Artigos

3.5: Derivadas de funções trigonométricas - Matemática


Um dos tipos de movimento mais importantes na física é o movimento harmônico simples, que está associado a sistemas como um objeto com massa oscilando em uma mola. Ser capaz de calcular as derivadas das funções seno e cosseno nos permitirá encontrar a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples.

Derivados das funções seno e cosseno

Começamos nossa exploração da derivada para a função seno usando a fórmula para fazer uma estimativa razoável de sua derivada. Lembre-se de que para uma função (f (x), )

[f ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) −f (x)} {h}. ]

Consequentemente, para valores de (h ) muito próximos de 0,

[f ′ (x) ≈ dfrac {f (x + h) −f (x)} {h}. ]

Vemos que usando (h = 0,01 ),

[ dfrac {d} {dx} ( sin x) ≈ dfrac { sin (x + 0,01) - sin x} {0,01} ]

Pela configuração

[D (x) = dfrac { sin (x + 0,01) - sin x} {0,01} ]

e usando um recurso gráfico, podemos obter um gráfico de uma aproximação da derivada de ( sin x ) (Figura).

Figura ( PageIndex {1} ): O gráfico da função (D (x) ) se parece muito com uma curva cosseno.

Após a inspeção, o gráfico de (D (x) ) parece estar muito próximo do gráfico da função cosseno. Na verdade, vamos mostrar que

[ dfrac {d} {dx} ( sin x) = cos x. ]

Se seguirmos os mesmos passos para aproximar a derivada da função cosseno, descobriríamos que

[ dfrac {d} {dx} ( cos x) = - sin x. ]

As derivadas de sen x e cos x

A derivada da função seno é o cosseno e a derivada da função cosseno é o seno negativo.

[ dfrac {d} {dx} ( sin x) = cos x ]

[ dfrac {d} {dx} ( cos x) = - sin x ]

Prova

Porque as provas para ( dfrac {d} {dx} ( sin x) = cos x ) e ( dfrac {d} {dx} ( cos x) = - sin x ) usam similar técnicas, fornecemos apenas a prova para ( dfrac {d} {dx} ( sin x) = cos x. ) Antes de começar, lembre-se de dois limites trigonométricos importantes que aprendemos na Introdução aos Limites:

( lim_ {h → 0} dfrac {sinh} {h} = 1 ) e ( lim_ {h → 0} dfrac {coshh − 1} {h} = 0 ).

Os gráficos de (y = dfrac {(sinh)} {h} ) e (y = dfrac {(cosh − 1)} {h} ) são mostrados na Figura.

Figura ( PageIndex {2} ): Esses gráficos mostram dois limites importantes necessários para estabelecer as fórmulas derivadas para as funções seno e cosseno.

Também lembramos a seguinte identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos:

[ sin (x + h) = sin x cosh + cos x sinh. ]

Agora que reunimos todas as equações e identidades necessárias, procedemos com a prova.

( dfrac {d} {dx} sin x = lim_ {h → 0} dfrac { sin (x + h) - sin x} {h} )Aplique a definição da derivada.
(= lim_ {h → 0} dfrac { sin xcosh + cos xsinh− sin x} {h} )Use identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos.
(= lim_ {h → 0} dfrac {( sin xcosh− sin x} {h} + dfrac { cos xsinh} {h}) )Reagrupar.
(= limh → 0 ( sin x ( dfrac { cos xh − 1} {h}) + dfrac { cos xsinh} {h})) )Fatore ( sin x ) e ( cos x ).
(= sin x (0) + cos x (1) )Aplicar fórmulas de limite trigonométrico.
(= cos x )Simplificar.

A figura mostra a relação entre o gráfico de (f (x) = sin x ) e sua derivada (f ′ (x) = cos x ). Observe que nos pontos onde (f (x) = sin x ) tem uma tangente horizontal, sua derivada (f ′ (x) = cos x ) assume o valor zero. Também vemos que onde f ((x) = sin x ) está aumentando, (f ′ (x) = cos x> 0 ) e onde (f (x) = sin x ) é diminuindo, (f ′ (x) = cos x <0. )

Figura ( PageIndex {3} ): Onde (f (x) ) tem um máximo ou um mínimo, (f '(x) = 0 ) ou seja, (f' (x) = 0 ) onde (f (x) ) tem uma tangente horizontal. Esses pontos são anotados com pontos nos gráficos

Exemplo ( PageIndex {1} ): Diferenciando uma função contendo sin x

Encontre a derivada de (f (x) = 5x ^ 3 sin x ).

Solução

Usando a regra do produto, temos

(f '(x) = dfrac {d} {dx} (5x ^ 3) ⋅ sin x + dfrac {d} {dx} ( sin x) ⋅5x ^ 3 = 15x ^ 2⋅ sin x + cos x⋅5x ^ 3. )

Depois de simplificar, obtemos

(f ′ (x) = 15x ^ 2 sin x + 5x ^ 3 cos x. )

Exercício ( PageIndex {1} )

Encontre a derivada de [f (x) = sin x cos x. ]

Dica

Não se esqueça de usar a regra do produto.

Responder

[f ′ (x) = cos ^ 2x− sin ^ 2x ]

Exemplo ( PageIndex {2} ): Encontrando a derivada de uma função contendo cos x

Encontre a derivada de (g (x) = dfrac { cos x} {4x ^ 2} ).

Solução

Ao aplicar a regra do quociente, temos

[g ′ (x) = dfrac {(- sin x) 4x ^ 2−8x ( cos x)} {(4x ^ 2) ^ 2}. ]

Simplificando, obtemos

[g ′ (x) = dfrac {−4x ^ 2 sin x − 8x cos x} {16x ^ 4} = dfrac {−x sin x − 2 cos x} {4x ^ 3}. ]

Exercício ( PageIndex {2} )

Encontre a derivada de [f (x) = dfrac {x} { cos x}. ]

Dica

Use a regra do quociente.

Responder

[ dfrac { cos x + x sin x} { cos ^ 2x} ]

Exemplo ( PageIndex {3} ): Um aplicativo para velocidade

Uma partícula se move ao longo de um eixo de coordenadas de tal forma que sua posição no tempo (t ) é dada por (s (t) = 2sint − t ) para (0≤t≤2π. ) Em que momentos a partícula está em repouso?

Solução

Para determinar quando a partícula está em repouso, defina (s ′ (t) = v (t) = 0. ) Comece encontrando (s ′ (t). ) Obtemos

[s ′ (t) = 2 cos t − 1, ]

então devemos resolver

[2 cos t − 1 = 0 ) para (0≤t≤2π. ]

As soluções para esta equação são (t = dfrac {π} {3} ) e (t = dfrac {5π} {3} ). Assim, a partícula está em repouso às vezes (t = dfrac {π} {3} ) e (t = dfrac {5π} {3} ). 6)

Exercício ( PageIndex {3} )

Uma partícula se move ao longo de um eixo de coordenadas. Sua posição no tempo (t ) é dada por (s (t) = sqrt {3} t + 2custo ) para (0≤t≤2π. ) Em que horas a partícula está em repouso?

Dica

Use o exemplo anterior como guia.

Responder

[t = dfrac {π} {3}, t = dfrac {2π} {3} ]

Derivados de outras funções trigonométricas

Como as quatro funções trigonométricas restantes podem ser expressas como quocientes envolvendo seno, cosseno ou ambos, podemos usar a regra de quociente para encontrar fórmulas para suas derivadas.

Exemplo ( PageIndex {4} ): A derivada da função tangente

Encontre a derivada de (f (x) = tan x. )

Solução

Comece expressando ( tan x ) como o quociente de ( sin x ) e ( cos x ):

(f (x) = tan x = dfrac { sin x} { cos x} ).

Agora aplique a regra do quociente para obter

(f ′ (x) = dfrac { cos x cos x - (- sin x) sin x} {( cos x) ^ 2} ).

Simplificando, obtemos

[f ′ (x) = dfrac { cos ^ 2x + sin ^ 2x} { cos ^ 2x}. ]

Reconhecendo que ( cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1, ) pelo teorema de Pitágoras, agora temos

[f ′ (x) = dfrac {1} { cos ^ 2x} ]

Finalmente, use a identidade (sec x = dfrac {1} { cos x} ) para obter

(f ′ (x) = text {sec} ^ 2x ).

Exercício ( PageIndex {4} )

Encontre a derivada de [f (x) = cot x. ]

Dica

Reescreva ( cot x ) como ( dfrac { cos x} { sin x} ) e use a regra de quociente.

Responder

[f ′ (x) = - csc ^ 2x ]

As derivadas das funções trigonométricas restantes podem ser obtidas usando técnicas semelhantes. Fornecemos essas fórmulas no teorema a seguir.

Derivados de ( tan x ), ( cot x ), (secx ) e (cscx )

As derivadas das funções trigonométricas restantes são as seguintes:

[ dfrac {d} {dx} ( tan x) = sec ^ 2x ]

[ dfrac {d} {dx} ( cot x) = - csc ^ 2x ]

[ dfrac {d} {dx} (secx) = sec x tan x ]

[ dfrac {d} {dx} (cscx) = - csc x cot x. ]

Exemplo ( PageIndex {5} ): Encontrando a Equação de uma Linha Tangente

Encontre a equação de uma reta tangente ao gráfico de (f (x) = cot x ) em (x = dfrac {π} {4} ).

Solução

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto e uma inclinação nesse ponto. Para encontrar o ponto, calcule

(f ( dfrac {π} {4}) = cot dfrac {π} {4} = 1 ).

Assim, a reta tangente passa pelo ponto (( dfrac {π} {4}, 1) ). Em seguida, encontre a inclinação encontrando a derivada de (f (x) = cot x ) e avaliando-a em ( dfrac {π} {4} ):

(f ′ (x) = - csc ^ 2x ) e (f ′ ( dfrac {π} {4}) = - csc ^ 2 ( dfrac {π} {4}) = - 2 ).

Usando a equação ponto-inclinação da linha, obtemos

(y − 1 = −2 (x− dfrac {π} {4}) )

ou equivalente,

(y = −2x + 1 + dfrac {π} {2} ).

Exemplo ( PageIndex {6} ): Encontrando a derivada de funções trigonométricas

Encontre a derivada de (f (x) = cscx + x tan x. )

Solução

Para encontrar essa derivada, devemos usar a regra da soma e a regra do produto. Usando a regra da soma, encontramos

(f ′ (x) = dfrac {d} {dx} (cscx) + dfrac {d} {dx} (x tan x) ).

No primeiro termo, ( dfrac {d} {dx} (cscx) = - cscx cot x, ) e aplicando a regra do produto ao segundo termo, obtemos

( dfrac {d} {dx} (x tan x) = (1) ( tan x) + (sec ^ 2x) (x) ).

Portanto, temos

(f ′ (x) = - cscx cot x + tan x + xsec ^ 2x ).

Exercício ( PageIndex {5} )

Encontre a derivada de (f (x) = 2 tan x −3 cot x. )

Dica

Use a regra para diferenciar um múltiplo constante e a regra para diferenciar a diferença de duas funções. (F ′ (x) = 2seg ^ 2x + 3csc ^ 2x )

Responder

(f ′ (x) = 2seg ^ 2x + 3csc ^ 2x )

Exercício ( PageIndex {6} )

Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de (f (x) = tan x ) em (x = dfrac {π} {6} ).

Dica

Avalie a derivada em (x = dfrac {π} {6} ).

Responder

( dfrac {4} {3} )

Derivados de ordem superior

As derivadas de ordem superior de ( sin x ) e ( cos x ) seguem um padrão de repetição. Seguindo o padrão, podemos encontrar qualquer derivada de ordem superior de ( sin x ) e ( cos x. )

Exemplo ( PageIndex {7} ): Encontrando derivados de ordem superior de (y = sin x )

Encontre as quatro primeiras derivadas de (y = sin x. )

Solução

Cada etapa da cadeia é direta:

[y = sin x ]

[ dfrac {dy} {dx} = cos x ]

[ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = - sin x ]

[ dfrac {d ^ 3y} {dx ^ 3} = - cos x ]

[ dfrac {d ^ 4y} {dx ^ 4} = sin x ]

Análise

Depois de reconhecer o padrão das derivadas, podemos encontrar qualquer derivada de ordem superior determinando a etapa do padrão a que ela corresponde. Por exemplo, cada quarta derivada de sin x é igual a sin x, então

[ dfrac {d ^ 4} {dx ^ 4} ( sin x) = dfrac {d ^ 8} {dx ^ 8} ( sin x) = dfrac {d ^ {12}} {dx ^ {12}} ( sin x) =… = dfrac {d ^ {4n}} {dx ^ {4n}} ( sin x) = sin x ]

[ dfrac {d ^ 5} {dx ^ 5} ( sin x) = dfrac {d ^ 9} {dx ^ 9} ( sin x) = dfrac {d ^ {13}} {dx ^ {13}} ( sin x) =… = dfrac {d ^ {4n + 1}} {dx ^ {4n + 1}} ( sin x) = cos x. ]

Exercício ( PageIndex {7} )

Para (y = cos x ), encontre ( dfrac {d ^ 4y} {dx ^ 4} ).

Dica

Veja o exemplo anterior.

Responder

( cos x )

Exemplo ( PageIndex {8} ): Usando o padrão para derivados de ordem superior de (y = sin x )

Encontre ( dfrac {d ^ {74}} {dx ^ {74}} ( sin x) ).

Solução

Podemos ver imediatamente que para a 74ª derivada de ( sin x ), (74 = 4 (18) +2 ), então

[ dfrac {d ^ {74}} {dx ^ {74}} ( sin x) = dfrac {d ^ {72 + 2}} {dx ^ {72 + 2}} ( sin x) = dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} ( sin x) = - sin x. ]

Exercício ( PageIndex {8} )

Para (y = sin x ), encontre [ dfrac {d ^ {59}} {dx ^ {59}} ( sin x). ]

Dica

[ dfrac {d ^ {59}} {dx ^ {59}} ( sin x) = dfrac {d ^ {4⋅14 + 3}} {dx ^ {4⋅14 + 3}} ( sin x) ]

Responder

(- cos x )

Exemplo ( PageIndex {9} ): Um aplicativo para aceleração

Uma partícula se move ao longo de um eixo de coordenadas de tal forma que sua posição no tempo (t ) é dada por (s (t) = 2 − sint ). Encontre (v (π / 4) ) e (a (π / 4) ). Compare esses valores e decida se a partícula está acelerando ou desacelerando.

Solução

Primeiro encontre (v (t) = s ′ (t) )

[v (t) = s ′ (t) = - cos t. ]

Desse modo,

(v ( dfrac {π} {4}) = - dfrac {1} { sqrt {2}} ).

Em seguida, encontre (a (t) = v ′ (t) ). Assim, (a (t) = v ′ (t) = sint ) e temos

(a ( dfrac {π} {4}) = dfrac {1} { sqrt {2}} ).

Dado que (v ( dfrac {π} {4}) = - dfrac {1} { sqrt {2}} <0 ) e (a ( dfrac {π} {4}) = dfrac { 1} { sqrt {2}}> 0 ), vemos que a velocidade e a aceleração estão agindo em direções opostas; ou seja, o objeto está sendo acelerado na direção oposta à direção em que está viajando. Conseqüentemente, a partícula está ficando mais lenta.

Exercício ( PageIndex {9} )

Um bloco preso a uma mola está se movendo verticalmente. Sua posição no tempo t é dada por (s (t) = 2sint ). Encontre (v ( dfrac {5π} {6}) ) e (a ( dfrac {5π} {6}) ). Compare esses valores e decida se o bloco está acelerando ou desacelerando.

Dica

Use o Exemplo 17 como guia.

Responder

(v ( dfrac {5π} {6}) = - sqrt {3} <0 ) e (a ( dfrac {5π} {6}) = - 1 <0 ). O bloqueio está se acelerando.

Conceitos chave

  • Podemos encontrar as derivadas de sen xe cos x usando a definição de derivada e as fórmulas limite encontradas anteriormente. Os resultados são

( dfrac {d} {dx} sin x = cos x dfrac {d} {dx} cos x = - sin x ).

  • Com essas duas fórmulas, podemos determinar as derivadas de todas as seis funções trigonométricas básicas.

Equações Chave

  • Derivada da função seno

( dfrac {d} {dx} ( sin x) = cos x )

  • Derivada da função cosseno

( dfrac {d} {dx} ( cos x) = - sin x )

  • Derivada da função tangente

( dfrac {d} {dx} ( tan x) = sec ^ 2x )

  • Derivada da função cotangente

( dfrac {d} {dx} ( cot x) = - csc ^ 2x )

  • Derivada da função secante

( dfrac {d} {dx} (secx) = secx tan x )

  • Derivada da função cossecante

( dfrac {d} {dx} (cscx) = - cscx cot x )

Contribuidores

  • Gilbert Strang (MIT) e Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) com muitos autores contribuintes. Este conteúdo da OpenStax é licenciado com uma licença CC-BY-SA-NC 4.0. Baixe gratuitamente em http://cnx.org.


Derivados de funções trigonométricas

As funções trigonométricas básicas incluem as seguintes funções (6 ): seno ( esquerda ( sin x direita), ) cosseno ( esquerda ( cos x direita), ) tangente ( esquerda ( tan x right), ) cotangente ( left ( cot x right), ) secante ( left ( sec x right) ) e cossecante ( left ( csc x right) ). )

Todas essas funções são contínuas e diferenciáveis ​​em seus domínios. Abaixo, fazemos uma lista de derivados para essas funções.

Derivados de funções trigonométricas básicas

Já derivamos as derivadas de seno e cosseno na página Definição da Derivada. Eles são os seguintes:

Usando a regra do quociente, é fácil obter uma expressão para a derivada da tangente:

A derivada da cotangente pode ser encontrada da mesma maneira. No entanto, isso também pode ser feito usando a regra da cadeia para diferenciar uma função composta:

Da mesma forma, encontramos os derivados de secante e cossecante:

Tabela de derivados de funções trigonométricas

A tabela abaixo resume as derivadas de (6 ) funções trigonométricas básicas:


Derivados das funções seno e cosseno

Começamos nossa exploração da derivada da função seno usando a fórmula para fazer uma estimativa razoável de sua derivada. Lembre-se disso para uma função

.

Consequentemente, para valores de muito perto de 0, . Vemos isso usando ,

Pela configuração e usando um utilitário gráfico, podemos obter um gráfico de uma aproximação da derivada de ((Figura)).

Figura 1. O gráfico da função se parece muito com uma curva cosseno.

Após a inspeção, o gráfico de parece estar muito próximo do gráfico da função cosseno. Na verdade, vamos mostrar que

.

Se seguirmos os mesmos passos para aproximar a derivada da função cosseno, descobriríamos que

.

Os derivados de e

A derivada da função seno é o cosseno e a derivada da função cosseno é o seno negativo.


Prova

Porque as provas para [latex] frac( sin x) = cos x [/ latex] e [latex] frac( cos x) = - sin x [/ latex] usa técnicas semelhantes, fornecemos apenas a prova para [latex] frac( sin x) = cos x [/ latex]. Antes de começar, lembre-se de dois limites trigonométricos importantes que aprendemos na Introdução aos Limites:

Os gráficos de [latex] y = frac < sin h>[/ latex] e [latex] y = frac <( cos h-1)>[/ latex] são mostrados na (Figura).

Figura 2. Esses gráficos mostram dois limites importantes necessários para estabelecer as fórmulas derivadas para as funções seno e cosseno.

Também lembramos a seguinte identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos:

Agora que reunimos todas as equações e identidades necessárias, procedemos com a prova.

(Figura) mostra a relação entre o gráfico de [latex] f (x) = sin x [/ latex] e sua derivada [latex] f ^ < prime> (x) = cos x [/ latex]. Observe que nos pontos onde [latex] f (x) = sin x [/ latex] tem uma tangente horizontal, sua derivada [latex] f ^ < prime> (x) = cos x [/ latex] assume o valor zero. Também vemos que onde [latex] f (x) = sin x [/ latex] está aumentando, [latex] f ^ < prime> (x) = cos x & gt0 [/ latex] e onde [latex] f ( x) = sin x [/ latex] está diminuindo, [latex] f ^ < prime> (x) = cos x & lt0 [/ latex].

Figura 3. Onde [latex] f (x) [/ latex] tem um máximo ou um mínimo, [latex] f ^ < prime> (x) = 0 [/ latex]. Ou seja, [latex] f ^ < prime> (x) = 0 [/ latex] onde [latex] f (x) [/ latex] tem uma tangente horizontal. Esses pontos são anotados com pontos nos gráficos.


Exercícios 4.5

Encontre as derivadas das seguintes funções.

Ex 4.5.1 $ ds sin x cos x $ (resposta)

Ex 4.5.4 $ ds tan x / (1+ sin x) $ (resposta)

Ex 4.5.7 $ ds x ^ 3 sin (23x ^ 2) $ (resposta)

Ex 4.5.8 $ ds sin ^ 2 x + cos ^ 2 x $ (resposta)

Ex 4.5.9 $ ds sin ( cos (6x)) $ (resposta)

Ex 4.5.11 Calcular $ dst ^ 5 cos (6t) $. (responder)

Ex 4.5.13 Encontre todos os pontos no gráfico de $ ds f (x) = sin ^ 2 (x) $ nos quais a reta tangente é horizontal. (responder)

Ex 4.5.14 Encontre todos os pontos no gráfico de $ ds f (x) = 2 sin (x) - sin ^ 2 (x) $ nos quais a linha tangente é horizontal. (responder)

Ex 4.5.15 Encontre uma equação para a reta tangente a $ ds sin ^ 2 (x) $ em $ x = pi / 3 $. (responder)

Ex 4.5.16 Encontre uma equação para a linha tangente a $ ds sec ^ 2 x $ em $ x = pi / 3 $. (responder)

Ex 4.5.17 Encontre uma equação para a reta tangente a $ ds cos ^ 2 x - sin ^ 2 (4x) $ em $ x = pi / 6 $. (responder)

Ex 4.5.18 Encontre os pontos na curva $ ds y = x + 2 cos x $ que têm uma linha tangente horizontal. (responder)

Ex 4.5.19 Seja $ C $ um círculo de raio $ r $. Seja $ A $ um arco em $ C $ subtendendo um ângulo central $ theta $. Seja $ B $ o acorde de $ C $ cujos pontos finais são os pontos finais de $ A $. (Conseqüentemente, $ B $ também subtende $ theta $.) Seja $ s $ o comprimento de $ A $ e seja $ d $ o comprimento de $ B $. Esboce um diagrama da situação e calcule $ ds lim_ < theta para 0 ^ +> s / d $.


Matemática 241: Cálculo e geometria analítica I (4)

Pré-requisitos / co-requisitos do curso: MATH 241.

Descrição do Curso:Desigualdades, funções, gráficos, linhas retas, equações lineares, limites, continuidade, diferenciação, problemas de máximo-mínimo, teorema do valor médio, taxas relacionadas e integrais indefinidos. Quatro horas de aula por semana.
Listado como MATH 2413 no Sistema de numeração de cursos comuns do Texas.

Leitura obrigatória / livro didático: Cálculo: primeiros transcendentais. Sullivan e Miranda, W.H. Freemand and Company

Tarefas / exames principais

Tópicos do curso

  • 2.1 A ideia de limites
  • 2.2 Definições de limites
  • 2.3 Técnicas para Limites de Computação
  • 2.4 Limites infinitos
  • 2.5 Limites no infinito
  • 2.6 Continuidade
  • 2.7 Definições precisas de limites (opcional)
  • 3.1 Apresentando o Derivado
  • 3.2 Regras de Diferenciação
  • 3.3 O Produto e as Regras de Quociente
  • 3.4 Derivadas de funções trigonométricas
  • 3.5 Derivados como taxas de variação
  • 3.6 A Regra da Corrente
  • 3.7 Diferenciação implícita
  • 3.8 Derivadas de funções logarítmicas e exponenciais
  • 3.9 Derivadas de funções trigonométricas inversas
  • 3.10 Taxas Relacionadas

CHPATER 4. Aplicações do Derivado

  • 4.1 Máximos e mínimos
  • 4.2 O que os derivados nos dizem
  • 4.3 Funções Gráficas
  • 4.4 Problemas de Otimização
  • 4.5 Aproximação Linear e Diferenciais
  • 4.6 Teorema do Valor Médio
  • 4.7 Regra de L'Hôpital
  • 4.8 Antiderivados
  • 5.3 Teorema Fundamental do Cálculo (se o tempo permitir)
  • 5.4 Trabalhando com Integrais (se o tempo permitir)
  • 5.5 Regra de Substituição (se o tempo permitir)

CHPATER6. Aplicações de Integração

O ADA de 1990 fornece proteção aos direitos civis para indivíduos com deficiência. Garante oportunidades iguais para “indivíduos qualificados” com deficiência em todas as instalações públicas, programas educacionais, atividades, serviços e benefícios. A ADA defende e mantém padrões de conformidade para garantir que as políticas, procedimentos e práticas das instituições de ensino superior não sejam discriminatórias. Os alunos que precisam de acomodações acadêmicas devem entrar em contato com o Office of Disability Services em 713-313-7691


Lição 3-5: Derivadas de funções trigonométricas - Apresentação PPT do PowerPoint

PowerShow.com é um site líder de compartilhamento de apresentações / slides. Quer seu aplicativo seja comercial, como fazer, educação, medicina, escola, igreja, vendas, marketing, treinamento online ou apenas para diversão, o PowerShow.com é um ótimo recurso. E, o melhor de tudo, muitos de seus recursos interessantes são gratuitos e fáceis de usar.

Você pode usar o PowerShow.com para localizar e baixar exemplos de apresentações de PowerPoint online sobre praticamente qualquer tópico que você possa imaginar, para que possa aprender como melhorar seus próprios slides e apresentações gratuitamente. Ou use-o para encontrar e baixar apresentações de PowerPoint ppt de instruções de alta qualidade com slides ilustrados ou animados que irão ensiná-lo a fazer algo novo, também gratuitamente. Ou use-o para carregar seus próprios slides do PowerPoint para que você possa compartilhá-los com seus professores, turmas, alunos, chefes, funcionários, clientes, investidores em potencial ou o mundo. Ou use-o para criar apresentações de slides de fotos muito legais - com transições 2D e 3D, animação e sua escolha de música - que você pode compartilhar com seus amigos do Facebook ou círculos do Google+. Isso tudo é grátis também!

Por uma pequena taxa, você pode obter a melhor privacidade online do setor ou promover publicamente suas apresentações e apresentações de slides com as melhores classificações. Mas, fora isso, é grátis. Nós até converteremos suas apresentações e apresentações de slides no formato Flash universal com toda sua glória multimídia original, incluindo animação, efeitos de transição 2D e 3D, música ou outro áudio embutido, ou até mesmo vídeo embutido em slides. Tudo de graça. A maioria das apresentações e slideshows no PowerShow.com é gratuita para visualização, muitos até são gratuitos para download. (Você pode escolher se deseja permitir que as pessoas baixem suas apresentações originais do PowerPoint e slideshows de fotos mediante o pagamento de uma taxa ou de graça ou não.) Visite PowerShow.com hoje - GRATUITAMENTE. Existe realmente algo para todos!

apresentações gratuitas. Ou use-o para encontrar e baixar apresentações de PowerPoint ppt de instruções de alta qualidade com slides ilustrados ou animados que irão ensiná-lo como fazer algo novo, também gratuitamente. Ou use-o para carregar seus próprios slides do PowerPoint para que você possa compartilhá-los com seus professores, turmas, alunos, chefes, funcionários, clientes, investidores em potencial ou o mundo. Ou use-o para criar apresentações de slides de fotos muito legais - com transições 2D e 3D, animação e sua escolha de música - que você pode compartilhar com seus amigos do Facebook ou círculos do Google+. Isso tudo é grátis também!


3.5: Derivadas de funções trigonométricas - Matemática

p gG ? % 6 V v12J, # 2 l # 2 # 2 # 2, $ 2 lddx5 R + endstream endobj 5 0 obj> endobj 6 0 obj> endobj 7 0 obj > / Font >>> / BBox [0 0 62.061 31.978] / Matrix [1.1601 0 0 2.2515 0 0] / Filter / FlateDecode / Length 236 >> stream x u J 1 @ L & $ [ ڽ- [ > R n ! ޼ P D ۚ ` ` p˜3L ֤ ) ޚ 5 OCCW 2r wk - Ԫ 0 0 ۳

t _ax y sp Ha R q dto > f W K I +% gu t 2 < v - E b feJ ) ק k "] = Ĩ RY46 iF DRgo endstream endobj 8 0 obj> endobj 9 0 obj> endobj 10 0 obj> endobj 11 0 obj> endobj 12 0 obj> endobj 13 0 obj> endobj 14 0 obj> endobj 15 0 obj [16 0 R] endobj 16 0 obj> endobj 17 0 obj> endobj 18 0 obj> endobj 19 0 obj> / Font >>> / BBox [0 0 60.059 31.978] / Matrix [1.1988 0 0 2.2515 0 0] / Filtro / FlateDecode / Comprimento 236 >> stream x u = k 1 w d A [ d * m $ = + 03i m S U` T b iw | ǰ a ^ ' % ω v8 % ߠ . B tJX Ft > / Font >>> / BBox [0 0 62,061 31,978] / Matrix [1.1601 0 0 2,2515 0 0] / Filter / FlateDecode / Length 238 >> stream x u ? K 1 w ƻ $ !! t ) Ґ! C b = Y E f 8 ^ ! Y ` I S 5z # Wn k ֬ [UE

> / Fonte >>> / BBox [0 0 61,06 31,978] / Matrix [1,1792 0 0 2,2515 0 0] / Filtro / FlateDecode / Comprimento 238 >> stream x u ? K 1 w ƻ ʓ CJ J fʐ

( w "*" _ * endstream endobj 28 0 obj> / Font >>> / BBox [0 0 83.082 33.977] / Matrix [0.86662 0 0 2.1191 0 0] / Filtro / FlateDecode / Length 226 >> stream x u J @ y $ ig @> / Font >>> / BBox [0 0 85.084 31.978] / Matrix [0.84623 0 0 2.2515 0 0] / Filter / FlateDecode / Length 229 >> stream x > = k 0 |: K ҡ F [ h 4t WN C i > Gb ꅭ ǯ z3 q * ) ' | | O4 me # 4 z) 0 * Rd @ G $ Y ' ƶ ٵ g + ܜ 7, V Zw <& ZC / R h $ " p / T Uv | ^ @ +) gY ) $ & 0 > endobj 37 0 obj > stream x WMO 0 a ߶ U i C ( R 6 ( > ݐ% - Ms ^ ? gˇ T l 'u ٌۛ


Cálculo transcendental precoce: cálculo diferencial e multivariável para ciências sociais

A seguir, veremos a derivada da função seno. A fim de provar a fórmula derivada do seno, lembramos dois cálculos de limite anteriores:

e a fórmula de ângulo duplo

Teorema 4.53. Derivada da função seno.
Prova.

Seja (f (x) = sin x text <.> ) Usando a definição de derivada, temos:

O gráfico abaixo mostra o gráfico de ( sin x ) (em azul) e a linha tangente associada (em cinza) em cada ponto do gráfico. Em cada ponto, o gráfico da derivada é traçado em vermelho. Arrastando o ponto vermelho, investigue a derivada (( sin x) ') e observe que (( sin x)' = cos x text <:> )

Uma fórmula para a derivada do função cosseno pode ser encontrado de forma semelhante:

Usando a Regra do Quociente, obtemos fórmulas para as razões trigonométricas restantes. Para resumir, aqui estão as derivadas das seis funções trigonométricas:

Teorema 4.54. Derivados de funções trigonométricas básicas.

Exemplo 4.55. Derivada do produto de funções trigonométricas.

Encontre a derivada de (f (x) = sin x tan x text <.> )

Usando a regra do produto, obtemos

Exemplo 4.56. Regra da cadeia com funções trigonométricas.

Diferencie cada uma das seguintes funções:

Usamos a regra da cadeia e a regra geral de potência para encontrar

Aplicamos a Regra da Cadeia mais uma vez usando as derivadas das funções trigonométricas:

Primeiro reescrevemos (k (x) ) como (k (x) = sin (( cos x) ^ <2>) text <.> ) Então

Exemplo 4.57. Linha tangente.

Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função ( ds f (x) = tan 2x ) no ponto ( left ( frac < pi> <8>, 1 right) texto <.> )

A inclinação da reta tangente em qualquer ponto do gráfico de (f ) é dada por

Em particular, a inclinação da linha tangente no ponto ( left ( frac < pi> <8>, 1 right) ) é dada por


Derivados trigonométricos

Chegando à questão de quais são as derivadas trigonométricas e quais são elas, as derivadas das funções trigonométricas envolvem seis números. Eles são cossecante (cscx), secante (secx), cotangente (cotx), tangente (tanx), cosseno (cosx) e seno (senx). Essas funções podem ser submetidas ao processo de diferenciação e suas derivadas correspondentes podem ser encontradas. São conhecidas como funções contínuas. É possível encontrar a derivada da função trigonométrica por meio do processo de diferenciação. Com relação à taxa na qual uma variável pode ser alterada, também é referido como o processo de diferenciação.

É possível mostrar a partir dos primeiros princípios que as derivadas das funções tangente, cosseno e seno são dadas como d (tanx) / dx = sec2x, d (cosx) / dx = senx e d (senx) / dx = cosx. A derivada de uma função trigonométrica pode ser encontrada usando álgebra. A qualquer dado valor de xe a partir da expressão geral da inclinação de uma curva, é possível para um aluno diferenciar uma função. Isso permitirá encontrar a derivada da função particular em questão.

O aluno deve saber que existem derivados de funções trigonométricas circulares. Ele pode ser avaliado pelo uso de cos (x) e sin (x). Aqui, uma regra de quociente é aplicada a fim de diferenciar a função. A expressão que resulta desse processo, leva às derivadas correspondentes da trigonometria.


Derivados de funções trigonométricas

Os derivados de funções trigonométricas têm aplicações que vão desde a eletrônica até a programação de computadores e modelagem de diferentes funções cíclicas.

f ′ (x) = lim ⁡ h → 0 f (x + h) - f (x) h. f & # x27 (x) = lim_ frac . f ′ (x) = h → 0 lim h f (x + h) - f (x).

f ′ (x) = lim ⁡ h → 0 sin ⁡ (x + h) - sen ⁡ x h. f & # x27 (x) = lim_ frac < sin (x + h) - sin x> . f ′ (x) = h → 0 lim h sin (x + h) - sen x.

Usando a identidade de adição, podemos expandir

Conectar isso ao nosso limite dá

f ′ (x) = lim ⁡ h → 0 sin ⁡ x cos ⁡ h + sin ⁡ h cos ⁡ x - sen ⁡ xh = lim ⁡ h → 0 sin ⁡ x (cos ⁡ h - 1) + sin ⁡ h cos ⁡ xh. começar f & # x27 (x) & amp = lim_ frac < sin x cos h + sin h cos x- sin x> & amp = lim_ frac < sin x ( cos h - 1) + sin h cos x>. fim f ′ (x) = h → 0 lim h sen x cos h + sen h cos x - sen x = h → 0 lim h sen x (cos h - 1) + sen h cos x.

Agora podemos separar isso em dois limites:

f ′ (x) = sin ⁡ x × lim ⁡ h → 0 cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ x × lim ⁡ h → 0 sen ⁡ h h. f & # x27 (x) = sin x times lim_ frac < cos h-1> + cos x times lim_ frac < sin h>. f ′ (x) = sen x × h → 0 lim h cos h - 1 + cos x × h → 0 lim h sen h.

Podemos ver que usando a expansão da série de Taylor, o primeiro limite converge para 0 0 0 e o segundo limite converge para 1 1 1, o que também pode ser mostrado nos seguintes gráficos:

Eu estou

im2

Separando e avaliando os limites, obtemos

Lembre-se da identidade fundamental

Diferenciando os dois lados e usando a regra da cadeia, obtemos

As derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas são mais fáceis de calcular.


Assista o vídeo: Derivadas - Trigonometria - Exame Nacional Matemática A - Ano (Dezembro 2021).