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3.8: Derivadas de funções inversas e logaritmos - matemática


Tal como acontece com o seno, não sabemos nada sobre derivadas que nos permita calcular as derivadas das funções exponenciais e logarítmicas sem voltar ao básico. Vamos trabalhar um pouco com a definição novamente:

[ eqalign {{d over dx} a ^ x & = lim _ { Delta x to 0} {a ^ {x + Delta x} -a ^ x over Delta x} cr & = lim_ { Delta x a 0} {a ^ xa ^ { Delta x} -a ^ x over Delta x} cr & = lim _ { Delta x a 0} a ^ x {a ^ { Delta x } -1 over Delta x} cr & = a ^ x lim _ { Delta x to 0} {a ^ { Delta x} -1 over Delta x}. Cr} ]

Há duas coisas interessantes a serem observadas aqui: Como no caso da função seno, ficamos com um limite que envolve ( Delta x ), mas não (x ), o que significa que seja o que for ( lim _ { Delta x a 0} (a ^ { Delta x} -1) / Delta x ) é, sabemos que é um número, ou seja, uma constante. Isso significa que (a ^ x ) tem uma propriedade notável: sua derivada é uma constante vezes ela mesma.

Observamos anteriormente que o limite mais rígido que calcularíamos é ( lim_ {x to0} sin x / x = 1 ); agora temos um limite que é um pouco difícil de incluir aqui. Na verdade, a parte difícil é ver que ( lim _ { Delta x to 0} (a ^ { Delta x} -1) / Delta x ) ainda existe --- essa fração realmente se aproxima e mais perto de algum valor fixo? Sim, é verdade, mas não vamos provar esse fato.

Podemos ver alguns exemplos. Considere ((2 ^ x-1) / x ) para alguns valores pequenos de (x ): 1, (0,828427124 ), (0,756828460 ), (0,724061864 ), (0,70838051 ) , (0.70070877 ) quando (x ) é 1, (1/2 ), (1/4 ), (1/8 ), (1/16 ), (1 / 32 ), respectivamente. Parece que isso está se acomodando em torno de (0,7 ), o que acaba sendo verdade (mas o limite não é exatamente (0,7 )). Considere a seguir ((3 ^ x-1) / x ): (2 ), (1.464101616 ), (1.264296052 ), (1.177621520 ), (1.13720773 ), (1.11768854 ), com os mesmos valores de (x ). Acontece que no limite isso é cerca de (1,1 ).

Dois exemplos não estabelecem um padrão, mas se você fizer mais exemplos, verá que o limite varia diretamente com o valor de (a ): maior (a ), limite maior; menor (a ), limite menor. Como já podemos ver, alguns desses limites serão menores que 1 e alguns maiores que 1. Em algum lugar entre (a = 2 ) e (a = 3 ) o limite será exatamente 1; o valor em que isso acontece é chamado (e ), de modo que

[ lim _ { Delta x a 0} {e ^ { Delta x} -1 over Delta x} = 1. ]

Como você pode imaginar com nossos dois exemplos, (e ) está mais próximo de 3 do que de 2 e, na verdade, (e approx 2.718 ).

Agora vemos que a função (e ^ x ) tem uma propriedade verdadeiramente notável:

[ eqalign {{d over dx} e ^ x & = lim _ { Delta x to 0} {e ^ {x + Delta x} -e ^ x over Delta x} cr & = lim_ { Delta x a 0} {e ^ xe ^ { Delta x} -e ^ x over Delta x} cr & = lim _ { Delta x a 0} e ^ x {e ^ { Delta x } -1 over Delta x} cr & = e ^ x lim _ { Delta x to 0} {e ^ { Delta x} -1 over Delta x} cr & = e ^ x. Cr } ]

Ou seja, (e ^ x ) é sua própria derivada, ou em outras palavras, a inclinação de (e ^ x ) é a mesma que sua altura, ou a mesma que sua segunda coordenada: A função (f ( x) = e ^ x ) passa pelo ponto ((z, e ^ z) ) e tem inclinação (e ^ z ) lá, não importa o que (z ) seja. Às vezes é conveniente expressar a função (e ^ x ) sem um expoente, uma vez que expoentes complicados podem ser difíceis de ler. Nesses casos, usamos ( exp (x) ), por exemplo, ( exp (1 + x ^ 2) ) em vez de (e ^ {1 + x ^ 2} ).

E quanto à função logaritmo? Isso também é difícil, mas como a função cosseno foi mais fácil de fazer depois que o seno foi feito, o logaritmo é mais fácil de fazer agora que sabemos a derivada da função exponencial. Vamos começar com ( log_e x ), que como você provavelmente sabe, é freqüentemente abreviado como ( ln x ) e chamado de função de "logaritmo natural".

Considere a relação entre as duas funções, a saber, que são inversas, que uma "desfaz" a outra. Graficamente, isso significa que elas têm o mesmo gráfico, exceto que uma é "invertida" ou "refletida" através da linha (y = x ), conforme mostrado na Figura ( PageIndex {1} ).

Figura ( PageIndex {1} ): As funções exponencial (verde) e logarítmica (azul). Como inversos um do outro, seus gráficos são reflexos um do outro ao longo da linha (y = x ) (tracejada).

Isso significa que as inclinações dessas duas funções também estão intimamente relacionadas: Por exemplo, a inclinação de (e ^ x ) é (e ) em (x = 1 ); no ponto correspondente na curva ( ln (x) ), a inclinação deve ser (1 / e ), porque a "subida '' e a" corrida '' foram trocadas. Uma vez que a inclinação de (e ^ x ) é (e ) no ponto ((1, e) ), a inclinação de ( ln (x) ) é (1 / e ) no ponto ((e, 1) ).

Figura ( PageIndex {2} ): As funções exponencial (verde) e logarítmica (azul). As linhas tracejadas indicam a inclinação das respectivas funções nos pontos ((1, e) ) e ((e, 1) ). É interessante notar que essas linhas se cruzam na origem.

De forma mais geral, sabemos que a inclinação de (e ^ x ) é (e ^ z ) no ponto ((z, e ^ z) ), então a inclinação de ( ln (x) ) é (1 / e ^ z ) em ((e ^ z, z) ), conforme indicado na Figura ( PageIndex {2} ). Em outras palavras, a inclinação de ( ln x ) é o recíproco da primeira coordenada em qualquer ponto; isso significa que a inclinação de ( ln x ) em ((x, ln x) ) é (1 / x ). O resultado é: ({d over dx} ln x = {1 over x}. ) Discutimos isso do ponto de vista dos gráficos, que é fácil de entender, mas normalmente não é considerado um rigoroso prova --- é muito fácil ser enganado por imagens que parecem razoáveis, mas que perdem alguns pontos difíceis. É possível fazer essa derivação sem recorrer a imagens e, de fato, veremos uma abordagem alternativa em breve.

Observe que ( ln x ) é definido apenas para (x> 0 ). Às vezes é útil considerar a função ( ln | x | ), uma função definida para (x not = 0 ). Quando (x <0 ), ( ln | x | = ln (-x) ) e

[{d over dx} ln | x | = {d over dx} ln (-x) = {1 over -x} (- 1) = {1 over x}. ]

Portanto, seja (x ) positivo ou negativo, a derivada é a mesma.

E sobre as funções (a ^ x ) e ( log_a x )? Sabemos que a derivada de (a ^ x ) é alguma constante vezes (a ^ x ) ela mesma, mas que constante? Lembre-se de que "o logaritmo é o expoente '' e você verá que (a = e ^ { ln a} ). Então (a ^ x = (e ^ { ln a}) ^ x = e ^ {x ln a}, ) e podemos calcular a derivada usando a regra da cadeia:

[{d over dx} a ^ x = {d over dx} (e ^ { ln a}) ^ x = {d over dx} e ^ {x ln a} = ( ln a) e ^ {x ln a} = ( ln a) a ^ x. ]

A constante é simplesmente ( ln a ). Da mesma forma, podemos calcular a derivada da função logaritmo ( log_a x ). Uma vez que (x = e ^ { ln x} ), podemos tomar a base do logaritmo (a ) de ambos os lados para obter ( log_a (x) = log_a (e ^ { ln x}) = ln x log_a e ). Então

[{d over dx} log_a x = {1 over x} log_a e. ]

Esta é uma resposta perfeitamente boa, mas podemos melhorá-la ligeiramente. Desde a

[ eqalign {a & = e ^ { ln a} cr log_a (a) & = log_a (e ^ { ln a}) = ln a log_a e cr 1 & = ln a log_a e cr {1 over ln a} & = log_a e, cr} ]

podemos substituir ( log_a e ) para obter ({d over dx} log_a x = {1 over x ln a} ).

Você pode, se desejar, memorizar as fórmulas

[{d over dx} a ^ x = ( ln a) a ^ x quad hbox {e} quad {d over dx} log_a x = {1 over x ln a}. ]

Como o "truque '' (a = e ^ { ln a} ) é frequentemente útil e às vezes essencial, pode ser melhor lembrar o truque, não a fórmula.

Exemplo ( PageIndex {1} )

Calcule a derivada de (f (x) = 2 ^ x ).

Solução

[ eqalign {{d over dx} 2 ^ {x} & = {d over dx} (e ^ { ln 2}) ^ x cr & = {d over dx} e ^ {x ln 2} cr & = left ({d over dx} x ln 2 right) e ^ {x ln 2} cr & = ( ln 2) e ^ {x ln 2} = 2 ^ x ln2 cr} ]

Exemplo ( PageIndex {2} )

Calcule a derivada de (f (x) = 2 ^ {x ^ 2} = 2 ^ {(x ^ 2)} ).

[ eqalign {{d over dx} 2 ^ {x ^ 2} & = {d over dx} e ^ {x ^ 2 ln 2} cr & = left ({d over dx} x ^ 2 ln 2 right) e ^ {x ^ 2 ln 2} cr & = (2 ln 2) xe ^ {x ^ 2 ln 2} cr & = (2 ln 2) x 2 ^ {x ^ 2} cr} ]

Exemplo ( PageIndex {3} )

Calcule a derivada de (f (x) = x ^ x ). À primeira vista, isso parece ser um novo tipo de função: não é uma potência constante de (x ), e não parece ser uma função exponencial, uma vez que a base não é constante. Mas, na verdade, não é mais difícil do que o exemplo anterior.

[ eqalign {{d over dx} x ^ x & = {d over dx} e ^ {x ln x} cr & = left ({d over dx} x ln x right) e ^ {x ln x} cr & = (x {1 over x} + ln x) x ^ x cr & = (1+ ln x) x ^ x cr} ]

Exemplo ( PageIndex {4} )

Lembre-se de que não justificamos a regra de potência, exceto quando o expoente é um número inteiro positivo ou negativo. Podemos usar a função exponencial para cuidar de outros expoentes.

[ eqalign {{d over dx} x ^ r & = {d over dx} e ^ {r ln x} cr & = left ({d over dx} r ln x right) e ^ {r ln x} cr & = (r {1 over x}) x ^ r cr & = rx ^ {r-1} cr} ]


3.8: Derivadas de funções inversas e logaritmos - matemática

Uma função inversa é uma função que desfaz outra função.

Objetivos de aprendizado

Discuta o que significa ser uma função inversa

Principais vantagens

Pontos chave

  • Se uma entrada [latex] x [/ latex] na função [latex] f [/ latex] produz uma saída [latex] y [/ latex], então colocando [latex] y [/ latex] na função inversa [latex ] g [/ latex] produz a saída [latex] x [/ latex] e vice-versa (ou seja, [latex] f (x) = y [/ latex] e [latex] g (y) = x [/ látex]).
  • Uma função [latex] f [/ latex] que tem um inverso é chamada invertível, a função inversa é então exclusivamente determinada por [latex] f [/ latex] e é denotada por [latex] f ^ <-1> [/ latex] .
  • Se [latex] f [/ latex] for invertível, a função [latex] g [/ latex] é única, em outras palavras, há exatamente uma função [latex] g [/ latex] que satisfaz esta propriedade (nem mais, nem menos )

Termos chave

  • inverso: uma função que desfaz outra função
  • função: uma relação em que cada elemento do domínio está associado a exatamente um elemento do co-domínio

Uma função inversa é uma função que desfaz outra função. Se uma entrada [latex] x [/ latex] na função [latex] f [/ latex] produz uma saída [latex] y [/ latex], então colocando [latex] y [/ latex] na função inversa [latex ] g [/ latex] produz a saída [latex] x [/ latex] e vice-versa (ou seja, [latex] f (x) = y [/ latex] e [latex] g (y) = x [/ látex]). Mais diretamente, [latex] g (f (x)) = x [/ latex], significando [latex] g (x) [/ latex] composto por [latex] f (x) [/ latex], folhas [latex] x [/ latex] inalterado. Uma função [latex] f [/ latex] que tem um inverso é chamada de invertível, a função inversa é então exclusivamente determinada por [latex] f [/ latex] e é denotada por [latex] f ^ <-1> [/ latex] .

Uma função e seu inverso: Uma função [latex] f [/ latex] e seu inverso, [latex] f ^ <-1> [/ latex]. Como [latex] f [/ latex] mapeia [latex] a [/ latex] para [latex] 3 [/ latex], o inverso [latex] f ^ <-1> [/ latex] mapeia [latex] 3 [/ latex] de volta para [latex] a [/ latex].

Em vez de considerar os inversos para entradas e saídas individuais, pode-se pensar na função como o envio de todo o conjunto de entradas - o domínio - para um conjunto de saídas - o intervalo. Seja [latex] f [/ latex] uma função cujo domínio é o conjunto [latex] X [/ latex] e cujo intervalo é o conjunto [latex] Y [/ latex]. Então [latex] f [/ latex] é invertível se existe uma função [latex] g [/ latex] com domínio [latex] Y [/ latex] e intervalo [latex] X [/ latex], com a seguinte propriedade:

[latex] f (x) = y Leftrightarrow g (y) = x [/ latex]

Funções Inversas: Se [latex] f [/ latex] mapeia [latex] X [/ latex] para [latex] Y [/ latex], então [latex] f ^ <-1> [/ latex] mapeia [latex] Y [/ latex] de volta para [latex] X [/ latex].

Se [latex] f [/ latex] for invertível, a função [latex] g [/ latex] é única, em outras palavras, há exatamente uma função [latex] g [/ latex] que satisfaz esta propriedade (nem mais, nem menos ) Essa função [latex] g [/ latex] é então chamada de inverso de [latex] f [/ latex], e geralmente é denotada como [latex] f ^ <-1> [/ latex].

Dito de outra forma, uma função é invertível se e somente se sua relação inversa é uma função no intervalo [latex] Y [/ latex], caso em que a relação inversa é a função inversa. Nem todas as funções têm um inverso. Para que esta regra seja aplicável, cada elemento [latex] y in Y [/ latex] deve corresponder a não mais do que um [latex] x in X [/ latex] uma função [latex] f [/ latex] com este A propriedade é chamada de um para um, preservação de informações ou injeção.

Exemplo

Vamos & # 8217s assumir a função [latex] y = x ^ 2 + 2 [/ latex]. Para encontrar o inverso desta função, desfaça cada uma das operações no lado [latex] x [/ latex] da equação, uma de cada vez. Começamos com a operação [latex] +2 [/ latex]. Observe que começamos na ordem oposta à ordem normal das operações quando desfazemos as operações. O oposto de [latex] +2 [/ latex] é [latex] -2 [/ latex]. Ficamos com [latex] x ^ 2 [/ latex]. Para desfazer, use a operação de raiz quadrada. Assim, o inverso de [latex] x ^ 2 + 2 [/ latex] é [latex] sqrt[/látex]. Podemos verificar se esse inverso & # 8220 desvanece & # 8221 a função original conectando essa função para [latex] x [/ latex]:


Derivadas de funções logarítmicas

Agora consideramos a função logarítmica com base arbitrária e obtemos uma fórmula para sua derivada.

Portanto, vamos & # 8217s assumir a função logarítmica (y = < log _a> x, ) onde a base (a ) é maior que zero e não igual a (1: ) (a gt 0 ), (a ne 1 ). De acordo com a definição da derivada, damos um incremento ( Delta x gt 0 ) para a variável independente (x ) assumindo que (x + Delta x gt 0 ). A função logarítmica aumentará, respectivamente, pelo valor de ( Delta y ) onde

Divida os dois lados por ( Delta x: )

Denote (< large frac << Delta x >> normalsize> = < large frac <1> normalsize> ). Então, a última relação pode ser reescrita como

Usando a propriedade power para logaritmos, obtemos:

Supondo que ( Delta x para 0 ) (neste caso (n para infty )), encontramos o limite da razão dos incrementos, ou seja, a derivada da função logarítmica:

Aqui usamos a propriedade do limite de uma função composta, dado que a função logarítmica é contínua. O limite entre colchetes converge para o famoso número transcendencial (e ), que é aproximadamente igual a (2.718281828 ldots: )

Consequentemente, a derivada da função logarítmica tem a forma

Pela fórmula de mudança de base para logaritmos, temos:

Se (a = e ), obtemos o logaritmo natural cuja derivada é expressa pela fórmula (< left (< ln x> right) ^ prime> = < large frac <1> normalsize>. )

Notamos outro caso especial importante - a derivada do logaritmo comum (para basear (10 ​​)):

onde o número (M ) é igual a (M = < log _ <10>> e aproximadamente 0,43429 ldots )

Observe que derivamos a fórmula ( left (<<< log> _a> x> right) ^ prime = large < frac <1> <>> normalsize ) a partir dos primeiros princípios & # 8211 usando a definição de limite da derivada. Como a função logarítmica com base (a ) ( left (direita esquerda. right) ) e a função exponencial com a mesma base formam um par de funções mutuamente inversas, a derivada da função logarítmica também pode ser encontrada usando o teorema da função inversa.

Suponha que recebamos um par de funções mutuamente inversas (y = f left (x right) = < log_a> x ) e (x = varphi left (y right) = .) Então


Encontrando a Derivada de uma Função Inversa

A derivada de uma função inversa pode ser encontrada da seguinte forma, observe que (f left ( right) ) significa um função composta, o que significa que pegamos a função interna, (g left (x right) ), e colocamos isso em todos os lugares onde há um “ (x )” na função externa,. (f left (x direito))

Derivada de uma função inversa

Seja (f left (x right) ) uma função diferenciável em um determinado intervalo. Se (f left (x right) ) tem uma função inversa (g left (x right) ), e (g left (x right) ) é diferenciável para qualquer valor de (x ) de modo que ('deixou( right) ne 0 ), então:

O que isso diz é se temos uma função e queremos encontrar o derivada do inverso da função em um certo ponto “ (x )”, nós apenas encontramos o “ (y )” para o “ (x )” particular na função original, e usamos este valor como o “ (x ) ”Na derivada desta função. Em seguida, tome o recíproco desse número, o que dá a derivada do inverso da função original neste ponto.

Outra maneira de explicar isso é "a derivada de (f left (x right) ) em um ponto ((a, b) ) é a recíproca da derivada de (<^ <<-1> >> left (x right) ) no ponto ((b, a) ) ”. (Faremos os problemas abaixo).

Aqui estão alguns Derivada do Inverso problemas. Alguns professores podem pedir que você resolva isso usando diferenciação implícita, então estou incluindo esse método também.

(f ) é monotônico (aumentando) em ( left (<- infty, infty> right) ), portanto, tem um inverso.

Encontrar (<^ <<-1> >> left (4 right) ) (encontre (x ) quando (y = 4 )):

Vamos tentar 1 como raiz, use a divisão sintética para verificar: (<^ <<-1> >> left (4 right) = 1 ).

Agora, desde (<^ <<-1> >> left (4 right) = 1 ), use o valor 1 na função derivada ( (3 <^ <2>> -2x + 1 )) e, em seguida, faça o recíproco:

Método 2 (integração implícita):

Para obter (<^ <<-1> >> left (x right) ), mude (x ) e (y ) para obter o novo (y = <^ <<-1> >> left (x right) ):

Em seguida, use a diferenciação implícita e obtenha ( displaystyle frac <^ <<-1> >> left (x right)> right) >> <>):

(f ) é monotônico (aumentando) em ( displaystyle left [<- frac < pi> <2>, , , frac < pi> <2>> right] ), então tem um inverso nisso intervalo.

( displaystyle f left (x right) = 2 sin left (x right), , , , , , , ,' left (x right) = 2 cos left (x right) , , , , , , - frac < pi> <2> le x le frac < pi> <2> ): Quadrantes I e IV

Encontrar (<^ <<-1> >> left (1 right) ) (encontre (x ) quando (y = 1 )):

Agora, como ( displaystyle f left (< frac < pi> <6>> right) = 1 ), use o valor ( displaystyle < frac < pi> <6>> ) na função derivada ( ( displaystyle 2 cos left (x right) )) e, em seguida, tome o recíproco:

Método 2 (integração implícita):

Para obter (<^ <<-1> >> left (x right) ), mude (x ) e (y ) para obter o novo (y = <^ <<-1> >> left (x right) ):

( displaystyle x = 2 sin y , , , to , , 1 = 2 sin y , , to , , sin y = frac <1> <2> , , , , y = frac < pi> <6> ) para ( displaystyle - frac < pi> <2> le y le frac < pi> <2> )

Em seguida, use a diferenciação implícita e obtenha ( displaystyle frac <^ <<-1> >> left (x right)> right) >> <>):

( displaystyle 2 cos y cdot frac <><>=1)


Cálculo transcendental precoce: cálculo diferencial e multivariável para ciências sociais

Uma vez que a função (f (x) = a ^ x ) para (a neq 1 ) tem domínio ( mathbb) e intervalo ((0, infty) text <,> ) a função logarítmica tem domínio ((0, infty) ) e intervalo ( mathbb text <.> ) Na maior parte, focamos apenas em logaritmos com uma base maior que (1 ) (ou seja, (a & gt1 )), pois são os mais importantes.

Algumas propriedades dos logaritmos são as seguintes.

Propriedades do logaritmo.

Sejam (A, B ) números positivos e (b & gt0 ) ( (b neq1 )) uma base.

Exemplo 2.21. Calcule Lorarithms.

Para calcular ( log_2 (24) - log_2 (3) ), podemos fazer o seguinte:

Subseção 2.5.1 O Logaritmo Natural

Como mencionado anteriormente para funções exponenciais, o número (e approx 2.71828 ldots ) ​​é a base mais conveniente para usar em Cálculo. Por esta razão, damos ao logaritmo com base (e ) um nome especial:. Também damos uma notação especial:

Você pode pronunciar ( ln ) como: “el - en”, “gramado” ou referir-se a ele como “tronco natural”. As propriedades acima dos logaritmos também se aplicam ao logaritmo natural.

Freqüentemente, precisamos transformar um logaritmo (em uma base diferente) em um logaritmo natural. Isso dá origem ao mudança da fórmula base.

Mudança da Fórmula Base.
Exemplo 2.22. Combine logaritmos.

Escreva ( ln A + 2 ln B - ln C ) como um único logaritmo.

Usando propriedades de logaritmos, temos,

Exemplo 2.23. Resolva equações exponenciais usando logaritmos.

Se (e ^= 6e ^ <2x> text <,> ) então resolva para (x text <.> )

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados e observando as fórmulas de cancelamento (junto com ( ln e = 1 )), temos:

Exemplo 2.24. Resolva equações logarítmicas usando exponenciais.

Se ( ln (2x-1) = 2 ln (x) text <,> ) então resolva para (x text <.> )

“Tomando (e )” de ambos os lados e observando as fórmulas de cancelamento, temos:


Pré-requisitos

Antes de se inscrever no Math 19A, você deve atender a um dos seguintes pré-requisitos:

MP nível 400 ou 500, ou
Pontuação de cálculo AP (AB ou BC) de 3 ou superior, ou
conclusão de AMS 3 ou Matemática 3 com nota C ou melhor.

Antes de se inscrever no Math 19B, você deve atender a um dos seguintes pré-requisitos:

Conclusão de matemática 19A com nota C ou melhor, ou
Pontuação AP Calculus AB de 4 ou 5, ou
Pontuação de AP Calculus BC de 3 ou superior.


Matemática 180: Cálculo I

Os pré-requisitos são aplicados em todas as seções do curso, sem exceções.

Descrição do Curso

Math 180 é o curso introdutório ao cálculo em nossa sequência padrão de cálculo de três semestres. Como tal, o seu objetivo é introduzir o estudo do cálculo na linha real, que inclui limites, diferenciação e técnicas básicas de integração, ao mesmo tempo que abrange as aplicações dos referidos tópicos.

Crédito concedido

4 horas (algumas exceções indicadas abaixo)

O crédito anterior no MATH 165 ou MATH 170 será perdido com a subseqüente conclusão do MATH 180.

Materiais do Curso

Livro didático

  • Cálculo: primeiros transcendentais por William Briggs e Lyle Cochran, 3ª edição, publicado pela Addison-Wesley.
  • ISBN (acesso semestral único): 9780135329221
  • ISBN (acesso semestral): 9780135329276

Código de acesso do MyMathLab

Um código MyLabMath pode ser comprado online após registrar-se no MyMathLab por meio do Blackboard ou na livraria UIC, com ou sem o livro. Certifique-se de que seu código MyMathLab esteja vinculado ao curso Blackboard.

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O pacote de planilhas será usado nas sessões de resolução de problemas às terças e quintas-feiras. Uma cópia eletrônica para impressão pode ser encontrada abaixo ou no site da Blackboard. Uma cópia física pode ser adquirida diretamente na livraria UIC.


Funções inversas e diferenciação

Seus dois derivados, supondo que existam, são recíprocos, como a notação de Leibniz sugere que é:

Esta relação é obtida diferenciando a equação f - 1 (y) = x < displaystyle f ^ <-1> (y) = x> em termos de x e aplicando a regra da cadeia, resultando em que:

considerando que a derivada de x em relação a x é 1.

Escrevendo explicitamente a dependência de y em x, e o ponto em que a diferenciação ocorre, a fórmula para a derivada do inverso torna-se (na notação de Lagrange):

Geometricamente, uma função e uma função inversa têm gráficos que são reflexos, na linha y = x < displaystyle y = x>. Essa operação de reflexão transforma o gradiente de qualquer linha em seu recíproco. [2]


A derivada de uma função inversa

Começamos considerando uma função e sua inversa. Se é invertível e diferenciável, parece razoável que o inverso de também é diferenciável. (Figura) mostra a relação entre uma função e seu inverso . Olhe para o ponto no gráfico de tendo uma linha tangente com uma inclinação de . Este ponto corresponde a um ponto no gráfico de tendo uma linha tangente com uma inclinação de . Portanto, se é diferenciável em , então deve ser o caso de

.

Figura 1. As linhas tangentes de uma função e sua inversa estão relacionadas, assim como as derivadas dessas funções.

Podemos também derivar a fórmula para a derivada do inverso, primeiro relembrando que . Então, diferenciando ambos os lados desta equação (usando a regra da cadeia à direita), obtemos

.

Resolvendo para , nós obtemos

.

Resumimos esse resultado no seguinte teorema.

Teorema da Função Inversa

Deixar ser uma função que é invertível e diferenciável. Deixar seja o inverso de . Para todos satisfatório ,

.

Alternativamente, se é o inverso de , então

.

Aplicando o Teorema da Função Inversa

Use o Teorema da Função Inversa para encontrar a derivada de . Compare a derivada resultante àquela obtida diferenciando a função diretamente.

Solução

O inverso de é . Desde a , comece encontrando . Desse modo,

e . .

Podemos verificar que esta é a derivada correta aplicando a regra de quociente para obter

.

Use o teorema da função inversa para encontrar a derivada de Compare o resultado obtido pela diferenciação diretamente.

[Revelar-resposta q = & # 8221336869 & # 8243] Mostrar Solução [/ Revelar-resposta]
[resposta oculta a = & # 8221336869 & # 8243]

Use o exemplo anterior como guia.

Aplicando o Teorema da Função Inversa

Use o teorema da função inversa para encontrar a derivada de .

Solução

A função é o inverso da função . Desde a , comece encontrando . Desse modo,

e . .

Encontre a derivada de aplicando o teorema da função inversa.

Solução

Use o fato de que é o inverso de .

A partir do exemplo anterior, vemos que podemos usar o teorema da função inversa para estender a regra de potência aos expoentes da forma , Onde é um número inteiro positivo. Essa extensão nos permitirá diferenciar , Onde é qualquer número racional.

Estendendo a regra de potência para expoentes racionais

A regra de potência pode ser estendida a expoentes racionais. Ou seja, se é um número inteiro positivo, então

.

Também se é um número inteiro positivo e é um número inteiro arbitrário, então

.

LOGARITMOS E SEUS INVERSOS

Se a função logarítmica for um para um, seu inverso será encerrado. O inverso de uma função logarítmica é uma função exponencial. Ao representar graficamente a função logarítmica e sua inversa, e também representar graficamente a reta y = x, notará que os gráficos da função logarítmica e da função exponencial são imagens espelhadas uma da outra em relação à reta y = x. Se você dobrasse o gráfico ao longo da linha y = x e segurasse o papel contra a luz, notaria que os dois gráficos estão sobrepostos um ao outro. Outra maneira de dizer isso é que uma função logarítmica e sua inversa são simétricas em relação à reta y = x.

Trabalhe com os exemplos a seguir.

Exemplo 1: Encontre o inverso de.

Comentários: Lembre-se de que a composição de uma função com seu inverso o levará de volta ao ponto de partida. Por exemplo, suponha que a regra f (x) pegará um 3 e o vinculará a 10, então a regra pegará o 10 e o vinculará de volta ao 3. Outra maneira de afirmar isso é. Uma maneira geral de afirmar isso é para qualquer x no domínio de f (x).

Solução: com relação a este problema,

A base é 10, o expoente é x, e o problema pode ser convertido para a função exponencial que pode ser simplificada para

Lembre-se de que o domínio de f (x) é igual ao intervalo de, e o intervalo de f (x) é igual ao domínio de. O domínio de f (x) é e o intervalo de também é. Em termos de gráficos dessas funções, isso significa que todo o gráfico de f (x) estará localizado à direita da linha vertical x = - 1, e todo o gráfico de estará localizado acima da linha y = - 1 .

Vamos verificar nossa resposta encontrando pontos em ambos os gráficos. No gráfico original. Isso significa que o ponto (99, 2) está localizado no gráfico de f (x). Se pudermos mostrar que o ponto (2, 99) está localizado no inverso, mostramos que nossa resposta está correta, pelo menos para esses dois pontos. indica que o ponto (2, 99) está localizado no gráfico da função inversa. Calculamos corretamente o inverso da função logarítmica f (x). Esta não é a prova `` pura '' de que você está correto, no entanto, funciona em um nível elementar.

Exemplo 2: Encontre o inverso da função.

Solução: Usando o fato de que e a base é e, podemos determinar a função inversa

Etapa 1: podemos converter esta equação em uma equação exponencial de base e. Primeiro isole o termo Ln subtraindo 3 de cada lado.

Passo 2: Converta a equação acima em uma equação exponencial com base e:

Etapa 3: quando você adiciona 7 a ambos os lados nós, o termo é isolado.

Etapa 4: Observe que o domínio de f (x) é o conjunto de todos os números reais maiores que 7, e o intervalo de também é o conjunto de todos os números reais maiores que 7.

Etapa 5: você pode verificar sua resposta fazendo um gráfico de ambas as funções e determinando se elas são simétricas em relação à reta y = x. Você também pode calcular pontos. Suponha que (8, 3) seja um ponto no gráfico da função original, então se pudermos mostrar, ou seja, o ponto (3, 8) está localizado no gráfico da função, então as chances são de que calculamos o inverso corretamente

Se você gostaria de rever outro exemplo, clique em Exemplo.

Se você gosta de resolver alguns problemas e verificar as soluções, clique em Resposta abaixo.

Problema 1: Encontre o inverso, se houver, da função

Caso não exista, indica o domínio restrito onde existirá.

Problema 2: Encontre o inverso, se houver, para a função

Caso não exista, indica o domínio restrito onde existirá.

Problema 3: Encontre o inverso, se houver, para a função

Caso não exista, indica o domínio restrito onde existirá.


Diferenciando funções inversas

Uma aplicação da regra da cadeia é calcular a derivada de uma função inversa. Primeiro, vamos revisar a definição de uma função inversa:

Dizemos que a função é invertível em um intervalo [a, b] se não houver pares no intervalo tal e. Isso significa que não há dois valores x com o mesmo valor y. Isso é importante, porque se duas coordenadas x mapearem para a mesma coordenada y, a função inversa (trabalhando ao contrário) mapearia uma única coordenada x para várias coordenadas y. Isso não faz sentido, porque f (x) pode ter mais de um valor resultante!

Dizemos que é o inverso de uma função invertível em [a, b] se:

Por exemplo, as funções e são inversas nesse intervalo. Observe que funciona nos dois sentidos - a função inversa da função original retorna x, e a função original executada na inversa TAMBÉM retorna x.

Pegando o derivado

Então, como nós distinguir uma função inversa? Lembre-se da regra da cadeia:

Aplicando isso à definição de uma função inversa, temos:

Vamos ver como aplicar isso a exemplos reais.

Exemplo 1

Letsoas acima. Então, e aplicando a fórmula temos:

Isso está de acordo com a resposta que obteríamos vendo a função polinomial.

Exemplo 2

A função é invertível no intervalo, com inversa. Sabemos disso, então, aplicando nossa fórmula, vemos que


Assista o vídeo: Pochodne funkcji złożonych - część I (Novembro 2021).