Artigos

Múltiplos Integrais - Matemática


Múltiplos Integrais - Matemática

Parte A: Integrais Duplos

Na parte A, aprenderemos sobre integração dupla nas regiões do plano. Conceitualmente, uma integral é uma soma. Aplicaremos essa ideia para calcular a massa, o centro de massa e o momento de inércia de um corpo bidimensional e o volume de uma região delimitada por superfícies.

Para calcular integrais duplos, teremos que descrever as regiões no plano em termos das equações que descrevem suas curvas de limite. Depois disso, o cálculo se torna apenas duas integrações de variáveis ​​únicas feitas iterativamente.


Aprenda tudo o que você precisa saber para passar pelos Integrais Múltiplos e se preparar para entrar nos Vetores com um entendimento sólido do que está acontecendo. Explicações em vídeo, notas de texto e perguntas do questionário que não afetam a nota da sua classe ajudam você a "entender" de uma forma que a maioria dos livros nunca explica.

Aproximando integrais duplos

Valor médio na região

Integrais duplos e integrais iterados

Regiões tipo I e regiões tipo II (tipo 1 e tipo 2)

Mudando a ordem de integração

Alterar integrais iteradas para coordenadas polares

Mudança de integrais duplas para coordenadas polares

Área de esboço em coordenadas polares

Área em coordenadas polares

Volume em coordenadas polares

Aplicações de integrais duplos

Massa e centro de massa da lâmina

Momentos de inércia e raios de giro

Aproximando integrais triplos

Integrais triplos iterados e integrais triplos

Valor médio na região

Expressando as seis maneiras integrais

Regiões do tipo I, regiões do tipo II e regiões do tipo III (tipo 1, tipo 2 e tipo 3)


Math Insight

Suponha que você saiba a densidade do cabelo em cada ponto de sua cabeça e queira calcular o número total de fios de cabelo em sua cabeça.

Em outras palavras, seja $ (x, y) $ um ponto que está $ x $ milímetros à direita e $ y $ milímetros acima de algum ponto de referência, digamos, seu nariz. Estamos assumindo que você já conhece a função $ f (x, y) $ que fornece a densidade do cabelo em fios por milímetro quadrado no ponto $ (x, y) $. O seguinte pode ser um método para usar seu conhecimento de $ f (x, y) $ para estimar o número de fios de cabelo em seu corpo.

Corte e alise sua pele para que fique em um plano.

(Embora isso não tenha nada a ver com integrais duplas, mapeadores e cartógrafos cerebrais enfrentam problemas semelhantes. Para mapear o cérebro ou a superfície da Terra, procura-se maneiras de achatar essas superfícies em um plano.)

Divida sua pele em pequenos retângulos de largura $ Delta x $ e altura $ Delta y $.

Rotule cada retângulo de acordo com a linha $ i $ e a coluna $ j $. Para o retângulo $ ij $, escolha algum ponto no retângulo e chame-o de $ (x_, y_) $. Como você conhece a função de densidade do cabelo, pode pesquisar a densidade desse ponto. É simplesmente $ f (x_, y_)$.

Rotule cada retângulo com o número $ f (x_, y_)$.

Se a densidade do cabelo fosse constante em cada retângulo, o número de cabelos no retângulo $ ij $ seria $ f (x_, y_) $ vezes a área do retângulo. A área do retângulo é simplesmente sua largura ($ Delta x $) vezes sua altura ($ Delta y $), ou seja, a área é $ Delta x Delta y $. Portanto, o número de fios de cabelo no retângulo é de aproximadamente $ f (x_, y_) Delta x Delta y $.

Para estimar o número total de fios de cabelo de sua cabeça, você pode somar o número (aproximado) de fios de cabelo em cada retângulo. Usando o resultado acima, sua estimativa para o número total de cabelos é begin soma_ f (x_, y_) Delta x Delta y, end onde a soma é sobre todos os retângulos.

Se na imagem acima, cada retângulo tivesse 75 milímetros de largura e 65 milímetros de altura, então a estimativa resultante do número total de cabelos seria $ (9 + 9 + 8 + 17 + 9 + 3 + 1 + 1 + 11 + 8 + 10 + 8 + 1 + 2 + 3 + 8 + 7 + 2 + 5 + 3) cdot 75 cdot 65 = 609.375 $.

O resultado acima é apenas uma estimativa aproximada, pois assumiu que a densidade do cabelo era constante em cada retângulo. Você também deve ter notado que erros adicionais são introduzidos nas bordas da pele, onde alguns retângulos são preenchidos apenas parcialmente com a pele. Você pode aumentar sua precisão diminuindo o tamanho de cada retângulo (ou seja, diminuindo $ Delta x $ e $ Delta y $). Claro, para cobrir toda a sua cabeça, você terá que aumentar o número de retângulos conforme diminui seu tamanho.

Para ser realmente preciso, você deve deixar o tamanho dos retângulos ir para zero (e o número de retângulos ir para o infinito). Em outras palavras, você deve tomar o limite onde $ Delta x para 0 $ e $ Delta y para 0 $.

Desde que $ f (x, y) $ seja uma função contínua, este procedimento convergirá para um único número, que seria o número real de fios de cabelo de sua cabeça. começar exto = lim_ < Delta x, Delta y a 0> sum_ f (x_, y_) Delta x Delta y end

Podemos colocar isso em termos matemáticos. Quando tomamos o limite como $ Delta x para 0 $ e $ Delta y para 0 $, terminamos com a integral definida da função $ f $ sobre sua cabeça. Se denotarmos por $ dlr $ a região do plano que sua pele ocupou, então escreveremos esta integral como begin iint_ dlr , f (x, y) dA = lim_ < Delta x, Delta y to 0> sum_ f (x_, y_) Delta x Delta y. fim

Referimo-nos a esta integral como o integral duplo de $ f $ sobre $ dlr $.

As somas do passo 5 são as somas de Riemann que aproximam a integral. A integral é o limite das somas de Riemann já que o tamanho dos retângulos vai para zero. Esta é exatamente a maneira como você definiu a integral no cálculo de uma variável.

Você pode ler como podemos interpretar a integral dupla como o volume sob uma superfície, assim como você poderia interpretar a integral regular de uma variável como área sob uma curva. Nesse caso, também podemos visualizar a soma de Riemann definindo a integral como o volume de muitas caixas, conforme ilustrado no miniaplicativo a seguir. (Mais detalhes sobre a interpretação deste volume e este miniaplicativo podem ser vistos nesta página.)

Carregando miniaplicativo

Soma integral dupla de Riemann. O volume das pequenas caixas ilustra uma soma de Riemann aproximando o volume sob o gráfico de $ z = f (x, y) $, mostrado como uma superfície transparente. A superfície é o gráfico da função $ f (x, y) = cos ^ 2 x + sin ^ 2 y $. O volume é calculado sobre a região $ D $ definida por le x le 2 $ e le y le 1 $. Portanto, o volume real é o integral duplo $ iint_D f , dA $. O volume das caixas é $ sum_ f (x_, y_) Delta x Delta y $ onde $ x_i $ é o ponto médio do intervalo $ i $ th ao longo do eixo $ x $ e $ y_j $ é o ponto médio do intervalo $ j $ th ao longo do eixo $ y $ . Arraste os pontos nos controles deslizantes para alterar $ Delta x $ e $ Delta y $, bem como o número de intervalos ao longo de cada eixo. Como $ Delta x $ e $ Delta y $ se aproximam de zero, o volume das caixas (rotuladas como & ldquoestimate & rdquo) se aproxima do volume real da integral $ iint_D f , dA $.

Não tenho bons exemplos (além do exemplo de contagem de cabelo acima) sobre o cálculo de integrais duplas dessa maneira, pois não é assim que normalmente os calculamos. Em vez disso, esta página é sobre como nós definir uma integral dupla. Temos maneiras melhores de calcular integrais duplos (ou seja, a menos que você seja um computador, caso em que dividir o domínio em pedaços e calcular uma soma como uma aproximação de uma integral funciona muito bem).

Você também pode ler exemplos de computação de integrais duplas usando o método que normalmente usamos aqueles de nós que não são computadores, que é algo chamado de integral iterada.


Múltiplos Integrais - Matemática

Esta página possui as seguintes seções:

onde R (xy) é a região mostrada no gráfico abaixo. (A, B, C e D são rótulos para os 4 lados.)

A região não é verticalmente simples nem horizontalmente simples. A região pode ser descrita matematicamente como a união de duas regiões verticalmente simples. Nós temos

Devemos escrever a integral dupla como a soma de duas integrais iteradas, uma para cada uma das metades esquerda e direita de R. Temos

Em alguns casos, é vantajoso fazer uma mudança nas variáveis ​​de modo que a integral dupla possa ser expressa em termos de uma integral iterada única.

Não existem regras rígidas e rápidas para fazer a mudança de variáveis ​​para integrais múltiplos. Prosseguimos com o exemplo acima. É apropriado apresentar as variáveis:

Este é um exemplo de transformação linear. Isso significa que as linhas no plano xy são transformadas em linhas no plano UV. Esta mudança particular de variáveis ​​converte a região em forma de diamante R (xy) no plano xy em um quadrado R (uv) no plano uv. Por quê? Bem, a reta x + 2y = 2 é transformada na reta u = 2, e a reta x + 2y = -2 é transformada na reta u = -2. As duas outras linhas são transformadas nas linhas v = 2 ev = -2.

Antes de podermos escrever a nova integral, devemos introduzir o Jacobiano, que relaciona áreas infinitesimais no plano xy com áreas infinitesimais no plano UV.

O Jacobiano é uma função que relaciona áreas infinitesimais no plano xy a áreas infinitesimais no plano UV. Por que essa função é necessária? Observe que a área de R (uv) no plano uv é 16 e a área de R no plano R (xy) é 4. Pode ser mostrado que

Existe um Jacobiano no cálculo unidimensional. Suponha que uma mudança nas variáveis ​​x = g (u) seja feita convertendo uma integral no eixo x em uma integral no eixo u. Suponha que u = G (x) seja a transformação inversa. Então:

O Jacobiano é g '(u). Esta função relaciona intervalos infinitesimais no eixo x a intervalos infinitesimais no eixo u. Se x = g (u), então dx = g '(u) du.

Um Jacobiano é necessário para integrais em mais de uma variável. Suponha que

Vamos ver o que acontece com uma pequena caixa infinitesimal no plano UV.

Como os comprimentos laterais são infinitesimais, cada lado da caixa no plano UV é transformado em uma linha reta no plano xy. O resultado é que a caixa no plano UV é transformada em um paralelogramo no plano xy.

Suponha que o ponto (u, v) seja transformado no ponto (x = f (u, v), y = g (u, v)). O ponto (u + du, v) é transformado no ponto

Aqui, usamos a série de Taylor para expandir essas expressões. Da mesma forma, o ponto (u, v + dv) é transformado no ponto

Isso é mostrado na figura abaixo.

Se deixarmos S denotar o vetor de (x, y) a (x + f_udu, y + g_udu), S = & ltf_udu, g_udu, 0 & gt, e T denotar o vetor de (x, y) a (x + f_vdv, y + g_vdv), T = & ltf_vdv, g_vdv, 0 & gt então a área de R no plano xy é | SxT |, onde x denota o produto vetorial. Pode-se mostrar que

A quantidade dudv é a área da caixa R (uv). Por isso,

é chamado de Jacobiano, que relaciona áreas nos planos uv e xy. Uma fórmula equivalente para o Jacobiano é

Aqui, det significa o determinante.

A fórmula correta para uma mudança de variáveis ​​na integração dupla é

Em três dimensões, se x = f (u, v, w), y = g (u, v, w) e z = h (u, v, w), então o integral triplo

onde R (xyz) é a região de integração no espaço xyz, R (uvw) é a região correspondente de integração no espaço uvw, e o Jacobiano é dado por

Para o exemplo considerado acima, temos

O Jacobiano é J = 1/4, e segue-se que

onde D é o quadrado -2 & lt = u & lt = 2, -2 & lt = v & lt = 2. Portanto, temos

Pode-se mostrar que o valor da integral é 48.

Consulte a página relacionada para cálculos do Jacobiano para as transformações em coordenadas polares e esféricas.


Quer saber mais sobre Cálculo 3? Tenho um curso passo a passo para isso. :)

Avalie a integral iterada.

. int ^ 2_0 int ^ 3_1x ^ 2y ^ 3-xe ^ y dy dx.

Desde a . dy. está do lado de dentro, temos que nos integrar em relação a. y. primeiro. Quando nos integramos com respeito a. y. nós tratamos. x. como uma constante, da mesma forma que mantemos uma variável constante quando fazemos uma derivada parcial em relação à outra variável.

. int ^ 2_0 int ^ 3_1x ^ 2y ^ 3-xe ^ y dy dx.

. int_0 ^ 2x ^ 2 left ( frac14 y ^ 4 right) -x left (e ^ y right) bigg | ^_ dx.

Observe como indicamos que estamos avaliando no intervalo. y = 1. para . y = 3. É útil designar a variável à qual o intervalo se aplica para que você se lembre de inserir a variável certa.

Agora podemos avaliar o intervalo. Uma vez que pegamos a integral em relação a. y. estamos avaliando a integral em relação a. y.

Agora vamos considerar a integral em relação a. x.

. frac <20x ^ 3> <3> - frac12 x ^ 2e ^ 3 + frac12 x ^ 2e bigg | ^ 2_0.

Agora, podemos avaliar o intervalo. Lembre-se de que pegamos a integral em relação a. x. então estamos avaliando o integral também em relação a. x.

. frac <20 (2) ^ 3> <3> - frac12 (2) ^ 2e ^ 3 + frac12 (2) ^ 2e- left [ frac <20 (0) ^ 3> <3> - frac12 (0) ^ 2e ^ 3 + frac12 (0) ^ 2e right].

. frac <20 (8)> <3> - frac12 (4) e ^ 3 + frac12 (4) e- left (0-0 + 0 right).

Este é o valor da integral iterada, o que significa que é o volume sob a função. f (x, y) = x ^ 2y ^ 3-xe ^ y. sobre a região. R = [0,2] vezes [1,3].

Agora vamos tentar um exemplo com uma integral dupla, onde os intervalos para. x. e . y. ainda não estão incorporados ao integral.

Quando você recebe uma integral dupla, você deseja transformá-la em uma integral iterada, porque com integrais iteradas, você pode avaliar facilmente uma integral de cada vez.

Avalie a integral dupla.

A questão é nos pedir para avaliar uma integral dupla, e eles estão nos dando. R. Os valores em. R. corresponde ao. x. e . y. intervalos para nossa integral dupla, então podemos ir em frente e inserir essas informações na integral dupla para transformá-la em uma integral iterada.

Não importa se colocamos. dx. no interior e. dy. do lado de fora, ou vice-versa. Mas precisamos ter certeza de que os limites de integração em cada integral correspondem à ordem de. dx. e . dy. Desde que colocamos. dy. por dentro, os limites da integração para. y. tem que se apegar à integral interna. E desde . dx. é do lado de fora, nós colocamos os limites da integração para. x. na integral externa.

Desde a . dy. está do lado de dentro, e sempre trabalhamos de dentro para fora, vamos integrar primeiro em relação a. y. tratamento. x. como uma constante.

Agora avaliaremos no intervalo para. y.

. int_0 ^ frac < pi> <2> frac12 (2) ^ 2 sin <(3x)> - frac14 (2) ^ 4 cos- left [ frac12 (-1) ^ 2 sin <(3x)> - frac14 (-1) ^ 4 cos right] dx.

. int_0 ^ frac < pi> <2> frac12 (4) sin <(3x)> - frac14 (16) cos- left [ frac12 (1) sin <(3x)> - frac14 (1) cos right] dx.

Em seguida, vamos integrar com relação a. x. em seguida, avalie sobre o. x. -intervalo.

O valor da integral dupla é. -13/4. o que significa o volume sob a função. f (x, y) = y sin <(3x)> - y ^ 3 cos. sobre a região. R = left [0, frac < pi> <2> right] times left [-1,2 right]. é . -13/4.


Recursos da Web da Wolfram

A ferramenta nº 1 para a criação de demonstrações e qualquer coisa técnica.

Explore qualquer coisa com o primeiro mecanismo de conhecimento computacional.

Explore milhares de aplicativos gratuitos em ciências, matemática, engenharia, tecnologia, negócios, arte, finanças, ciências sociais e muito mais.

Junte-se à iniciativa de modernização do ensino de matemática.

Resolva integrais com Wolfram | Alpha.

Analise os problemas do dever de casa passo a passo, do começo ao fim. As dicas ajudam você a tentar a próxima etapa por conta própria.

Problemas de prática aleatória ilimitada e respostas com soluções passo a passo integradas. Pratique online ou faça uma folha de estudo para impressão.

Coleção de ferramentas de ensino e aprendizagem criadas por especialistas em educação da Wolfram: livro didático dinâmico, planos de aula, widgets, demonstrações interativas e muito mais.


Cálculo de Negócios com Excel

Vimos a integral definida como a área sinalizada sob uma curva. Isso nos permite calcular o lucro total, ou receita, ou custo, a partir das funções marginais relacionadas. Vimos uma série de aplicações em que isso foi interpretado como uma acumulação ao longo do tempo, incluindo a produção total de um poço de petróleo e o valor presente de um fluxo de receita. Para algumas aplicações, queremos observar a área entre duas curvas. Por exemplo, considerando o lucro como a área entre as curvas de custo e receita.

Nesta seção, veremos mais aplicações de finanças e economia, onde os conceitos podem ser facilmente descritos em termos da área entre as curvas.

Quando olhamos as curvas de oferta e demanda, encontramos um ponto de equilíbrio em que o valor oferecido para venda era igual ao valor que as pessoas queriam comprar.

No entanto, naquele modelo, havia pessoas que estavam dispostas a vender por menos do que o preço de equilíbrio e pessoas que estavam dispostas a comprar por mais que o preço de equilíbrio. Essas pessoas conseguiram um negócio excepcionalmente bom na transação. Gostaríamos de medir esse benefício, pois podemos pensar nele como o lucro extra que os fornecedores e compradores obtêm na transação. Notamos que cada lado terá um incentivo para maximizar esse benefício.

Concentre-se primeiro no lado do consumidor. A área sob a função de demanda, de 0 à quantidade vendida, mede a disposição dos consumidores em gastar. A área do retângulo com a mesma base e altura igual ao preço de venda mede o gasto real do consumidor. A diferença entre os dois é uma quantidade que chamaremos.

Enquanto o preço permanecer na curva da função de demanda, um preço mais baixo significa uma maior quantidade vendida e um maior excedente do consumidor.

De maneira semelhante, podemos nos concentrar no lado do produtor. A área sob a função de abastecimento, de 0 à quantidade vendida, mede a necessidade de receita dos produtores. A área do retângulo com a mesma base e altura igual ao preço de venda mede a receita real do produtor. A diferença entre os dois é uma quantidade que chamaremos.

Enquanto o preço permanecer na curva da função de oferta, um preço mais alto significa uma maior quantidade vendida e um maior excedente do produtor. Considere primeiro um exemplo em que as funções de oferta e demanda são simples o suficiente para que os cálculos possam ser feitos à mão.

Exemplo 7.8.1. Excedente do produtor com funções lineares.

Estou tentando vender widgets e determinei que as funções de oferta e demanda sejam:

Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio. Encontre os excedentes do produtor e do consumidor quando as camisas forem vendidas ao preço de equilíbrio. Se os produtores formarem um cartel, encontre o preço que maximiza o excedente do produtor.

: Ao definir o preço de oferta e o preço de demanda iguais um ao outro, encontramos uma quantidade de equilíbrio de 34 e um preço de equilíbrio de 38. As fórmulas para os excedentes do consumidor e do produtor tornam-se:

Para avaliar as integrais, podemos notar que cada um é um triângulo de base 34. Um tem altura de 34 e o outro tem uma altura de 68. Usando a geometria, o excedente do consumidor é $ 1.156 e o ​​excedente do produtor é $ 578.

Para encontrar o excedente máximo do produtor, precisamos transformar o ponto final em uma variável. Se os produtores atuam como cartel

Podemos encontrar o máximo disso tomando sua derivada e definindo-a igual a 0. O máximo ocorre quando (x = frac <102> <5> = 20,4 text <.> ) Nesse ponto, o excedente do produtor é $ 1.040,40

Agora tentamos um exemplo em que precisamos de outras técnicas para avaliar as integrais.

Exemplo 7.8.2. Excedente do produtor com integração numérica.

Uma loja que tenta vender camisetas no campus determinou que as funções de oferta e demanda sejam:

Encontre o preço e a quantidade de equilíbrio. Encontre os excedentes do produtor e do consumidor quando as camisas forem vendidas ao preço de equilíbrio.

: Carregamos as funções de preço de oferta e demanda no Excel e usamos a Busca de Objetivo para encontrar um preço de equilíbrio. Arredondando para a unidade mais próxima para quantidade e centavos para preço, temos um preço de equilíbrio de $ 10,45 para uma quantidade de 222 camisas.

Em seguida, substituímos esses valores nas equações do excedente do consumidor e do produtor.

Para avaliar essas integrais, usamos uma aproximação de soma de Riemann, como aquela encontrada na planilha de exemplo, ou usamos Wolfram Alpha. Em ambos os casos, arredondado para o dólar mais próximo, temos um excedente do consumidor de $ 372 e um excedente do produtor de $ 191.

A soma do excedente do consumidor e do excedente do produtor é chamada de. Ao observarmos o excedente dos consumidores, presumimos que as vendas eram determinadas pela oferta e o ponto preço-quantidade estava na curva de oferta. Da mesma forma, ao observar o excedente dos produtores, presumimos que o preço é definido pela demanda e o ponto preço-quantidade estava na curva de demanda. Se ambos os lados são compostos de muitos indivíduos agindo de forma independente, o ponto preço-quantidade é o ponto de equilíbrio, que está em ambas as curvas. Vender nesse ponto também maximiza o ganho social total.

Se, entretanto, tanto os produtores quanto os consumidores podem se organizar e atuar como uma unidade, eles podem formar um cartel e limitar a quantidade vendida. Se os produtores formarem um cartel, eles podem diminuir a produção e aumentar o preço.

Como podemos ver na foto, isso sempre diminui o ganho social total. No entanto, para alguma redução da quantidade, o excedente dos produtores é aumentado. Na equação para o excedente do produtor, o preço (p_s ) é (demanda função (q_s) ) em vez de (oferta função (q_s) texto <.> ) Se a quantidade cair muito, o produtor o excedente também diminuirá.

Exemplo 7.8.3. Perda de ganho social de computação.

Uma loja que tenta vender camisetas no campus determinou que as funções de oferta e demanda sejam:

O dono da loja detém o monopólio do campus e decide limitar a quantidade vendida a 200 camisas e cobrar o que o mercado arcar. Encontre o preço, o excedente do produtor e os excedentes do consumidor. Encontre esses números se o proprietário decidir limitar as vendas a 50. Quantas camisas o proprietário deve vender a que preço para maximizar o excedente do produtor? Se o excedente do produtor for maximizado, quanto o ganho social total será reduzido?

: As fórmulas envolvidas para oferta e demanda são as mesmas que usamos no exemplo 2. Com uma ligeira modificação se a planilha desse exemplo, podemos configurá-la para calcular as somas de Riemann aproximando os excedentes. Em particular, usamos a função de demanda para encontrar a altura do excedente do produtor. (Veja célula D7.)

Se quisermos vender apenas 200 camisetas, podemos aumentar o preço de $ 10,45 para $ 10,50. O excedente do produtor sobe de $ 191 para $ 199. No entanto, o excedente do consumidor cai de $ 372 para $ 362.

Se quisermos vender apenas 50 camisetas, podemos aumentar o preço de $ 10,45 para $ 11,92. O excedente do produtor cai de $ 191 para $ 174. O excedente do consumidor cai de $ 372 para $ 230.

Podemos usar o solver para maximizar o excedente do produtor, variando a quantidade. Uma quantidade de 140 maximiza o excedente do produtor em $ 210, mas faz com que o ganho social total caia de $ 563 para $ 537.

Da mesma forma, se os consumidores formarem um cartel, eles podem reduzir artificialmente a demanda. Uma vez que eles pagarão o preço de fornecimento, o ganho social total será reduzido, mas o excedente dos consumidores pode ser aumentado. Nesse caso, o excedente do consumidor é o integrante da diferença entre a função de demanda e o preço de oferta da quantidade que será vendida.

No exemplo que acabamos de ver, as curvas de oferta e demanda têm uma pequena inclinação, de modo que o mercado é bastante elástico tanto do ponto de vista dos produtores quanto dos consumidores. Nesse caso, há menos incentivos para formar um cartel. Em outros mercados, como gás e petróleo, onde o mercado é mais inelástico, há mais incentivos para se envolver em práticas monopolísticas.

Uma questão que surge na economia analisa a equidade da renda ou a distribuição da riqueza em um país. Nas teorias econômicas padrão, muito ou pouco patrimônio líquido indica falta de oportunidade e é um obstáculo ao crescimento. No entanto, antes de podermos abordar as vantagens ou desvantagens de um nível de desigualdade, precisamos ser capazes de quantificar o nível de equidade ou desigualdade. O método padrão é usar o e o.

A curva de Lorenz é definida por uma função (L (x) text <,> ) com (0 le x le 1 text <,> ) que mede a proporção de algo que é mantido pela parte inferior (x ) proporção da população. Assim, se (L (0,2) =. 1 text <,> ) para a função de Lorenz para a renda em um país, os 20% mais pobres da população ganham 10% da renda do país. Visto que, segundo as definições usuais, uma pessoa não pode ter renda negativa, as funções de Lorenz são não negativas e crescentes. Uma vez que as funções de Lorenz são medidas da parte inferior, também temos (L (x) le x ) para todos (x text <.> )

Podemos fazer mais algumas observações. A população como um todo tem toda a renda da população. Um conjunto vazio da população não tem nada da renda da população. Qualquer segmento inferior terá renda não negativa. Nas fórmulas, essas observações tornam-se (L (1) = 1 text <,> ) (L (0) = 0 text <,> ) e (L (x) ge 0 text <,> ) para todos os (x text <,> ) respectivamente.

Se tivéssemos equidade perfeita, nossa função de Lorenz seria (L (x) = x text <.> ) Qualquer curva de Lorenz que encontrarmos para uma população real estará abaixo desta curva. O índice de Gini (ou coeficiente de Gini) mede a porcentagem em que uma curva de Lorenz real está abaixo da curva ideal.

Na prática, esse número é frequentemente multiplicado por 100, relatando a porcentagem (0 a 100) em vez da proporção (0 a 1) da área sob a função ideal e acima da função medida.

Exemplo 7.8.4. Índice de Gini com fórmula para distribuição de renda.

A curva de Lorenz para a renda em um determinado país é dada por (L (x) =. 8x ^ 3 + .2x text <.> ) Qual proporção da renda é ganha pela metade inferior da população? Encontre o índice Gini.

: Para encontrar a proporção ganha pela metade inferior da população, substituímos 0,5 na equação.

Assim, os 50% mais pobres da população ganham 20% da renda total. Para calcular o índice Gini, calculamos:

Portanto, o índice de Gini neste país hipotético é 40. Para colocar esse número em contexto, o índice de Gini relatado para os Estados Unidos em 2009 foi de 46,8.

Na prática, o índice de Gini é uma aplicação em que uma aproximação numérica de uma integral é o método mais provável de ser usado. É improvável que obtenhamos uma fórmula para distribuição de renda. Em vez disso, é provável que encontremos pontos de dados. Uma vez que não existe um bom modelo de como a receita será distribuída, podemos simplesmente conectar os pontos com segmentos de linha e encontrar a área usando a fórmula da área para um trapézio.

Exemplo 7.8.5. Índice de Gini com gráfico de distribuição de renda.

Temos os seguintes dados do censo sobre distribuição de renda nos Estados Unidos em 2008. Calcule o índice de Gini.

: Lembramos que a área de um trapézio é (largura) (altura média). Colocamos os dados em uma planilha.

Em seguida, avaliamos as fórmulas.

Em porcentagens, o índice de Gini é aproximado de 45.

Exercícios Exercícios: Aplicações Empresariais dos Problemas Integrais

Para os exercícios 1-6, suponha que temos um mercado livre e que os bens são vendidos em equilíbrio de mercado. Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total.

(SupplyPrice (q) = 50 + q / 2 ) e (DemandPrice (q) = 150-q / 5 text <.> )

As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ( left (< frac <1000> <7>, frac <850> <7>> right) text <.> )

(SupplyPrice (q) = ln (q + 10) ) e (DemandPrice (q) = 100-q text <.> )

(SupplyPrice (q) = 50 (1- (0,99) ^ q) ) e (DemandPrice (q) = 100 (0,99) ^ q text <.> )

As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((109,31, 33,33) text <.> )

(SupplyPrice (q) = 50 (1- (0,95) ^) e (DemandPrice (q) = 150 (0,95) ^ text <.> )

As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((37.958, 72.042) text <.> )

A integral precisa ser feita em duas partes com o intervalo em 10.

Suponha que o Preço da Oferta (q) = 30 + qe o Preço da Demanda (q) = 170-q.

Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total no equilíbrio do mercado.

Se os produtores podem formar um cartel e restringir a quantidade disponível a 50, vendendo ao preço de oferta por 50, quais são o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total?

Encontre o preço em que um cartel de produtores irá maximizar o excedente do produtor. Encontre o excedente do produtor a esse preço.

As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((70, 100) text <.> )

A fórmula para o excedente do produtor em x é

Notamos que x é uma constante para nossa integração. Assim, obtemos

O excedente máximo do produtor é 3266,67, obtido quando q é 46,67

Assuma o Preço da Oferta (q) = 10 + q / 2 e o Preço da Demanda (q) = 110-q / 3.

Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total no equilíbrio do mercado.

Se os produtores podem formar um cartel e restringir a quantidade disponível a 400, vendendo ao preço de oferta por 400, quais são o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total?

Encontre o preço em que um cartel de produtores irá maximizar o excedente do produtor. Encontre o excedente do produtor a esse preço.

Suponha que (SupplyPrice (q) = 10 + q ^ 2 ) e (DemandPrice (q) = 210-q ^ 2 text <.> )

Encontre o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total no equilíbrio do mercado.

Se os produtores podem formar um cartel e restringir a quantidade disponível a 5, vendendo ao preço de demanda por 5 (por um preço de 185), quais são o excedente do consumidor, o excedente do produtor e o ganho social total?

Encontre o preço em que um cartel de produtores irá maximizar o excedente do produtor. Encontre o excedente do produtor a esse preço.

As duas curvas se cruzam no ponto de equilíbrio do mercado, ((10, 110) text <.> )

A fórmula para o excedente do produtor em (x ) e é

Não sabemos que x é uma constante para nossa integração. Assim, obtemos

Para encontrar o excedente máximo do produtor, pegamos a derivada da função acima e vemos que é zero em ( sqrt <50> text <.> ) O excedente máximo do produtor é 942,81, obtido quando q é ( sqrt <50> )

Considere a curva de Lorenz (L (x) = 0,2x + 0,8x ^ 2 text <.> ) Encontre o índice de Gini.

Considere a curva de Lorenz (L (x) =. 03x + 0,7x ^ 4 text <.> ) Encontre o índice de Gini.

Você pesquisa um país e encontra as seguintes informações sobre participação nos lucros:

Calcule uma aproximação do índice de Gini.

Você pesquisa um país e encontra as seguintes informações sobre participação nos lucros:

Calcule uma aproximação do índice de Gini.

Aproximamos a área usando linhas retas entre o ponto dado e usando trapézios para a área da seção. Precisamos então multiplicar por 2, já que queremos a porcentagem abaixo da linha diagonal, e multiplicar por 100 para ir de percentil para porcentagens.


Integral duplo com um círculo conectando os dois

Você está certo, não seria apropriado usá-lo para a integral de superfície no Teorema de Stokes, se realmente significa uma superfície fechada. Talvez seja apenas uma integral de superfície genérica, então. Ou um erro de digitação.

Tenho uma vaga lembrança de ter visto esse símbolo, mas já faz muito tempo. Quantos anos tem o livro que você está vendo?

Aha, eu vi isso mais recentemente. está disponível em meu software MathType, junto com um símbolo semelhante para uma integral tripla.

Também encontrei uma página da Wikipedia:

que o lista simplesmente como "integral de superfície fechada" e a versão tripla integral como "integral de volume fechada". Mas isso levanta outra questão: qual é a diferença entre uma "integral de volume fechada" e uma "integral de volume fechada"?


Matemática: Aplicações de Integrais Múltiplos

Math 241 C1H - Mais Aplicações de Integrais Múltiplos
Exemplo I: Calculando a massa de algo com densidade variável.
Suponha que você tenha um cone sólido e deseja determinar sua massa. No entanto, o material em
a ponta do cone é duas vezes mais densa que o material da base. Digamos que a densidade do
o material na base é _, o cone tem raio r0 e altura h. Qual é a massa total?
Digamos que a base do cone esteja no plano z = 0 e a ponta do cone esteja em z = h. Também,
assuma que a densidade _ (x, y, z) do cone varia linearmente com z. Então, temos _ (x, y, 0) = _
e _ (x, y, h) = 2_. Desse modo,
_ (x, y, z) = _
_
1 +
z
h
_
.
Então, a massa total é
M =
ZZZ
C
_ (x, y, z) dV.
Mudamos para coordenadas cilíndricas. Integramos de 0 _ z _ h, 0 _ _ _ 2_ e
0 _ r _ r0
h∧z
h. Isto dá
M =
Z h
0
Z 2_
0
Z r0 (h∧z) / h
0
_
_
1 +
z
h
_
r dr d_ dz
=
Z h
0
Z 2_
0
_r2
0/2
_
h ∧ z
h
_2 _
h + z
h
_
d_ dz
=
__r2
0
h3
Z h
0
(h2 ∧ z2) (h ∧ z) dz
=
__r2
0
h3
Z h
0

h3 ∧ hz2 ∧ zh2 + z3_
dz
=
__r2
0
h3
_
h3z ∧ hz3/3 ∧ z2h2/2 + z4/4
_h
0
=
__r2
0
h3
_
h4 ∧ h4/3 ∧ h4/2 + h4/4
_
=
5_r2
0h
12
=
_r2
0h
3 ·
5_
4
.
This shows that the average density of the cone is 5_/4.
Example II: Average outcome.
Pick two points at random in the rectangle [0, 1] × [0, 1], say (x1, y1) and (x2, y2). O que é
average length of the line segment between them?
1
2
The length of the line segment between them is
p
(x2 ∧ x1)2 + (y2 ∧ y1)2.
To compute the average length, we must average over all choices of x1, x2, y1 and y2. Isto dá
us the integral Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
p
(x2 ∧ x1)2 + (y2 ∧ y1)2 dx1 dy1 dx2 dy2.
It is possible to show that the integral above is equal to
1
15
h
2 + p2 + 5 ln(1 + p2)
eu
_ 0.5214.
Hence, the average length of the line segment is just over 1/2.


Setting up double integrals

This is a recap of how we set up double integrals, using the example of finding the volume under z = 2 y between the cylinders x 2 + y 2 = 1 and x 2 + y 2 = 4. First, recall that our steps are the following:

  1. Sketch the region,
  2. Consider one variable as fixed at successive values across the region, and determine the range of values it can assume when doing this -- this gives the outer limits in the double integral, which must be constants,
  3. At each of the possible values for the outer variable, determine the corresponding values for the other, inner variable.

Let's consider this for the example given above, recapped here for your viewing pleasure:
Find the volume under z = 2 y between the cylinders x 2 + y 2 = 1 and x 2 + y 2 = 4.

We're going to approach this two ways, setting it up both in rectangular and polar coordinates. We'll illustrate the steps given above with a figure, too.

  1. First, sketch the region. This is shown in the figure to the right.
  2. Consider one variable as fixed at successive values across the region, and determine the range of values it can assume. We want to do this twice, once for rectangular and once for polar coordinates:
    Rectangular: let's fix x. Then, from the region shown, we can see that we must have
    0 <= x <= 2.
    Polar: in this case, let's fix theta. Then the region is defined in the first quadrant, which means that we must have
    0 <= theta <= pi/2.
    So, at this point, we know that we have (for rectangular and polar coordinates, respectively)

  1. Every other frame shows us picking a different value of the outer variable (x ou theta) and drawing an arrow showing the corresponding range of the inner variable (y ou r).
  2. Then, the following frame draws in the actual slice of the volume (sort of it really needs some more width to be a volume slice) that we're adding up for that value of the outer variable.
  3. For the rectangular coordinates, note that the limits on the inner variable (y) mudança no x=1, from sqrt(1-x 2 ) <= x <= sqrt(4-x 2 ) to 0 <= x <= sqrt(4-x 2 ).
  4. Finally, notice how the beginning and ending arrows tell us the limits on the outer variable, x ou theta.

Be sure that you can see for both the rectangular and polar coordinate formulation how the arrows at successive values of the outer variables tell you the range on the inner variables, and how we get from there to the final integrals:


Assista o vídeo: INTEGRAL POR PARTES - Cálculo 1 #43 Agora ficou fácil! (Dezembro 2021).