vez que são pares, podem ser escritos como x = 2uma e y = 2b, respectivamente, para inteiros uma e b. Então a soma x + y = 2uma + 2b = 2(uma+b) Portanto x+y tem 2 como fator e, por definição, é par. Conseqüentemente, a soma de quaisquer dois inteiros pares é par.

                                Esta prova usa a definição de inteiros pares, as propriedades inteiras de fechamento sob adição e multiplicação e distributividade.

                                Prova por indução matemática Editar

                                Apesar do nome, a indução matemática é um método de dedução, não uma forma de raciocínio indutivo. Na prova por indução matemática, um único "caso base" é provado, e uma "regra de indução" é provada que estabelece que qualquer caso arbitrário implica no próximo caso. Visto que, em princípio, a regra de indução pode ser aplicada repetidamente (começando do caso base provado), segue-se que todos (geralmente infinitos) casos são prováveis. [17] Isso evita ter que provar cada caso individualmente. Uma variante da indução matemática é a prova por descendência infinita, que pode ser usada, por exemplo, para provar a irracionalidade da raiz quadrada de dois. [5]

                                Uma aplicação comum de prova por indução matemática é provar que uma propriedade conhecida por ser válida para um número vale para todos os números naturais: [18] N = <1,2,3,4. > seja o conjunto de números naturais, e P(n) ser uma afirmação matemática envolvendo o número natural n pertencendo à N de tal modo que

                                • (eu)P(1) é verdadeiro, ou seja, P(n) é verdade para n = 1 .
                                • (ii)P(n+1) é verdadeiro sempre que P(n) é verdade, ou seja, P(n) é verdade implica que P(n+1) é verdade.
                                • Então P(n) é verdadeiro para todos os números naturais n .

                                Por exemplo, podemos provar por indução que todos os inteiros positivos da forma 2n - 1 é estranho. Deixar P(n) representam "2n - 1 é ímpar ":

                                (eu) Para n = 1 , 2n - 1 = 2 (1) - 1 = 1, e 1 é ímpar, pois deixa um resto de 1 quando dividido por 2. Desse modo P(1) é verdade. (ii) Para qualquer n , se 2n - 1 é ímpar ( P(n)), então (2n - 1) + 2 também deve ser ímpar, porque adicionar 2 a um número ímpar resulta em um número ímpar. Mas (2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) - 1, então 2 (n+1) - 1 é ímpar ( P(n+1)). Então P(n) implica P(n+1) . Desse modo 2n - 1 é ímpar, para todos os inteiros positivos n .

                                A frase mais curta "prova por indução" é freqüentemente usada em vez de "prova por indução matemática". [19]

                                Edição de prova por contraposição

                                A prova por contraposição infere a afirmação "se p então q"estabelecendo a declaração contrapositiva logicamente equivalente:" se não q então não p".

                                Por exemplo, a contraposição pode ser usada para estabelecer que, dado um inteiro x < displaystyle x>, se x 2 < displaystyle x ^ <2>> é par, então x < displaystyle x> é par:

                                Prova por contradição Editar

                                Na prova por contradição, também conhecida pela frase latina reductio ad absurdum (por redução ao absurdo), é mostrado que se alguma afirmação é assumida como verdadeira, ocorre uma contradição lógica, portanto, a afirmação deve ser falsa. Um exemplo famoso envolve a prova de que 2 < displaystyle < sqrt <2> >> é um número irracional:

                                Prova por construção Editar

                                Prova por construção, ou prova por exemplo, é a construção de um exemplo concreto com uma propriedade para mostrar que algo que possui essa propriedade existe. Joseph Liouville, por exemplo, provou a existência de números transcendentais construindo um exemplo explícito. Também pode ser usado para construir um contra-exemplo para refutar uma proposição de que todos os elementos têm uma certa propriedade.

                                Prova por exaustão Editar

                                Na prova por exaustão, a conclusão se estabelece dividindo-a em um número finito de casos e provando cada um separadamente. O número de casos às vezes pode se tornar muito grande. Por exemplo, a primeira prova do teorema das quatro cores foi uma prova por exaustão com 1.936 casos. Essa prova foi polêmica porque a maioria dos casos foi verificada por um programa de computador, não manualmente. A prova mais curta conhecida do teorema das quatro cores em 2011 [atualização] ainda tem mais de 600 casos. [20]

                                Prova probabilística Editar

                                Uma prova probabilística é aquela em que se mostra a existência de um exemplo, com certeza, usando métodos da teoria da probabilidade. A prova probabilística, como a prova por construção, é uma das muitas maneiras de mostrar teoremas de existência.

                                No método probabilístico, busca-se um objeto que possua uma determinada propriedade, partindo de um grande conjunto de candidatos. Atribui-se uma certa probabilidade para cada candidato a ser escolhido e, então, prova-se que existe uma probabilidade diferente de zero de que um candidato escolhido terá a propriedade desejada. Isso não especifica quais candidatos têm a propriedade, mas a probabilidade não poderia ser positiva sem pelo menos uma.

                                Uma prova probabilística não deve ser confundida com um argumento de que um teorema é "provavelmente" verdadeiro, um "argumento de plausibilidade". O trabalho sobre a conjectura de Collatz mostra o quão longe a plausibilidade está da prova genuína. Enquanto a maioria dos matemáticos não pensa que a evidência probabilística para as propriedades de um determinado objeto conta como uma prova matemática genuína, alguns matemáticos e filósofos argumentaram que pelo menos alguns tipos de evidência probabilística (como o algoritmo probabilístico de Rabin para testar a primalidade) são tão boas como provas matemáticas genuínas. [21] [22]

                                Edição de prova combinatória

                                Uma prova combinatória estabelece a equivalência de diferentes expressões, mostrando que contam o mesmo objeto de maneiras diferentes. Freqüentemente, uma bijeção entre dois conjuntos é usada para mostrar que as expressões para seus dois tamanhos são iguais. Alternativamente, um argumento de contagem dupla fornece duas expressões diferentes para o tamanho de um único conjunto, novamente mostrando que as duas expressões são iguais.

                                Edição de prova não construtiva

                                Uma prova não construtiva estabelece que um objeto matemático com uma certa propriedade existe - sem explicar como tal objeto pode ser encontrado. Freqüentemente, isso toma a forma de uma prova por contradição em que a inexistência do objeto se mostra impossível. Em contraste, uma prova construtiva estabelece que um determinado objeto existe, fornecendo um método para encontrá-lo. Um famoso exemplo de uma prova não construtiva mostra que existem dois números irracionais uma e b de modo que a b < displaystyle a ^> é um número racional:

                                Provas estatísticas em matemática pura Editar

                                A expressão "prova estatística" pode ser usada técnica ou coloquialmente em áreas da matemática pura, como envolvendo criptografia, séries caóticas e teoria dos números probabilística ou analítica. [23] [24] [25] É menos comumente usado para se referir a uma prova matemática no ramo da matemática conhecido como estatística matemática. Consulte também a seção "Prova estatística usando dados" abaixo.

                                Provas assistidas por computador Editar

                                Até o século XX, presumia-se que qualquer prova poderia, em princípio, ser verificada por um matemático competente para confirmar sua validade. [8] No entanto, os computadores são usados ​​agora para provar teoremas e para realizar cálculos que são muito longos para qualquer humano ou equipe de humanos verificar a primeira prova do teorema das quatro cores é um exemplo de uma prova assistida por computador. Alguns matemáticos estão preocupados que a possibilidade de um erro em um programa de computador ou um erro de tempo de execução em seus cálculos coloque em questão a validade de tais provas assistidas por computador. Na prática, as chances de um erro invalidar uma prova assistida por computador podem ser reduzidas incorporando redundância e autoverificações aos cálculos e desenvolvendo múltiplas abordagens e programas independentes. Erros nunca podem ser completamente descartados no caso de verificação de uma prova por humanos também, especialmente se a prova contiver linguagem natural e exigir um profundo conhecimento matemático para descobrir as suposições e falácias ocultas potenciais envolvidas.

                                Uma afirmação que não pode ser provada nem refutada por um conjunto de axiomas é chamada de indecidível (por causa desses axiomas). Um exemplo é o postulado paralelo, que não pode ser provado nem refutado a partir dos axiomas restantes da geometria euclidiana.

                                Os matemáticos mostraram que existem muitas afirmações que não são nem prováveis ​​nem contestáveis ​​na teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC), o sistema padrão da teoria dos conjuntos em matemática (assumindo que ZFC é consistente). .

                                O (primeiro) teorema da incompletude de Gödel mostra que muitos sistemas de axiomas de interesse matemático terão enunciados indecidíveis.

                                Embora os primeiros matemáticos, como Eudoxus de Cnido, não usassem provas, de Euclides aos desenvolvimentos matemáticos fundamentais do final dos séculos 19 e 20, as provas eram uma parte essencial da matemática. [26] With the increase in computing power in the 1960s, significant work began to be done investigating mathematical objects outside of the proof-theorem framework, [27] in experimental mathematics. Early pioneers of these methods intended the work ultimately to be embedded in a classical proof-theorem framework, e.g. the early development of fractal geometry, [28] which was ultimately so embedded.

                                Visual proof Edit

                                Although not a formal proof, a visual demonstration of a mathematical theorem is sometimes called a "proof without words". The left-hand picture below is an example of a historic visual proof of the Pythagorean theorem in the case of the (3,4,5) triangle.

                                Visual proof for the (3, 4, 5) triangle as in the Zhoubi Suanjing 500–200 BCE.

                                Animated visual proof for the Pythagorean theorem by rearrangement.

                                A second animated proof of the Pythagorean theorem.

                                Some illusory visual proofs, such as the missing square puzzle, can be constructed in a way which appear to prove a supposed mathematical fact but only do so under the presence of tiny errors (for example, supposedly straight lines which actually bend slightly) which are unnoticeable until the entire picture is closely examined, with lengths and angles precisely measured or calculated.

                                Elementary proof Edit

                                An elementary proof is a proof which only uses basic techniques. More specifically, the term is used in number theory to refer to proofs that make no use of complex analysis. For some time it was thought that certain theorems, like the prime number theorem, could only be proved using "higher" mathematics. However, over time, many of these results have been reproved using only elementary techniques.

                                Two-column proof Edit

                                A particular way of organising a proof using two parallel columns is often used as a mathematical exercise in elementary geometry classes in the United States. [29] The proof is written as a series of lines in two columns. In each line, the left-hand column contains a proposition, while the right-hand column contains a brief explanation of how the corresponding proposition in the left-hand column is either an axiom, a hypothesis, or can be logically derived from previous propositions. The left-hand column is typically headed "Statements" and the right-hand column is typically headed "Reasons". [30]

                                Colloquial use of "mathematical proof" Edit

                                The expression "mathematical proof" is used by lay people to refer to using mathematical methods or arguing with mathematical objects, such as numbers, to demonstrate something about everyday life, or when data used in an argument is numerical. It is sometimes also used to mean a "statistical proof" (below), especially when used to argue from data.

                                Statistical proof using data Edit

                                "Statistical proof" from data refers to the application of statistics, data analysis, or Bayesian analysis to infer propositions regarding the probability of data. While using mathematical proof to establish theorems in statistics, it is usually not a mathematical proof in that the assumptions from which probability statements are derived require empirical evidence from outside mathematics to verify. In physics, in addition to statistical methods, "statistical proof" can refer to the specialized mathematical methods of physics applied to analyze data in a particle physics experiment or observational study in physical cosmology. "Statistical proof" may also refer to raw data or a convincing diagram involving data, such as scatter plots, when the data or diagram is adequately convincing without further analysis.

                                Inductive logic proofs and Bayesian analysis Edit

                                Proofs using inductive logic, while considered mathematical in nature, seek to establish propositions with a degree of certainty, which acts in a similar manner to probability, and may be less than full certainty. Inductive logic should not be confused with mathematical induction.

                                Bayesian analysis uses Bayes' theorem to update a person's assessment of likelihoods of hypotheses when new evidence or information is acquired.

                                Proofs as mental objects Edit

                                Psychologism views mathematical proofs as psychological or mental objects. Mathematician philosophers, such as Leibniz, Frege, and Carnap have variously criticized this view and attempted to develop a semantics for what they considered to be the language of thought, whereby standards of mathematical proof might be applied to empirical science. [ citation needed ]

                                Influence of mathematical proof methods outside mathematics Edit

                                Philosopher-mathematicians such as Spinoza have attempted to formulate philosophical arguments in an axiomatic manner, whereby mathematical proof standards could be applied to argumentation in general philosophy. Other mathematician-philosophers have tried to use standards of mathematical proof and reason, without empiricism, to arrive at statements outside of mathematics, but having the certainty of propositions deduced in a mathematical proof, such as Descartes' cogito argument.


                                Integers are numbers that are whole numbers and negative numbers. All integers are represented by the alphabet Z. A number line is full of integers. On the left side, you can find negative integers while on the right side you have the positive ones. Don&rsquot forget the zero in between! Integers do sound interesting right? We will now learn about the Addition and Subtraction of Integers, Multiplication, and Division of Integers, Euclid's Division Lemma, and Euclid's Division Algorithm.

                                A natural number is a non-negative integer and is always greater than zero. It is represented by the symbol N. We will learn about the various properties of natural numbers as part of understanding this concept. Now, the whole number does not contain any decimal or fractional part. It means that it represents the whole thing without pieces. It is represented by the symbol W.

                                We will learn about the various properties of whole numbers as part of understanding this concept.


                                An Introduction to Mathematical Structure

                                When I started to study "algebra" at university, I was surprised to discover that it looked nothing like the "algebra" I had studied at school. Gone were the algebraic expressions and quadratic equations, and in came a whole new set of words and symbols.

                                But it was still to do with generalising. In school-level algebra, we can generalise results that work for lots of different numbers (such as $(x-1)(x+1)equiv x^2-1$,or find a formula that generalises a sequence of numbers ($n^< extrm>$ term $=3n+4$). The algebra studied at university makes connections between more disparate areas of mathematics, such as arithmetic, combinatorics and symmetry. This is very powerful if we can show that two situations behave in the same way, then if we find something interesting about one situation, there will be an equivalent result in the other situation.

                                So algebraists look for ways to describe seemingly different situations in the same way. They will tend to describe them in terms of a set of elements, and one or more operations, which are ways of combining elements. This is quite difficult to understand without seeing some examples, so let's explore some:

                                1) Imagine taking the numbers 0, 1, 2 and 3. These are the elements . We're going to add them, but we'll do this "mod 4" that just means that we'll write down the remainder when the answer is divided by 4. This is the operation. So, for example, 2 + 3 = 5 = 1 mod 4.


                                End Notes

                                History

                                The history of mathematics is very broad, with different cultures (Greeks, Romans, Arabic, Chinese, Indians and European) following different paths, and many claims for "we thought of it first!", but the general order of discovery I discussed here gives a good idea of it.

                                Questions

                                And isn't it amazing how many times that asking a question, like

                                • "what happens if we count backwards through zero", ou
                                • "what is the exact distance across the diagonal of the square"

                                first led to disagreement (and even ridicule!), but eventually to amazing breakthroughs in understanding.


                                Assista o vídeo: O Conjunto dos Números Inteiros Z - Vivendo a Matemática com a Professora Angela (Novembro 2021).